2025年高考数学二轮复习分层训练：函数与方程（原卷版）

专题02函数与方程

一、核心先导

专题02函数与方程

二、考点再现

【考点1】函数的零点

对于一般函数y=/(x),A-GD,我们把使/(x)=0成立的实数X叫做函数y=/(x),xeD的零点.注

意函数的零点不是点，是一个数.

【考点2】函数的零点与方程的根之间的联系

函数y=/(x)的零点就是方程/(幻二。的实数根，也就是函数y=/(x)的图象与X轴的交点的横坐标

即方程/(X)=0有实数根o函数)=f(x)的图象与X轴有交点=函数)，=/(x)有零点.

【考点3】零点存在定理

如果函数)，=/5)在区间［4"上的图象是连续不断的一条曲线，并且有/(〃)•/(〃)V。，那么，函数

y=/3)在区间(。/)内有零点，即存在cw(4〃)，使得/(。)=0,这个C也就是方程/(幻=0的根.

注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.

【考点4】二分法

对于在区间上连续不断且<。的函数)，=/M,通过不断地把函数/(X)的零点所在的区间一

分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.求方程/(x)=0的近

似解就是求函数/(幻零点的近似值.

【考点5】高频考点技巧

①若连续不断的函数/(X)是定义域上的单调函数，则/(X)至多有一个零点；

②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号：

③函数月(x)=/(x)-g(x)有零点o方程产。)二。有实数根。函数y=/(x)与％=g(x)的图象有交

点；

④函数F(x)=/(x)-。有零点。方程「(幻=0有实数根。函数乂=/*)与％=。的图象有交点

<^>aE{y\y=f(x)}f其中。为常数.

三、解法解密

方法一：确定函数f(力零点个数(方程M=0的实根个数)的方法：

(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程/tr)=o的判别式A>0,A=o,A

V。来完成：对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断.

(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确

定，如三次函数的零点个数问题.

(3)若函数f(x)在［a,3上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又F(a)-F(EV0,则y=

f{x}在区间(a,4)内有唯一零点.

方法二：导数研究函数图象交点及零点问题

利用导数来探讨函数>'=f(x)的图象与函数)，=以工)的图象的交点问题，有以下几个步骤：

①构造函数h(x)=/(x)-g(x):

②求导h\x)；

③研究函数万(X)的单调性和极值(必要时要研究函数图象端点的极限情况)；

④画出函数〃(幻的草图，观察与x轴的交点情况，列不等式；

⑤解不等式得解.

探讨函数)，=/(%)的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.

四、考点解密

题型一:判断零点所在区间

例1.(1)V(新疆疏勒县八一中学2025.2025学年高二上期末)

2

函数/(x)=ln(x+1)一二的一个零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1⑵C.(2,3)D.(3,4)

(2)、(2022•北京市西城外国语学校高一期中)函数/。)=£-丁零点所在的一个区间是()

x

A.(-2,-1)B.(0,1)C.(L2)D.(2,-KO)

【变式训练1-1】.(2025•浙江湖州高一期中)函数/(幻=皿K+21一3的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(L2)C.(2,3)D.(3,4)

【变式训练1-2】、(2025•内蒙古•北方重工集团第五中学高一阶段练习(文))函数=的零

•X

点所在区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(3,4)D.(4,+8)

题型二:零点个数的判断

例2.（1）、（2008•湖北•高考真题（文））方程2-，+*2=3的实数解的个数为

（2）、（2022•四川省泸县第二中学模拟预测）函数/（工）=111工+2工-6的零点的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【变式训练2/】.（2。25•张家口市第一中学高一月考）函数/⑴二力欧的零点个数为，）

A.0B.IC.2D.3

x-+2x,x<0/、/、

【变式训练2-2】.（2021•陕西•西安中学模拟预测）1知函数/"）=•M，x>0，则函数g（M=/（I）7

的零点个数为（）.

A.1B.2C.3D.4

题型三:根据零点个数，求解析式中参数的范围

例3.（1）、（2021•广东•东莞市东方明珠学校模拟预测）若关于x的方程2/_3/+。=0在区间［-2,2］上

仅有一个实根，则实数。的取值范围为()

A.[-4,0]B.(1,28]C.H，0)U(l,28]D.[-4,0)u(l,28)

24.

+4x+ciK<1

(2)、(2022•山西•模拟预测)已知函数/(%)=,।:'若函数y=/(x)-2有三个零点，则实数〃

lnx+l,x>I,

的取值范围是()

A.(R⑵B.(—3,4)C.(-3,6)D.(T+oo)

ln.r,x>I

【变式训练3-1】.（2025•湖南•雅礼中学模拟预测）已知定义在R上的函数/（"=।I,,若函数

产2一斗工，I

=at恰有2个零点，则实数”的取值范围是（）

A.B.（-^,-1）jQ,lj

C.（-8,-1）J%1）U{O}D.（—1,0）J{O}U-ul

[l-|l-x|,0<x<2

【变式训练3-2】、（2022•云南保山•模拟预测（理〉）已知函数/（力若方程八刈=右

[2/(x-2),2<x<8

恰好有四个实根，则实数A的取值范围是（）

B.

题型四:根据零点个数或零点所在区间，求零点之间的关系

e"r<（）

例4.（1）.（2022•吉林•东北师大附中模拟预测）已知函数/（幻=°,屋"=-/+2]（其中e

3Mx>0

是自然对数的底数），若关于x的方程尸"）=式〃为）-“恰有三个不同的零点和孙当，且王<々<七，则

3%-々+3&的最大值为（）

34

A.1+ln-B.l+ln-C.3-ln3D.3+ln3

43

|!ogAj,X>0

（2）.（2021•普宁市第二中学高三月考）已知函数/（刈=«2

|x-l|,x<0二

/（』）=/（&）=/（玉）=/（/）（$/2，七，引互不相等），则内+当+当+4的取值范围是（）

A•卜川B-[-?°

3w-l,（x<l）

【变式训练4-1】.（2021•云南红河,模拟预测（文））已知函数/（"=《2、16,、，若用<%2</〈天，

六一41+5,（x>l）

旦"%）=/（超）=/（&）=/（&），则W的取值范围是（）

A.(-8,-5)B.(5,8)C.(8,11)D.(-11,-8)

【变式训练4-2】.（2。25•全国•高三零模（文））已知函数小若函数尸/3-〃有3个不

同的零点N，x?，卬、<与<多），则不+9+；的取值范围是

题型五:根据零点所在区间，求解析式中参数的范围

例5.（1）、（2025•江苏南通•一模）已知函数/（x）=x+lnx-4的零点在区间（k,A+l）内，则正整数k的

值为________

（2）、（2021•江西上饶•二模（文））己知函数/。）=加大-3/+1,若/0）一&＞。恰有3个正整数解,

则上的取值范围为（）

[In27In37、

'•_―4，-3__6；B.

fln27In37-

c〔〒一“丁工D.

16x2-24x+9,x<l

【变式训练5-1】.（2022•新疆昌吉•二模（文））已知函数/（%）=•若关于X的方程

〃”=〃?（〃蚱/?）有三个不同的实根，则小的取值范围为,

【变式训练5-2】.(2025•安徽•三模(文))已知函数/(x)=lnx-(；)i+〃有唯一的零点小，且与e(2,3),

则实数”的取值范围是

A.(—In3,—In2)B.(—In3,—In2)

4234

C.(~+In2,—+In3)D.(~+In2,-+In3)

题型六:复合函数的零点问题（自我嵌套）

例6.（1）＞（2021•吉林长春外国语学校（理））已知函数〃力=,：：；：00,若关于4的方程

有且只有一个实数根，则实数”的取值范围是（）

A.（-QO,0）B.（r,0）U（0,l）

C.（0,1）D.（O,l）U（l,e）

⑵,（2。22•全国高三专题练习）设”七函数小）七二工幻若函数I卜⑼恰有4个零点,

则实数"的值为.

Ki；；：。则函数Z[/⑸的所

【变式训练6-1].（2022•全国高三专题练习（理））已知函数/。）=・

有零点之和为

,1八

Inx—r>0

【变式训练6-2】、（2022•湖南•长郡中学模拟预测）已知函数/"）=•X’，则函数y=/U*)+l]

x2+2.r,x<0

的零点个数是（）

A.2B.3C.4D.5

题型七:复合函数的零点问题（与二次函数嵌套）

例7.⑴、（2。22•陕西铜川市耀州中学模拟预测（文））设函数仆）=晨：；工，若关于，的方程

[〃x）[2—（a+2）/（x）+3=0恰好有六个不同的实数解，则实数。的取值范围为（）

A.(-2百-2,26-2)B.(25/5-2,5

C.[|收)

D.(2行-2,司

（2）、（2021•江西省乐平中学高一开学考试）已知函数。的值域为R,且a对，若关

[-x~+l,x<0

干工的方程r（x）-（〃7+2）/（x）+2"7=O有三个不同的实数根，则〃?的取信范围为（）

A.（~co,l）B.（9,e）C.[0,1]D.[0,e]

/.fllnJ|（A:>0）

【变式训练7-1】、（2021•吉林省实验中学模拟预测（文））已知函数/x则关于x

-x-0,

的函数），=4/2（刈-13〃力+9的零点的个数为（）

A.8B.7C.5D.2

ln（|x|+l）,x<0

【变式训练7-2】.（2021•黑龙江鹤岗一中（理））已知函数/（"={x,若方程

尸”>0

.尸（司+2"?・/（力+>-1=。恰有4个不同的实数根，则实数切的取值范围是（）

A.（-2,-1）B.（0,2）

C.D.-2,盘、

题型八:高考压轴真题训练

例8.⑴、(2007•湖北•高考真题)关于x的方程卜2_])2_,_[卜&=。，给出下列四个命题:

①存在实数3使得方程恰有2个不同的实根;

②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根;

③存在实数3使得方程恰有5个不同的实根;

④存在实数上，使得方程恰有8个不同的实根.

其中假命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

(2)、(2025•江苏•高考真题)设/(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，的周期为4,g(x)的周期

l(r+2),O<r<1

2

为2,且/(-v)是奇函数.当xe(0,2]时，fM=71-(x-l)，gO)="_1]<r<2，其中人>。•若在区间(。⑼

上，关于x的方程/0)=&*)有8个不同的实数根，则A的取值范围是_____.

e"x<0

【变式训练8-1】・(2025•全国•高考真题(理))已知函数/")=/一\g(x)=/(x)+x+a.若g(x)

jnx,x>0»

存在2个零点，则〃的取值范围是

A.[-1,0)B.[0,+<x>)C.[-1,+oo)D.[h+<»)

【变式训练8-2】.(2021•北京•高考真题)已知函数〃幻=|电H-二-2,给出下列四个结论:

①若k=0,Ax)恰有2个零点；

②存在负数3使得/(灯恰有1个零点：

③存在负数3使得/(x)恰有3个零点；

④存在正数k,使得/(x)恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

五、分层训练

A组基础巩固

1.(2022•陕西・咸阳市高新一中高一期中)函数/(1)=/+/-2的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

2.(2022•重庆八中高一期末)/(x)=log2X+x-7的零点所在区间为()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

3.(2022•广东•肇庆市外国语学校模拟预测)已知函数/(力满足〃x+l)=/(x-1),当xe［Q2)时，

/(.i)=x3_gf_2x,则/(力在［0,8］上的零点个数为()

A.4B.6C.8D.9

4.(2022•黑龙江•佳木斯一中三模(理))已知函数/(x)=e2i-e-3e'sin(x-1),则函数产〃力的所有

零点之和为()

A.0B.1C.2D.3

5.(2022•天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测)已知定义在R上的奇函数/(x)恒有/(x-l)=/(x+1),

当时，〃”=•二1,已知2c-西，-正，则函数g(x)=/(x)-AV在(—1,6)上的零点个数为()

2+1I1313yz3

A.4个B.5个C.3个或4个D.4个或5个

6.(2021•河南•罗山县教学研究室一模(理))已知函数/(x)=L:+："'八在定义域上单调递增，

［2-logJx+l),x<0

且关于x的方程/(x)=x+2恰有一个实数根，则实数a的取值范围为()

11

A.B.一，一D.(0,1)

4e

l,x=2

7.(2025•安徽•安庆一中模拟预测(理))设函数/。)=bgak-2|+l”2,a>l'若函数

gG)=/2(x)+/(x)+c有三个零点七,修，七，则内占+%2七+王&=()

A.12B.11C.6D.3

8.(2。25.内蒙古・鄂尔多斯市第一中学一模(文))函数小)=［：；；*丁X。，若存在实数”,

使得方程/("=〃7有三个相异实根，则实数。的范围是()

B.0

A.C.(-00,2]D.7,2

x2-6x+6,xN()

9.（2025•辽宁鞍山•一模（文））设函数/（幻={,若互不相等的实数七，/，当满足

3x+4,x<0

/（x1）=/（x2）=/（x3）,则%+占+&的取值范围是（）

<202620型、fH,

A.IT'TB.石'彳,C.D.

10.（2022•云南师大附中模拟预测（理））已知函数/（x）=sinx+acosM”0）的最大值为2,若方程”“二6

在区间,，等I内有三个实数根3，W，43，且王<工2<&，则王+2当+玉等于（

)

A.(D10兀25兀

B.-----C.471D.

336

11.（2022•全国•模拟预测）已知函数/3=-8S.J;⑴是〃/）的导函数，则方程l£Wl_l=offi(o,+^)

内实数根的个数是,

sin^x,xe[0,2]

12.（2022•四川•成都七中三模（文））已知函数〃x）=1“、/、，则函数），=/（》）-尔4-1）

卜«2,+8）

的零点个数是个.

x2-2x,x0

・陕西商洛•模拟预测（理））函数/（力=«

（20212-(1一。的零点个数为

14.（2021•全国•模拟预测（文））方程=的实数根的个数为

£；；°’有且仅有两个零点，则实数力的一个取值为

（2022•北京昌平•二模）若函数/。）=

x•+cix>—2

16.（2025•云南文山•模拟预测（理））已知函数/3）=同x+4；二.2°为自然对数的底数）‘若八幻

有三个零点，则实数4的取值范围为.

llnx|,0<x<2

17.（2022•内蒙古•包钢一中一模（文））设/（%）=•/（IT）,2c<4若方程""）='〃有四个不相等的实根

X.（z=l,2,3,4）,且玉vqv/vz，则（内+/丫+石+石的取值范围为

18.（2021•江西•新余市第一中学模拟预测（文））已知定义在K上的奇函数/*）,满足/。+2）=-/（幻，且

当”£[0,1]时，/（x）=x2+x+sin^,若方程/（x）=〃?（〃〉0）在区间[-4,4]上有四个不同的根人"2，卬声，则

K+S+s+Z的值为

B组能力提升

|log2(x-2)|,2<x<4

19.(2。22•山西•一模(文))设函数若有四个实数根为

(X-5)2,X>4

%，且则«+广)"+」一；的取值范围是()

5x2-\

A(臀)B.因

(]7、

C.^3,—D.(3,-KO)

20.(2022•河南•模拟预测(理))已知函数/("为定义在R上的单调函数，K/(/(X)-2'-2A)=10.若

函数有3个零点，则”的取值范围为()

A.(2,3]B.(—1,3]

C.(3,4]D.(-1,4]

21.(2022•宁夏六盘山高级中学二模(理))己知00,函数/a)=2h](at)—x,若函数〃(x)=/(/(x))-x

恰有两个零点，则实数。的取值范围是()

A.(:'+8B.%+8)C.(e,y)D,回+8，

/.f|lnxl(x>0)

22.(2021•吉林省实验中学模拟预测(文))已知函数fx=F2，/小，则关于K的函数

-x-3x(x<0)

y="2(x)-13〃x)+9的零点的个数为()

A.8B.7C.5D.2

—+1(¥>0)

23.(2021•甘肃白银•模拟预测(理))已知函数/。)=2、，若函数g(x)=/(/(x)-〃。-2,

2F+41+2(430)

则下列结论正确的是()

A.若g(x)没有零点,则mWO

B.当〃?=2时，g。)恰有1个零点

C.当g(x)恰有2个零点时，加的取值范围为(0』

D.当g(x)恰有3个零点时，帆的取值范围为(1,3]{4}

24.（2022•山东省实验中学模拟预测）（多选题）已知函数/⑶是定义在R上的偶函数，且当x>（）时，

3x-x2,0<x<2

〃力=，w（x-2）,那么函数g（x）=/*）-2在定义域内的零点个数可能是（）

—-----,x>2

x

A.2B.4C.6D.8

25.（2025•全国•模拟预测）（多选题）已知函数是定义在A上的奇函数，当xvO时，〃6=F（x+l）,

则下列说法正确的是（）

A.当x>0时，/（x）=^r（l-x）

B.函数/（x）有2个零点

C.〃x）>0的解集为（TO）"'3）

D.,x?uR，都有|/（内）一〃巧）卜2

26.（2022•江苏南京•模拟预测）（多选题）已知函数/（幻=伊函数产/⑴-“有四个不同

11》—L）,X>1,

的零点演，々，鼻，几，且玉<%2<七<七，则（）

A.〃的取值范围是（0,1）B.%-占的取值范围是（。，1）

2"+2必

C.x^+x4=4D.------=2

毛十5

27.（2022•福建三明•模拟预测）己知函数/"）=xlnx+o（l-x）+x在区间（1,+oo）内没有零点，则实数

〃的取值可以为（）

A.-1B.2C.3D.4

/、|2r-2|,x<3

28.（2022•湖北•丹江口市第一中学模拟预测）已知函数/（》）=।,1,设函数

—厂+8x—12,X>3

gU）=[/（A-）l2-（2r+l）/（x）+r+;,则下列说法正确的是（）

A.若g*）有4个零点，则3Wf<4

B.存在实数人使得g*）有5