2026高考数学一轮复习练习题 课后作业31-40（含答案）

课后作业（三十一）平面向量的数量积及其应用

说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷

共72分

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

1.已知向量〃夹角的余弦值为一：，且⑷=4,网=1,则（〃一勿・（力一加）=

4

（）

A.—36B.-12

C.6D.36

2.（2025・广东深圳模拟）已知向量。”的夹角为45。，|。|=1,网=鱼,则|2b-a|

=()

A.V5B.V7

C.V13D.5

3.（2025•山东威海模拟）若平面向量a,力满足|a|=&,|b|=1,|a+b|=V5,

则向量〃，力夹角的余弦值为（）

4.（2024•浙江温州一模）已知向量a=（0,4）,力=（一3,-3）,则4在。上的

投影向量的坐标是（）

A.（-2,-2）B.（2,2）

C.（0,-3）D.（0,3）

5.（2025•广东深圳模拟）己知平面上四个点A,B,C,D,其中任意三个不共线.若

AB•AD=AC•AD,则直线4。一定经过三角形43c的（）

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

6.（2025•河北沧州模拟）已知ei,。是单位向量,且它们的夹角是60。，若。=

2ei+e2,b=Xe\—ei-,且a_Lb,贝l]2=（）

C.1D.2

二、多项选择题

7.(2024•山东聊城二模)已知向量0=(一1,2),b=(l,A),若b在a上的投影

向量为。，则()

A.人=3B.a//b

C.al(b-a)D.。与方的夹角为45。

8.已知O为坐标原点,点Pi(cosa,sina),P2(cos0,—sin夕)，尸3(cos(a+£),

sin(a+£)),A(l,0),则()

A.I西=1西

B.I丽1=1丽I

C.OA-西=西・西

D.OA♦0/\=0/\♦研

三、填空题

9.己知。(0,0),A(l,2),B(3,-1),若向量加〃万5,且相与旗的夹角为钝

角,写出一个满足条件的m的坐标为.

10.(2021•新高考H卷)己知向量a+I+c=0,|。|=1,网=|c|=2,则a•b-\~b•c

+c•a=

[B组在综合中考查关催能力]

11.如图，在菱形ABC。中，若AC=4,则刀•而=(

A.8

C.4

12.己知非零向量同，前满足空票=与潸，且搐-7^i=p5lijAABC)

\AB\\AC\|/1C|2

A.钝角三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等这三角形

13.（2024•四川成都诊断）已知平面向量b,c满足u・b=0,\a\=\h\=\f（c

—a）•（c一方）=｝则|c-a|的最大值为（）

A.V2B.1+—2

3

C.-D.2

2

14.已知△4BC的面积S满足V5W2SW3,且初♦前=3,荏与近的夹角为仇

则前与由夹角的取值范围为

课后作业（三十二）复数

说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷

共74分

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

1.（2023•北京高考）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（一1,V3）,贝ijz的

共轲复数2=（）

A.1+V3iB.1—V5i

C.-1+V5iD.-1—V5i

2.（2024•全国甲卷）若z=5+i,则i伍+z）=（）

A.lOiB.2i

C.10D.-2

3.（2025•黑龙江哈尔滨模拟）已知i是虚数单位，若（a+2i）（l一i）为纯虚数，则

实数。的值为（）

A.0B.1

C.2D.-2

4.（2024•山东济南二模）已知复数z满足（l-i）z=3+i,则2在复平面内对应的

点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第匹象限

5.（2024•广东揭阳二模）已知复数z在复平面内对应的点为（a,b）,且|z+i|=

4,贝lj（）

A./+（b+1）2=4B.层+（匕+I）2=]6

C.（a+l）2+〃=4D.（Q+1）2+〃=]6

6.（2024•辽宁沈阳二模）已知i是虚数单位，复数z满足|z-i|=l,则|z-百|

的最小值为（）

A.V3-1B.1

C.V3+1D.3

二、多项选择题

7.（2024•河南郑州二模）在第平面内，室数对应的点为A,夏数Z2—

zi-l对应的点为&下列说法正确的是（）

A.%|=%|=1

2

B.Z1•Z2=|z1|

C.向量而对应的复数是1

D.\AB\=\Z1-Z2\

8.（2025•山东荷泽模拟）设a,£是关于x的方程2F+px+4=（）的两根，其中

p,q£R.若。=2i—3（i为虚数单位），贝立）

A.£=2i+3B.〃+q=38

C.a+夕=-6D.|a|+网=2g

三、填空题

9.已知i是虚数单位，则（含）202S=.

10.请写出一个同时满足①|z-2i|=\z-2|；②怙产=2的复数z,即2=.

[B组在综合中考查关键能力]

11.（2024•广东广州三模）当一时，复数等在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

12.（多选）（2024•江苏南通质检）已知复数zi=-2+i（i为虚数单位）,复数Z2满

足|Z2—l+2i|=2,Z2在复平面内对应的点为M（x,y）,贝火）

A.复数zi在复平面内对应的点位于第二象限

C.（x+lp+G，-2）2=4

D.也一0|的最大值为3四+2

13.（多选）（人教A版必修第二册P8i阅读与思考改编）在代数史上，代数基本定

理是数学中最重要的定理之一，它说的是任何一元〃（〃6N'）次复系数多项式方程

/（尤）=0在复数集中有〃个复数根（重根按重数计）.在复数集范围内，若口是丁

=1的一个根，则①?+①+1=（）

A.0B.1

C.2D.3

14.（2023•上海春季高考）已知zi,Z2EC且zi=i・&,回一1|=1,则IZLZR的

取值范围为.

课后作业（三十三）数列的概念与简单表示

法

说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷

共85分

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

1.已知数列企，V5,2或，…，则2遍是该数歹」的（）

A.第5项B.第6项

C.第7项D.第8项

2.（2024•山东济南三模）若数列｛Qn｝的前〃项和，=〃（〃+1）,则06=（）

A.10B.11

C.12D.13

3.已知数列｛〃“｝满足m=l,〃〃+1=10"+2'偶数，若仇=〃2〃」，则历=

Un+3,九为奇数.

()

A.18B.16

C.11D.6

4.(2024•河北唐山二模)已知数列｛〃〃｝满足。用=。〃+山+2〃，mo=13O,则由

=()

A.1B.2

C.3D.4

5.(高考改编)已知数列｛%｝满足0=0,4〃+1=(〃WN*),则〃2025=()

V3/Q九一+1£

A.0B.—

C.73D.叵

2

6.已知数列｛。〃｝满足m=2,atl=n(a,l+\—£N*),则数列｛。〃｝的通项公式为

。”=()

A.2/1B.(等y

C./+1D.〃+1

•湖南长沙模拟)数列｛｝的通项公式为若数列｛〃〃｝单调递增,

7.(2025mn

则实数。的取值范围为()

A.(-OO,0]B.[0,4-00)

C.(一8,2)D.[1,+8)

8.已知数歹的前〃项和S〃=妇警，且m=l,则S7=()

A.14B.28

C.56D.112

二、多项选择题

9.(2025•江苏常州模拟)己知数列伍〃｝的前5项依次为2,0,2,0,2,则下列

可以作为数列伍〃｝通项公式的是()

(2,几为奇数，

AA.B.(-1)〃+1

(0,几为偶数

C.cin—2sin—DC.Cln—_4Acos—nn|

2

10.已知数列(〃〃｝的通项公式为。〃=5+2)-(9”,则下列说法正确的是()

A.数列｛〃〃｝的最小项是

B.数列｛〃“｝的最大项是

C.数列｛。“｝的最大项是

D.当〃廿5时，数列｛«〃｝递减

三、填空题

11.己知数列｛〃〃｝满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是

正数.写出一个符合条件的数列伍〃｝的通项公式：.

12.(2025•四川雅安模拟)已知数列｛即｝满足a〃+2=3a〃+i-2a〃，a\=Ls=2,

｛oj单调递增，则A的取值范围为.

四、解答题

13.已知数列伍〃｝的前〃项和为S”，数列｛儿｝的前〃项和为T”，从①a”=〃-S〃；

②包=〃〃-1；③T〃=G)n—1中选择两个作为条件，证明另外一个成立.

[B组在综合中考查关催能力]

14.已知数列伍〃｝中，6/1=1,其前〃项和为S”，且满足2sA=(〃+l)z(〃£N*).

(1)求数列｛。〃｝的通项公式；

(2)记儿=3〃-4嫉，若数列｛瓦｝为递增数列，求2的取值范围.

课后作业（三十四）等差数列

说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷

共90分

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

1.记等差数列｛an｝的前〃项和为S〃.若。5=7,410=2,则514=（）

A.49B.63

C.70D.126

2.（2024•全国甲卷）记S”为等差数列｛斯｝的前几项和,已知S5=SK）,6/5=1,则

0=()

3.已知数列｛湛｝为等差数列，且0=1,6/4=则42025=()

.1011n1011

A.--B.------

10121012

r2023n2023

・2025•2025

4.(2024•浙江绍兴二模)已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S〃，且:一字=6,则

。7-44=()

A.9B.10

C.11D.12

5.设S〃是等差数列(m｝的前〃项和.若%=半则*=()

079S13

A.-B.-

32

C.2D.3

6.若2"=3,2』6,?=12,则()

A.a,b,c是等差数列

B.a,b,c是等比数列

C.i,三是等差数列

abc

D.i,i2是等比数列

abc

7.（2025•湖南长沙模拟）设等差数列伍〃｝的公差为d,则是“囹为

递增数列”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块

圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依

次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加

9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含

天心石）（）

A.3699块B.3474块

C.3402块D.3339块

二、多项选择题

9.公差为4的等差数列｛m｝,其前〃项和为S“，5ii>0,5i2<0,则下列说法正

确的有（）

A.J>0B.

C.｛，｝中S6最大D.M<M

10.已知数列｛an｝的首项s=l,an—an+]=anan+]t贝心)

A.｛J为等差数列

B.00=10

C.｛Q"为递增数列

D.｛咪｝的前20项和为10

三、填空题

11.(2022•全国乙卷)记S〃为等差数列｛斯｝的前刀项和.若2s3=352+6,则公差

d=.

12.在等差数列｛〃〃｝中，42=：,〃3+。4=4,设仇=[〃〃],日表示不超过X的最大

A

整数，如[0.2]=0,[3.5]=3,贝IJ数歹U｛为｝的前6项和S6=.

四、解答题

13.(2022•全国甲卷)记S〃为数列｛〃〃｝的前〃项和.已知以+〃=2外+1.

n

(1)证明：｛如｝是等差数列；

(2)若。4,m,成等比数列，求S〃的最小值.

[B组在综合中考查关键能力]

14.(2023•新高考I卷)设等差数列｛。〃｝的公差为d,且01.令。〃=老工记

Sn,5分别为数列｛%｝,囚｝的前72项和.

(1)若3。2=3。1+。3,53+73=21,求｛或｝的通项公式;

(2)若｛6｝为等差数列,且S99-乃9=99,求4

课后作业（三十五）等比数列

说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷

共90分

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

1.（2024•山西临汾二模）已知等比数列｛每｝,41=1,45=4,则43=（）

A.2B.-2

C.±2D.2V2

2.（2024•浙江杭州三模）设Sn为等比数列｛Q"的前〃项和，已知S3=w—2,

§2=43—2,则公比q=（）

A.2B.-2

C.-D.~-

22

3.（人教A版选择性必修第二册P37例9改编）记等比数列的前n项和为Sn,

若58=8,512=26,则S4=（）

A.1B.2

C.3D.4

4.（2024•黑龙江齐齐哈尔一模）已知数列为等比数列，〃z,3〃，s均为正整

数，设甲：乙：〃z+f=p+s,贝女）

A.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲是乙的既不充分也不必要条件

5.己知两个等比数列｛〃〃｝,｛儿｝的前〃项积分别为4,B”,若黄=3,则卷=

（）~~

A.3B.27

C.81D.243

6.（2023•天津高考）已知（m）为等比数列，S〃为数列｛如）的前八项和,a〃+1—25〃

+2,则G的值为（）

A.3B.18

C.54D.152

7.数列｛〃〃｝中，6/1=2,a,n+n=amany若ak+i^-ak+2-^---F^Jt+io=215—25,则k=

（）

A.2B.3

C.4D.5

8.（2025•河南洛阳模拟）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动.在一

次数学实践课上，某同学将一张腰长为1的等腰直角三角形纸对折，每次对折后

仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形的斜边长为（）

A.—B.-

88

C.—D.-

44

二、多项选择题

9.（2025•河南郑州期末）设等比数列伍工的前〃项和为S”,且S=2〃+i+〃m为

常数），贝心）

A.a=~\B.｛即｝的公比为2

C.a”=2"D.59=1023

10.（2025•重庆模拟）已知数列｛〃〃｝的前n项和为Sn,若回=2,且z+i=3〃〃+

2〃，则（）

A.数歹北小+2〃｝是等比数列

B.数列偿+1｝是等比数列

C.a〃=2X3〃—

D.S”=2（3"-2”）

三、填空题

11.写出一个同时满足下列条件①②的等比数列/〃｝的通项公式.

1<0;②11.

12.记S〃为数列｛“1｝的前〃项和，Sn=1—an,记—=小。3+。3a5T--1。2〃-。2〃+

1>则Cln=,Tn=.

四、解答题

13.(2022•新高考U卷)已知｛〃〃｝是等差数列,｛儿｝是公比为2的等比数列，且。2

—岳=〃3—历=历一04.

⑴证明:ai=bi；

⑵求集合｛川仇="〃+ai,1W〃zW500｝中元素的个数.

[B组在综合中考查关催能力]

14.在直角坐标平面内，将函数7。)=2一三及g(x)=^在第一象限内的图象分

•v•JLJ人

别记作c,。2,点尸〃(5，/(即))(九WN*)在，上.过P〃作平行于x轴的直线，

与C2交于点Q〃，再过点Q〃作平行于y轴的直线，与。交于点P〃+1.

(1)若山=/请直接写出42,43的值；

(2)若0<04，求证：色]是等比数列.

2加+4

课后作业(三十六)数列求和

[A组在基础中考查学科功底]

1.在数列｛斯｝中,ai=lf4〃+]=四?斯5£1\*).求：

(1)数列｛。〃｝的通项公式；

⑵数列｛〃〃｝的前〃项和S.

2.已知等比数列｛〃〃｝的前〃项和为S“且的+i=2S〃+2(〃£N*).

⑴求数列｛。〃｝的通项公式；

⑵在〃〃与4〃卜］之间插入/?个数，使这〃+2个数组成一个公差为小的等差数列,

若数列｛c〃｝满足c〃=工求数列｛c〃｝的前n项和Tn.

nan

［B组在综合中考查关键能力］

3.已知公比大于1的等比数列｛m｝满足42+出=20,43=8.

(1)求｛〃〃｝的通项公式；

(2)记b.n为｛m｝在区间(0,N”)中的项的个数,求数歹|J｛a｝的前100项和S1OO.

4.(2025•湖北武汉期末)在数列｛即｝中，0=5,且〃“+1=2。〃-1(〃WN").

⑴求数列｛即｝的通项公式；

(2)令bn=(-\y-an,求数列｛勾｝的前〃项和Sn.

课后作业(三十七)数列的综合应用

［A组在基础中考查学科功底］

1.(2025・福建福州期中)记数列｛4｝的前〃项和为S〃=(〃+l)a〃一

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)设数歹1」｛就］的前〃项和为4,证明：衿

2.(2021•新高考II卷)记S〃为公差不为零的等差数列｛〃〃｝的前〃项和，若“3=

S5,a2H4=S4.求：

(1)数列伍”｝的通项公式；

⑵使得成立的n的最小值.

［B组在综合中考查关键能力］

3.容器A内装有6L质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4L质量分数

为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1L进入B内，再将B内的盐水倒1L进

入A内，称为一次操作.这样反复操作〃次，A,B容器内的盐水的质量分数分

别为bn，

(1)求0,历，并证明｛〃〃一为｝是等比数列；

(2)至少操作多少次，A,B两容器内的盐水浓度之差小于1%?(取lg2t().3()1(),

lg3=0.4771)

⑶求an,儿的表达式.

4.已知数列｛〃〃｝的前〃项和为S“，且&=〃一〃〃.

(1)求数列｛。〃｝的通项公式；

(2)设数列｛与｝的前〃项和为Z”且2儿一5—2)・(斯一1),若丁〃2瓦对于〃GN*

恒成立，求2的取值范围.

课后作业(三十八)基本立体图形、简单几

何体的表面积与体积

说明：单项选择题每懑5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷

共73分

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

1.(2025•陕西西安模拟)乒乓球被誉为我国的“国球”，一个标准尺寸乒乓球的

直径是40mm,则其表面积约为()

A.3()00mm2B.400()mm2

C.5()00mm2D.60()()mm2

2.（2024•广西来宾一模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1,2,体

积为3,则该正四棱台的高为（）

4

A.1B.-

3

C.-D.-

57

3.水平放置的四边形A8CO的直观图是直角梯形如图所示.其中9C

=4夕=1,则原平面图形的面积为（）

A,这

8

C.3V2D.6&

4.（2024•山西晋城二模）已知圆锥的侧面积为12n,它的侧面展开图是圆心角为

等的扇形，则此圆锥的体积为（）

16及1T

A.6企兀B.

3

16例

C.6百兀D.

3

5.将12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式拼接（不可折断，可以不全部

用完），不可能拼成（）

A.正三棱柱B.正四棱锥

C.正四棱柱D.正六棱锥

6.（2023•天津高考）在三棱锥P-A8C中，线段PC上的点M满足PM=：PC,线

段PB上的点N满足PN=|PB,则三棱锥/MMN和三棱锥P-ABC的体积之比为

（）

二、多项选择题

7.如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器

底面一边3c于地面上，将容器以5C为轴顺时针旋转，则（）

A.有水的部分始终是棱柱

B.水面所在四边形EFG"为矩形且面积不变

C.棱401始终与水面平行

D.当点”在棱CD上且点G在棱CG上（均不含端点）时，BE-B尸不是定值

8.（2024•江苏徐州一模）已知圆台的上、下底面直径分别为2,6,高为2梅，

则（）

A.该圆台的体积为266兀

B.该圆台外接球的表面积为手兀

C.用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16

D.挖去以该圆台上底面为底，高为旧的圆柱后所得儿何体的表面积为（16+

2V5）兀

三、填空题

9.如图，四边形QABC是边长为1的正方形，最是四分之一圆，则图中阴影部

分以OC所在直线为旋转轴旋转一周得到的旋转体的表面积为.

10.（人教A版必修第二册PU6练习T3改编）某广场设置了一些石凳供大家休息，

这些石凳是由正方体裁去八个一样的四面体得到的（如图），则该几何体共有

个面；若被截正方体的棱长是60cm,那么该石凳的表面积是

cm2.

[B组在综合中考查关催能力]

11.（2025•陕西安康模拟）随着古代瓷器工艺的高速发展，在著名的宋代五大名

窑之后，乂增加了三种瓷器，与五大名窑并称为口国八大名瓷，其中最受欢迎的

是景德镇窑.如图，景德镇产的青花玲珑瓷（无盖）的形状可视为一个球被两个平

行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可视为球冠（截得的圆

面是底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高，其面积公式为5=2兀即7,其中R

为球的半径，〃为球冠的高）.已知瓷器的高为38cm,在高为20cm处有最大直

径（外径）为48cm,则该瓷器的外表面积约为（江取3.14）（）

A.6270cm2B.6275cm2

C.6280cm2D.6300cm2

12.（2025•陕西西安模拟）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准

备将棱长为8cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方

能够放入盲盒且盲盒棱长最小，则盲盒内剩余空间的体积为（）

A64日3128a3

A.-cm'DB.---cm'

33

心256&3c512企3

C.-cm'D.---cm'

33

13.侈选）（2022•新高考H卷）如图，四边形ABC。为正方形，EO_L平面48。。，

FB//ED,AB=ED=2FB,记三棱锥£AC。，F-ABC,RACE的体积分别为必，

V2,V3,贝1」（）

A.V3=2V2B.V3=Vi

C.V3=Vi+V2D.2V3=3VI

14.（2024•九省联考）已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球O的直径相等，则

圆锥的体积与球O的体积的比值是_______,圆锥的表面积与球O的表面积的

比值是.

课后作业（三十九）球的切、接与截面问题

说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷

共73分

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

1.（2020•天津高考）若棱长为2V5的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表

面积为（）

A.12nB.24nC.36兀D.144兀

2.（2025•山东枣庄模拟）已知圆柱的底面半径为1,母线长为2,它的两个底面

的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）

A.4兀B.6兀

C.8兀D.10兀

3.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示.该工

艺品可以看成是一个球被一个棱长为4V5的正方体的六个面所截后剩余的部分

（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4兀，则该球的半径是

)

A.2B.4

C.2V6D.4V6

4.（2024•湖南张家界二模）如图，在四面体P-A8C中，以_L平面ABC.AC1CB,

PA=AC=2BC=2,则此四面体的外接球的表面积为（）

A.3nB.9兀

C.36TID.48兀

5.（2025•山东济宁模拟）已知圆锥的底面圆周在球。的球面上，顶点为球心O,

圆锥的高为3,且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球。的表面积为（）

A.12兀B.16兀

C.48兀D.96兀

6.设A,B,C,。是一个半径为4的球的球面上四点，△48C为等边三角形且

其面积为9V3,则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）

A.12V3B.18V3

C.24V3D.54陋

二、多项选择题

7.己知4,B,C三点均在球。的表面上，AB=BC=CA=2,且球心。到平面

ABC的距离等于球半径的%则下列结论正确的是（）

A.球O的表面积为6兀

B.球O的内接正方体的棱长为1

C.球O的外切正方体的棱长为g

D.球。的内接正四面体的棱长为2

8.（2025•河南郑州期中）已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为3,球。与

圆台的两个底面和侧面都相切，则（）

A.圆台的母线长为4

B.圆台的高为4

C.圆台的表面积为26兀

D.球O的表面积为12兀

三、填空题

9.中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为

“堑堵”.在如图所示的堑堵ABC-ABiG中，A4=AC=5,A8=3,BC=4,则

堑堵ABC-A4cl的外接球的体积是.

10.（2023•全国甲卷）在正方体ABCDAiBCDi中,E,小分别为4B,GDi的中

点.以为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点.

[B组在综合中考查关催能力]

11.己知三棱锥尸-ABC的四个顶点均在球。的球面上，PA=PB=PC,ZVIBC是

边长为2的正三角形，E,尸分别是以，的中点，ZCEF=90°,则球。的

体积为（）

A.8病B.4低

C.D.通兀

12.已知三棱锥尸-A8C的四个顶点都在球O的球面上，PB=PC=2®AB=AC

=4,PA=BC=2,则球。的表面积为（）

13.（多选）（2023•新高考I卷）下列物体中,能够被整体放入棱长为1（单位:m）

的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

14.已知圆锥SOi的轴截面SA3为正三角形，球02与圆锥SOi的底面和侧面都

相切.设圆锥SOi的体积、表面积分别为Vi,S\,球O2的体积、表面积分别为

心S，则自,尹--------

课后作业（四十）空间点、直线、平面之间

的位置关系

说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷

共85分

匚A组在基础中考查学科功底、

一、单项选择题

i.若直线上有两个点在平面外，则（）

A.直线上至少有一个点在平面内

B.直线上有无穷多个点在平面内

C.直线上所有点都在平面外

D.直线上至多有一个点在平面内

2.两条直线4,b分别和异面直线C,“相交，则直线4,〃的位置关系是（）

A.一定是异面直线

B.一定是相交直线

C.可能是平行直线

D.可能是异面直线，也可能是相交直线

3.如图，在正方体ABCO-A山IGQI中，异面直线4。与。C所成的角为（）

C.-D.-

32

4.已知平面aG平面£=/,点A,Ce«,点从且康%又ACCl=M,过A,

B,C三点确定的平面为冷则/?口》是（）

A.直线CMB.直线8M

C.直线A3D.直线3c

5.（2024•湖南长沙二模）如图，在三棱柱A3C-A31cl中，E,F,G,”分别为

BBi,CCi,AIBI,AiG的中点，则下列说法错误的是（）

A.E,F,G,"四点共面

B.EF//GH

C.EG,FH,A4i三线共点

D.ZEGBi=ZFHC\

6.如图，在棱长为2的正方体人BS-AiBCQi中，£1是棱CG的中点，过人，

。，£三点的截面把正方体43。。-48。|。1分成两部分,则该截面的周长为（）

B

A.3企+2遥B.2V24-V5+3

C.?D.2V24-2V5+2

7.（2024•陕西西安一模）如图，在直三棱柱A8C-A山Ci中，△A8C为等腰直角

三角形，且48=AC=号44=1,则异面直线AB\与A\C所成角的正弦值为（）

*C

V6

•3

8.《几何原本》是古希腊数学家欧儿里得的一部天朽之作，其第十一卷中称轴截

面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若A3,CO是直角圆锥SO底面

圆的直径，且乙4。。=今则异面直线S4与所成角的余弦值为（）

C.史

4

二、多项选择题

9.已知空间中的平面”，直线/,〃i,〃以及点A,B,C,。，则以下四个命题中，

不正确的是（）

A.在空间中，四边形A8CO满足A8=8C=CQ=OA,则四边形A8CO是菱形

B.若IQa,A£/,则Aea

C.若〃?ua,nua,ASn,BG”,A£/,BB,则/ua

D.若/和〃?是异面直线，〃和/是平行直线，则〃和机是异面直线

10.如图，在正方体/WCD-AIBGOI中，。为正方形A8CO的中心，当点P在

线段上（不包含端点）运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是（）

A.AB\B.A\C

C.A\AD.AD]

三、填空题

11.有下列四个命题：

①空间四点共面，则其中必有三点共线；

②空间四点不共面，则其中任意三点不共线；

③空间四点中有三点共线，则此四点共面；

④空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面.

其中所有真命题的序号为.

12.从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a,b,且a,b是异面直线,

则出人所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是.

四、解答题

13.如图，正四棱柱

(1)请在正四棱柱ABCP-AECP中，画出经过P,Q,R三点的截面(无需证明);

(2)若Q,R分别为4B,9C的中点，证明：4Q,CR,B9三线共点.

[B组在综合中考查关催能力]

14.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体,

一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个高为4的正八

面体，G为8C的中点，求异面直线EG与8尸所成角的正弦值.

课后作业(三十一)

[A组在基础中考查学科功底1

1.A[(a—b)•(b-2a)=a•b-lcr—lr-^la•b

=3Q・b—b2~3456782a2

=3X4XlX(-i)-1-2X16=-36.]

2.A[由题意知，

\2b—a\=y(2b—a)2=V4b2+a2—4a•b

=J4X2+1-4X1XV2Xy=V5.故选A.]

3.A[设向量a,〃夹角为〃，

\a+=两边平方得a2+b2+2a•b=5,

又|a|=&,|b|=l,即2+1+2XeXlXcosO=5,解得85。=岑.故选A.]

4.B[a在。上的投影向量为|a|cs〈a,b)—1^=(2»2),

故选B.]

5.D[因为通.而=彳工•而,所以方•而=(而一前).而=荏.而一

AC-AD=O,

即而_L而，所以AZ)_LCB,即直线AZ)一定经过三角形ABC的边8C上的高，

即直线AO一定经过三角形ABC的垂心.

故选D.]

>

6.B[由aJLb得，a•6=(2ei+e2)•(2ei—e2)=24e；4-(2—2)e1•e2-e1=0,

即22+p—1=0,解殍故选B.]

7.ACD[对于A,因为b在。上的投影向量为明即4・3;=〃，所以济=

|a||a|Id2

1,即涓『=1，解得2=3,故A正确；对于B,a=(-l,2),6=(1,3),所以

(-1)X3-2X1^(),故B错误；对于C,a•(b-a)=(-l,2)•(2,1)=-2+

2=0,所以〃J_(b—a),故C正确；

对于D,cos<«,b)华==&所以。与b的夹角为45°,故D正确.

|a||b|xf5x\<102

故选ACD.]

8.AC[由题可知，|0P；|=Vcos2a4-sin2a=1,|0P；|=Jcos?0+(—sin夕尸所

以|OP/=|OP2l,故A正确；

取a=%则P©,3取尸牛,

则上(一号，子)，则I丽I刊瓯I,故B错误；

因为赤•O^=cos(a+4)，OP［•OP2=cos«cossinasin/?=cos(a+^),所以

OA・西=西•西,故C正确；

因为画・OP；=cosa,OP2•OP3=cos//cos(a+/?)—siny^sin(a+/?)=cos(a+2/?),

取a=%£=*

则07•瓯=［，丽•丽=cos与=一日，所以画•丽芋丽•明，故D错

误.故选AC.］

9.(-1,一2)(答案不唯一)［根据题意可得：65=(1,2),而=(3,-1),设加

=(x,y),因为向量m//OAf且m与05的夹角为钝角，所以

{1•y=2•X,

3•%+(-1)•y<0;所以工<(),不妨令x=—1,所以y=—2,〃i=(—1,—

3・yW(-1)•%,

2).］

［法一：由。+〃。)。〃。

10.-2-8+0=0=(+6+2=2+2+2+2«•b+2b•c+2a•c

=0,

9

Aa-b+b•c+a•c=2一

法二：由a+b=—c=层+6+2。•b=c2=>a•/>=--,

由a~\-c=-Z>=>a24-c24-2fl•c=b2^a•c=-

2

由力+c=—〃=/+。2+2〃•c=(r=>b•c=-

2

9

/.a•b-\-b•c+c•a=--.1

2

［B组在综合中考查关键能力］

11.B［法一：CA•AB=-AC•^=-|X?|•|X5|cosNCAB,因为四边形

A8CD为菱形，所以2AO=4C=4,且4C_LBO,所以|而|cosNC48=AO=2,

所以刀•荏=(-4)X2=-8.故选B.

法二：建系如图所示，由AC=4,可知A(—2,0),C(2,0),设B(0,一勿，则

C7=(—4,0),^45=(2,故选B.

ICTAr,.AB•BC_AC,CB.AB•BC_AC•CB./~A~D\―/~Tr

12.D[・।—।一।,••产=i-~--cos\ABBC)=cos\AC,

L\AB\\AC\，\AB\•BC\AC\«\BC\ff'，

CB\

・・・NB=NC,为等腰三角形，又:普•普=3・・・cos<A5,AC)=

\AB\|AC|2

：.cosA=-又A&((),7T),AA=-,••.△ABC为等边三南形.故选D.]

22t3

13.B[依题意，不妨设〃=(1,0),5=(0,1),c=(xfy),

则(c—a)•(c—5)=。-1,y)•(x,y-\)=x1-^-y1-x-y=-