2026高考数学复习高效培优：数列（选填题）原卷版

专题05数列（选填题）

目录

第一部分题型解码微观解剖，精细教学

&典例剖析后方法提炼后变式

题型01数列求通项问题

题型02数列求和问题

题型03数列不等式问题

题型04奇偶和插项数列I向题

题型05新定义问题

第二部分强化实训I整合应用，模拟实战

＞第一部分题型解码

题型01抽象函数问题

典例剖析

【例1・1】（2025・四川绵阳•模拟预测）已知数列｛q｝满足6=1,1=4+〃+2"（〃eN'）,则%等于（）

〃（〃一1）“I〃1）

A.—--------+2M-,-lB.--------+2n-l

22

C.〃（〃+1）+2”+-1D.〃（"1）+2向_1

22

【例1・2］（2025•江苏•模拟预测）已知正项等差数列｛为｝满足;;二:：：则黄=（）

A.670B,675C.2025D.4050

方法提炼

1.累加法、累乘法

①累加法：适用于4+|一4=/（〃），求勺

具体过程：a2-a.=/（1）,%一%=/（2），…，《1+1-。〃=/（八）两边分别相加得%+1-q=力/（幻；

*=1

②累乘法：适用于,=/（〃），求右

具体过程：二■=/⑴，」=/（2）,…，hL=/（〃），两边分别相乘得%*1=n/伏）.

%a2an68

2.同除法及取倒数法

①形如整式〃“+。用-k%%=0,两边同时除以anan+]

ha„1b+kan\k

②形如。向=~一，则有一=—....=—+T.

k'+batl+ibananb

所以彳一卜是以一为首项，7为公差的等差数列，即—=一+（〃-1）工.

%%bq4b

r,X

3.已知S〃=/（〃）或S“=/（q）

①用4=S“-Si消S”的3个步骤：①先利用q=S、求出q;②用〃一1替换S.中的〃得到一个新的关系,

利用aH=Sn-S,”（〃>2）便可求出当〃22时%的表达式;③注意检验n=1时的表达式是否可以与n>2

的表达式合并.

②若等式中为为与SfS”或与与其十瓦,则S”-S“T替换题目中的为

4.构造法

/X

①形如=pq』+4（〃£N’且〃..2）,化为%+—々=〃的形式，令么=见+一々,即得

〃一1IP~\）〃一1

bn=戌如,｛仇｝为等比数列,从而求得数列｛an｝的通项公式.

①形如«n+1=Aan+Bn+C（wGN*且几.2）化为an+l+p（n+1）+^=A（atl+pn+q）的形式，令

2=%+〃〃+/即得2=做一,他｝为等比数列,从而求得数列｛《,｝的通项公式.

【变式1・1】（2025・山东济南・二模）已知数列｛4｝的前〃项和为S”，且满足q=1,历一疯=1（〃£1<）,

则%=________

【变式1・2】（2025•江苏苏州•三模）已知数列｛4｝满足4=1，4则（）

1

A.an+l>anB.an>-

C.1013。2025VlD.2025a2025Vl

【变式1・3】（2025•河北张家口•一模）已知数列｛q｝满足q=2,。且a3-d=g+l,贝]

%-〃=

题型02数列求和问题

典例剖析

【例2・1】(2025•浙江台州•一模)已知等比数列｛4｝满足：4+〃3=10，。2+4=2().设，=%+1咤2，%,记

数列也,｝的前〃项和为S。，则§6=()

A.149B.153C.155D.157

【例2・2】(2025・江西•模拟预测)已知数列｛q｝满足：4=2,〃，川=q+2%+3%+…+〃《，令

,"+3,、

4=-----,数列出｝的前〃项和S”，则52=()

可+1+。”+2+%+3

1111「11

AA——-------DB——------c——--------D

•82029!♦62028!*42027!-；一表

方法提煤

1.公式法：对于等差、等比数列，直接利用前〃项和公式.

q=l

等差：S=---------=naH-------------d.等比：S“=｛q(1-g)

n]4一qq

22--------------=----------，

Ifi-q

2.分组求和法：数列的通项公式为q+"的形式，其中｛%｝和｛“｝满足不同的求和公式.常见于伍”｝为等差

数列，｛〃｝为等比数列或者｛%｝与｛"｝分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律.

3.并项求和法

若在一个数列的前〃项和中，可两两结合求和，则称之为并项求和.

4.错位相减法：

数列的通项公式为可也或卜的形式，其中仅“｝为等差数列，血｝为等比数列.

5,裂项相消法：

将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.

常用的裂项公式：

①-------二:(---------)；②/:----7==—(+5~4n)；

+k)knn+k。〃+攵k

H

(a-\)a=1----------J④log“也=log?"Iog"”.

ian+i+k)(an+k)an+kan+i+k4

6.倒序相加法：如果一个数列的前〃项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这

个数列的前〃项和可用倒序相加法，如等差数列的前〃项和公式就是用此法推导的.

【变式2・1】（2025•江苏淮安•模拟预测）已知递增等比数列｛q｝前〃项和为S”，且生=8应=42,则数列

]

的前10项和为

log2a„-log2«d+1

【变式2・2】（2025・青海•模拟预测）（多选题）设数列储”｝的前〃项和为S”，已知邑“=0,邑”_产2,记数列

｛如“｝的前〃项和为7；，则（）

A.%9=2B.Goo-

C.『22D.7；,=52

【变式2・3】(2025•辽宁・模拟预测)若/W=x+7rsin(x-：)+g,数列｛q｝满足勺=麻，则

/(%)+/(4)+…/(“2024)的值是()

A.2024B.4048C.3036D.2025

题型03数列不等式问题

典例剖析

【例3・1】（2025•辽宁・模拟预测）记S”是公差不为0的等差数列｛q｝的前〃项和，若%二工,a2a4=S4,则使

S〃<a”成立的〃的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

【例3.2］（2025.吉林•模拟预测）已知递减的等比数列｛《｝前〃项和为S”，且满足q=2,q+q=6%,若

N4S.一/KM恒成立，则M-N的最小值为（）

D-7

方法提嫌

数列与不等式的综合问题及求解策略

1.判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.

2.以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值.

3.考查与数列有关的不等式证明何题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明.

【变式3・l】（2025・海南・模拟预测）数列｛q｝满足4=|G=2%-g,对于任意的〃wNF（2q-l）<2a“-2

恒成立，则实数4的取值范围是（）

A.18,《）B.（-a）J）C.（'+8）D.（1,+8）

【变式3・2】（2025•河南•模拟预测）已知数列｛〃“｝满足4=1,---Ka+—,若对V〃wN*，

（n+lj7/4-1

H41

心”+会小整0,则实数f的取值范围是（）

A.[―18,-KO）B.[-16,+oo）C.[-12,"+<o）D.[-8,+oo）

【变式3・3】（2025•上海・高考真题）已知数列也｝、仇｝、化」的通项公式分别为%=1。〃-9,2=2"、，

。“="”+（1-团”.若对任意的/140,1],%、b”、c”的值均能构成三角形，则满足条件的正整数〃有（）

A.4个B.3个C.1个D.无数个

题型04奇偶和插项数列问题

典例剖析

3.+1,当0”为奇数

【例4-1]（25-26高三上•重庆月考）己知数列｛4｝的前“项和为冬，且满足%=4,〃的=，a也〜出岬，

才,刍%为偶数

则$150=-

【例4・2】⑵-26高三上•河南南限期中）已知数列｛4｝的通项公式q=2。，在每相邻两项《吗川之间插入2A

个3（keN）使它们和原数列的项构成一个新的数列｛〃｝,记数列他｝的前〃项和为S”，则S；150成立的

n的最小值为（）

A.35B.36C.37D.38

方法提嫌

1.奇偶数列求和：

blt,n=2k—1

已知…，其中凡的前〃项和为S“，”的前〃项和为（…c”的前〃项和为Q”.

c.,n=2k

%=1+Q”

（2）若〃为偶数，则S〃="+q

22

（3）若〃为奇数，则S“二4色+④

22

2.常见奇偶数列模型

b.n=2k-\

a=\，则直接按奇偶分开讨论.

nc“,n=2k

3.数列插项问题

①在%和。〃+1之间插入〃个数，使这〃+2个数构成等差数列,

记这个等差数列的公差为d,r,则知+「/=5+1）4,整理的警=皿4

〃+1

②在an和《山之间插入〃个数，使这〃+2个数构成等比数列，

记这个等比数列的公比为则4d■=（%）””，整理的纵=”小生.

\a

【变式4-11（25-26高三上•云南昭通・月考）已知数列｛%｝满足q=1,；

其通项公式为.

【变式4・2】（25-26高三上.辽宁大连・月考）设数列｛%｝满足，*=3%-2%（H>2）,«,=1,%=2.在数

列｛〃”｝的任意4与项之间，都插入火（AwND个相同的数（-1）“，组成数列检｝,记数列依｝的前〃项

的和为。，求心=.

【变式4・3】（2025•海南海口•模拟预测）已知数列｛q｝的首项为1,S”是%的前〃项和，且

SM+5I=2S”+（-，，（;?>2）,若存在〃eN「使得（4--⑼<0成立，则实数/〃的取值范围

为.

题型05新定义问题

.典例剖析

【例5・1】（2025•湖北武汉•模拟预测）（多选题）如图,曲线y=«下有一系列正三角形，设第〃个正三角

形（2为坐标原点）的边长为凡，则（）

o\QxQ2X

24

A.fl）=-,«,=-

3-3

B.记S“为｛〃”｝的前〃项和，则七1为S.+号■，*凡+]

\/

31

C.记S”为数列｛q｝的前〃项和，则弟=J3+铲向

D.数列｛&｝的前〃项和为S“=1+；+1

【例5・2】（2025•江苏南通三模）（多选题）已知数列｛%｝,设/=4+1；…+凡若数列｛叫满

足:存在常数c,使得对于任意两两不相等的正整数i,j,k,都有（i-j）叫+（j-k）的+（kf啊=c,则

称数列｛4｝具有性质建，下列结论正确的是（）

A.若q=2〃-1,则数列｛%｝具有性质C

B.若数列｛端的前〃项和工=2。-1,则数列｛%｝具有性质C

C.若数列｛q｝具有性质C,则常数c=0

D.若数列｛4｝具有性质C,则｛%｝为等差数列

方法提煤

解答新定义型创新题的基本思路是：

（1）正确理解新定义；

（2）根据新定义建立关系式；

（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；

（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果.

【变式5・1】（2025•重庆沙坪坝•模拟预测）（多选题）在科技竞逐的舞台上，降本增效是突破创新的关键.在

量子计算领域，九章量子计算机在2020年便以不到谷歌1%的资金实现了量子计算优越性，展现了中国科

技界的卓越实力.2025年九章量子计算机在态叠加编码中提出一种分形数列模型，该模型中招量子态能量

分解为连续奇数组，规律如下：

1、=1

2'=3+5

3=7+9+11

4:13+15+17+19

记《（iJcN*）表示第，个等式中第j个量子态能量值（如%2=%气4=19）,研究人员发现满足：第,•行

恰含有i个连续奇数,且"L4Tg=2i（iN2）,则下列结论正确的是（）

=

A.044.44<2025<a4545B.cijji~—z+2j—1

C./,""+3〃+1)鸟11

D.X一<7；

/=13J=IO4.29

【变式5・2】（2025.山东.模拟预测）（多选题）若数列｛〃/满足：存在4>0,使得之心-6|”对任意〃wN.

f=l

成立，则称｛4｝是“受限数列〃，2的最小值称为乩｝的“受限上界”.记｛4｝的前〃项和为S”，则下列说法正确

的是（）

A.若勺=2〃-1,则｛%｝是受限数列

2

B.若等差数列｛4｝满足6=3,5„=66,贝“丁［是受限数列

C.若邑=得，则是受限数列，其受限上界为3

D.若｛q｝，也｝都是受限数列,则｛。也｝也是受限数列

【变式5・3】（2025•北京海淀•三模）设数列｛3｝的前〃项的和为S”，若对任意的〃wN"都有2<:（讨，则称

数列｛q｝为“超神数列"，下列命题中，正确的有.

①存在递增数列｛%｝，使得它是"超神数列"；

②存在周期数列｛〃“｝,使得它是"超神数列〃；

③存在等差数列｛〃“｝，使得它是"超神数列〃；

④若｛2｝为等比数列，对于任意^^（上式，。］，存在4,使得｛凡｝为超神数列.

A第二部分强化实训

1.［2025•江西♦模拟预测）设数列｛4｝的前〃项和为S”，已知4=1,%=电，则2024!%。25=（）

A.2024B.2025C.-2024D.-2025

2.（2025・湖北•模拟预测）已知数列｛4｝前〃项和为S”，《=1,勿=/，则”的最大值为（）

A.4B.9C.10D.12

3.（2025•重庆•三模）数列也｝满足，*+（-l）Z”=3〃+1,则｛q｝的前100项和S3=.

>14-9

4.（2025•湖南益阳•三模）已知数列口｝满足4=log,y,给出定义：使数列伍/的前A项和为正整数的々

（keN,）叫做好数，则在［1,2025］内的所有“好数”的和为.

5.12025•云南•模拟预测）数列｛。』满足：4=|,且％「为='（%+%）,则%=.

6.12025・浙江•模拟预测）已知数列｛%｝和也｝通项公式分别为。“=3〃-19,么=2"，将数列｛%｝和低｝的

公共项按照从小到大的顺序排成一个新数列，则数列｛cj的通项公式—；

。“为3的倍数

7.12025•河南•模拟预测）（多选题）已知数列｛4｝满足q=l，4+=才旦;1Vl位新，则（）

%+5,〃不是3的倍数