2026中考数学一轮复习课件第19讲：直角三角形（课件）

第四章三角形第19讲直角三角形4大考点精讲+专训4大中考命题点+18大题型探究01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求直角三角形勾股定理勾股定理逆定理★★★★理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理;探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.【考情分析】该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点.出题类型可以是选择，填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸.结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向.★★★02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究勾股定理逆定理考点三勾股定理考点二直角三角形考点一直角三角形勾股定理的实际应用考点四直角三角形考点一定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形性质性质图示几何描述直角三角形两个锐角互余.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.在△ABC，∠C=90°∴∠A+∠B=90°在△ABC，∠C=90°，CD为AB边的中点，∴∠A+∠B=90°在△ABC，∠C=90°，∠B=30°，∴AB=2AC直角三角形考点一1）两个内角互余的三角形是直角三角形.2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．

4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形判定面积公式

(其中：c为斜边上的高，m为斜边长)针对练习直角三角形考点一

DA

03考点突破·考法探究勾股定理逆定理考点三勾股定理考点二直角三角形考点一勾股定理勾股定理的实际应用考点四勾股定理考点二文字语言直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方符号语言

变式

易错点勾股定理考点二勾股定理的验证图一图二图三方法一：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以（b-a）为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即4SΔ+S正方形EFGH=S正方形ABCD，∴4×12ab+(b-a)²=c²，化简可证

勾股定理考点二针对练习

A．12 B．13 C．14 D．15B

勾股定理考点二针对练习

5

03考点突破·考法探究勾股定理逆定理考点三勾股定理考点二直角三角形考点一勾股定理逆定理勾股定理的实际应用考点四勾股定理逆定理考点三1.勾股数勾股数

1）这三个数均是正整数；2）两个较小数的平方和等于最大数的平方.常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等.勾股数需要满足的两个条件2.勾股定理的逆定理

内容【补充说明】1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法；

勾股定理逆定理考点三针对练习1．（2024·江苏扬州·三模）下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（

）A．3，4，5 B．9，15，17C．25，7，24 D．8，6，10

B

D

构成一个直角三角形三边的一组正整数等腰直角三角形

03考点突破·考法探究勾股定理逆定理考点三勾股定理考点二直角三角形考点一勾股定理的实际应用勾股定理的实际应用考点四勾股定理的实际应用考点四1.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤1）直接利用勾股定理列方程解决实际问题；2）利用勾股定理解决几何体表面最短距离问题；3）利用勾股定理和方程思想解决与“翻折”相关的问题；4）利用勾股定理解决有关几何图形的面积问题.1）从实际问题中抽象出几何图形；2）确定与问题相关的直角三角形；3）找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；4）求得符合题意的结果.2.利用勾股定理解决实际问题的常见类型勾股定理逆定理考点三针对练习

A．8 B．10 C．12 D．13

A．150sB．60s C．100s D．不会再取得联系CB

嘉琪李明

04题型精研·考向洞悉由直角三角形的性质求解题型01直角三角形的性质与判定命题点一根据已知条件判定直角三角形题型02命题点一直角三角形的性质与判定►题型01由直角三角形的性质求解

D

∟

方法指导解题的关键：٭掌握菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理٭正确进行勾股定理计算

命题点一直角三角形的性质与判定►题型01由直角三角形的性质求解

∟

B

命题点一直角三角形的性质与判定►题型02根据已知条件判定直角三角形

D方法指导解题的关键：٭掌握菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理٭正确进行勾股定理计算

命题点一直角三角形的性质与判定►题型02根据已知条件判定直角三角形

命题点一直角三角形的性质与判定►题型02根据已知条件判定直角三角形

命题点一直角三角形的性质与判定►题型02根据已知条件判定直角三角形

04题型精研·考向洞悉利用勾股定理求解题型01勾股定理命题点二判断勾股数问题题型02以直角三角形三边为边长的图形面积题型03与直角三角形三边为边长的图形面积有关的规律探究问题题型04勾股定理与网格问题题型05勾股定理与折叠问题题型0604题型精研·考向洞悉勾股定理的证明方法题型09勾股定理命题点二赵爽弦图题型10利用勾股定理构造图形解决实际问题题型11勾股定理与无理数题型07利用勾股定理证明线段平方关系题型08命题点二勾股定理►题型01利用勾股定理求解

方法指导解题的关键：٭掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理٭正确进行勾股定理计算

∟

命题点二勾股定理►题型01利用勾股定理求解

A

命题点二勾股定理►题型01利用勾股定理求解

D

解题的关键：٭掌握勾股定理的应用，分清楚𝑎，𝑏为直角边，𝑐为斜边٭正确进行勾股定理计算命题点二勾股定理►题型02判断勾股数问题方法技巧

方法指导

命题点二勾股定理►题型02判断勾股数问题

C

∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；解题的关键：٭掌握图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质٭正确进行勾股定理计算命题点二勾股定理►题型03以直角三角形三边为边长的图形面积【例1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为

．方法指导48

命题点二勾股定理►题型03以直角三角形三边为边长的图形面积

D

命题点二勾股定理►题型04与直角三角形三边为边长的图形面积有关的规律探究问题

解题的关键：٭掌握图形类规律类、等腰直角三角形的性质、勾股定理٭正确应用勾股定方法指导

命题点二勾股定理►题型04与直角三角形三边为边长的图形面积有关的规律探究问题

命题点二勾股定理►题型04与直角三角形三边为边长的图形面积有关的规律探究问题

命题点二勾股定理►题型04与直角三角形三边为边长的图形面积有关的规律探究问题【问题探究】

命题点二勾股定理►题型05勾股定理与网格问题正方形网格中的每一个角都是直角，在正方形网格中的长度计算都可以归结为求任意两个点之间的距离，一般情况下都是运用勾股定理来进行计算，关键是确定每一条边所在的直角三角形.方法技巧

命题点二勾股定理►题型05勾股定理与网格问题

解题的关键：٭掌握网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算٭熟练利用网格作平行线或垂直方法指导

命题点二勾股定理►题型05勾股定理与网格问题

解题的关键：٭掌握网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算٭熟练利用网格作平行线或垂直方法指导

答案不唯一

命题点二勾股定理►题型05勾股定理与网格问题

解题的关键：٭掌握网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算٭熟练利用网格作平行线或垂直方法指导

答案不唯一命题点二勾股定理►题型05勾股定理与网格问题

命题点二勾股定理►题型06勾股定理与折叠问题

解决“翻折”问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或角与已知线段、角归结到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或通过勾股定理列方程使问题得以解决.方法技巧

命题点二勾股定理►题型06勾股定理与折叠问题

∟∟

命题点二勾股定理►题型07勾股定理与无理数

解题的关键：٭掌握勾股定理，和垂直定义٭熟练进行勾股定理计算方法指导

A

命题点二勾股定理►题型07勾股定理与无理数

命题点二勾股定理►题型08利用勾股定理证明线段平方关系

解题的关键：٭掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定٭熟练进行勾股定理计算方法指导

命题点二勾股定理►题型08利用勾股定理证明线段平方关系

命题点二勾股定理►题型08利用勾股定理证明线段平方关系

命题点二勾股定理►题型08利用勾股定理证明线段平方关系

命题点二勾股定理►题型08利用勾股定理证明线段平方关系

(2)【深入研究】如图2，试探索（1）中的结论在一般情况下是否仍然成立；

命题点二勾股定理►题型08利用勾股定理证明线段平方关系

命题点二勾股定理►题型09勾股定理的证明方法【例1】（2023·北京大兴·一模）下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完成证明．解题的关键：٭掌握勾股定理的证明，利用数形结合解决问题٭熟练进行勾股定理计算方法指导命题点二勾股定理►题型09勾股定理的证明方法【例1】（2023·北京大兴·一模）下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完成证明．

命题点二勾股定理►题型10赵爽弦图方法技巧

内弦图模型外弦图模型条件在正方形内部，有四个全等的直角三角形.图示结论1）四边形ABMN为正方形2）

3）

1）四边形CMHG为正方形2）

3）

命题点二勾股定理►题型10赵爽弦图

解题的关键：٭掌握弦图，正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理٭熟练掌握各知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形方法指导命题点二勾股定理►题型10赵爽弦图

∟

命题点二勾股定理►题型10赵爽弦图

【例1】（2024·辽宁抚顺·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（）命题点二勾股定理►题型11利用勾股定理构造图形解决实际问题

C解题的关键：٭掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方٭正确理解题意，表示出OE的长方法指导5尺4尺OE=x-4命题点二勾股定理►题型11利用勾股定理构造图形解决实际问题

AABFCDE解：如图

04题型精研·考向洞悉在网格中判定直角三角形题型01勾股定理逆定理命题点三利用勾股定理逆定理求解题型02命题点三勾股定理逆定理►题型01在网格中判定直角三角形

解题的关键：٭掌握勾股定理的网格问题、勾股定理逆定理等知识点٭熟练应用勾股定理逆定理判定直角三角形方法指导

命题点三勾股定理逆定理►题型01在网格中判定直角三角形1.（2023·广东·中考真题）综合与实践主题：制作无盖正方体形纸盒素材：一张正方形纸板．步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．猜想与证明：

2．（2022·四川广元·中考真题）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）命题点三勾股定理逆定理►题型01在网格中判定直角三角形

B解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．E

命题点三勾股定理逆定理►题型02利用勾股定理逆定理求解

解题的关键：٭掌握三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算٭根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线方法指导

D

O

命题点三勾股定理逆定理►题型02利用勾股定理逆定理求解

C

∟D

04题型精研·考向洞悉用勾股定理解决实际生活问题题型01勾股定理的实际应用命题点四用勾股定理逆定理解决实际生活问题题型02求最短路径问题题型03命题点四勾股定理的实际应用►题型01用勾股定理解决实际生活问题

解题的关键：٭掌握勾股定理的应用-方向角问题٭三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线