2026版《中考数学·二次函数压轴题专题突破练》专题09 二次函数背景下的动点问题探究（原卷版）

PAGE2PAGE专题09二次函数背景下的动点问题探究【方法综述】动点是常见的综合问题中的构成要件，通过点的运动命题者可以构造各种问题情景。动点的呈现方式从动点个数往往有单动点或双动点，从运动呈现方式分为无速度动点和有速度动点，从动点的引起的变化分为单个动点变化和以动点驱动的图形运动。【典例示范】类型一常规单动点问题例1：．（广东省深圳市）已知二次函数y=ax2+bx+3的图象分别与x轴交于点A（3，0），C（-1，0），与y轴交于点B．点D为二次函数图象的顶点．（1）如图①所示，求此二次函数的关系式：（2）如图②所示，在x轴上取一动点P（m，0），且1＜m＜3，过点P作x轴的垂线分别交二次函数图象、线段AD，AB于点Q、F，E，求证：EF=EP；例2：（年广西）如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴与抛物线相交于点M，与x轴相交于点N，点P是线段MN上的一个动点，连接CP，过点P作PE⊥CP交x轴于点E．（1）求抛物线的顶点M的坐标；（2）当点E与原点O的重合时，求点P的坐标；（3）求动点E到抛物线对称轴的最大距离是多少？针对训练1．（山东省济南市历下区）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c，经过点(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)如图，点M是第一象限中BC上方抛物线上的一个动点，过点作MH⊥BC于点H，作ME⊥x轴于点E，交BC于点F，在点(3)如图，连接AB，在y轴上取一点P，使ΔABP和ΔABC相似，请求出符合要求的点P坐标．2．（四川省简阳市届九年级）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x−ax−4a<0与x轴交于A、B两点（点（1）若D点坐标为32,25（2）若点M为抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为a，点N为抛物线在x轴上方一点，若以C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求a的值；（3）直线y=2x+b与（1）中的抛物线交于点D、E（如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为D'，与直线的另一个交点为E，与x轴的交点为B'，在平移的过程中，求3．（浙江省金衢十二校届九年级3月联考数学）如图1，抛物线y1=−43x2−4(1)求出t与k的值.(2)抛物线的对称轴交x轴于点D，在x轴上方的对称轴上找一点E，使△BDE与△AOC相似，求出DE的长.(3)如图2，过抛物线上动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2=kx+3于点Q，若点Q′是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G(不与点C重合)，使点Q′落在y轴上？，若存在，请直接写出点G的横坐标；若不存在，请说明理由.4．（四川省自贡市年初中升学考试调研）如图，直线y＝34x+a与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝34x2+bx+c经过点A，B．点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB及抛物线于点P，（1）填空：点B的坐标为，抛物线的解析式为；（2）当点M在线段OA上运动时（不与点O，A重合），①当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值；②求出使△BPN为直角三角形时m的值；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，请直接写出此时由点O，B，N，P构成的四边形的面积．5．（江苏省无锡市天一实验学校届中考数学一模）如图，已知抛物线y=ax2−(1)求该抛物线的表达式；(2)设点M(m,n)为抛物线上的一个动点，当点M在曲线BA之间(类型二双动点问题例3．（重庆市大渡口区届九年级第二次诊断考试）如图，抛物线y=-35[（x-2）2（1）求m、n的值；（2）如图，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；（3）如图，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．针对训练1．（河北省届九年级毕业生升学文化课考试模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点P，点Q的运动时间为t(s).（1）当t=1s时，按要求回答下列问题①tan∠QPC=②求经过O，P，A三点的抛物线G的解析式，若将抛物线G在x轴上方的部分图象记为G1，已知直线y=12x+b与（2）连接CQ，点P，Q在运动过程中，记ΔCQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数解析式.2．（重庆一中届九年级（上)期中数学试卷）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx+53（1）求抛物线与直线的解析式；（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH⊥AR于点H，过点P做PQ∥x轴交抛物线于点Q，过点P做PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝23PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝132（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN⊥x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．3．（江苏省扬州市宝应县届九年级上学期期末）已知，如图1，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+3对称．（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点，连接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值．4．（江苏省句容市第二中学）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝−13x（1）填空：b＝，c＝；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点M在抛物线上，且△AOM的面积与△AOC的面积相等，求出点M的坐标。类型三以动点驱动的图形运动例4：（浙江省金衢十二校届九年级下学期3月联合模拟）如图，抛物线y1=−43x2−43tx−t+2与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），过y轴上的点C(0,4)图（1）图（2）（1）求出t与k的值.（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，在x轴上方的对称轴上找一点E，使ΔBDE与ΔAOC相似，求出DE的长.（3）如图，过抛物线上动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2=kx+3于点Q，若点Q'是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q落在y轴上，若存在，请直接写出点针对训练1．（湖北省鄂州市梁子湖区届九年级下学期期中）如图，抛物线y=−13x2(1)求抛物线的解析式；(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．（广东省广州市天河区届九年级（上)期末）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．(1)求3m+n的值；(