2025年云南省高起专数学（理科）试题含答案

2025年云南省高起专数学（理科）试题含答案一、选择题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)=2x3在区间（2，+∞）上是增函数，则f(x)在区间（∞，2）上是（）

A.增函数

B.减函数

C.常函数

D.无法确定

答案：B

解析：由于f(x)=2x3是一次函数，其斜率为正，故在区间（2，+∞）上f(x)为增函数。由于一次函数在整个定义域内单调性不变，所以在区间（∞，2）上f(x)为减函数。

2.设集合A={x|x>0}，B={x|x≤0}，则A∪B等于（）

A.空集

B.自然数集

C.实数集

D.负整数集

答案：C

解析：集合A表示所有大于0的实数，集合B表示所有小于等于0的实数。A∪B表示A和B的并集，即包含了所有实数。

3.若等差数列{an}的前n项和为Sn=n(n+1)，则数列的通项公式为（）

A.an=n

B.an=n+1

C.an=2n

D.an=n^2

答案：A

解析：当n=1时，a1=S1=1(1+1)=2。当n≥2时，an=SnSn1=n(n+1)(n1)n=n。所以数列的通项公式为an=n。

4.若函数f(x)=x^22x+1在区间（1，3）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）

A.a>1

B.a<1

C.a=1

D.a≠1

答案：B

解析：f(x)=x^22x+1=(x1)^2。由于f(x)在区间（1，3）上有两个不同的零点，故a<1。

5.已知三角形ABC中，a=3，b=4，C=90°，则三角形ABC的面积S等于（）

A.6

B.8

C.12

D.16

答案：B

解析：根据勾股定理，c=√(a^2+b^2)=√(3^2+4^2)=5。三角形ABC的面积S=1/2ab=1/234=6。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.若函数f(x)=|x2|+|x+3|的最小值是5，则x的取值范围是______。

答案：x∈[1,5]

解析：f(x)=|x2|+|x+3|表示数轴上点x到点2和点3的距离之和。当x在2和3之间时，f(x)取得最小值。即3≤x≤2。

2.设函数f(x)=x^22ax+a^2，若f(x)的图像开口向上且顶点在y轴上，则a的取值范围是______。

答案：a=0

解析：开口向上说明二次项系数为正，顶点在y轴上说明一次项系数为0。所以a=0。

3.若等比数列{an}的前n项和为Sn=3^n1，则数列的通项公式是______。

答案：an=23^(n1)

解析：当n=1时，a1=S1=3^11=2。当n≥2时，an=SnSn1=3^n1(3^(n1)1)=23^(n1)。所以数列的通项公式为an=23^(n1)。

4.已知函数f(x)=x^36x+9，求f(x)的极值。

答案：极大值f(1)=16，极小值f(2)=1

解析：f'(x)=3x^26。令f'(x)=0，解得x=1或x=2。f(1)=(1)^36(1)+9=16，f(2)=2^362+9=1。所以f(x)的极大值是16，极小值是1。

5.若函数f(x)=x^24x+3在区间（1，3）上单调递增，求实数a的取值范围。

答案：a≤2

解析：f(x)的导数为f'(x)=2x4。要使f(x)在区间（1，3）上单调递增，需满足f'(x)>0。解不等式2x4>0，得x>2。所以a≤2。

三、解答题（共50分）

1.（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+n，求：

（1）数列的首项a1；

（2）数列的通项公式an；

（3）数列的第10项a10。

答案：

（1）a1=S1=21^2+1=3；

（2）an=4n1；

（3）a10=4101=39。

解析：

（1）当n=1时，首项a1=S1=21^2+1=3。

（2）当n≥2时，an=SnSn1=(2n^2+n)(2(n1)^2+(n1))=4n1。所以数列的通项公式为an=4n1。

（3）将n=10代入通项公式，得a10=4101=39。

2.（15分）已知函数f(x)=x^22x+c，其中c是常数。若f(x)的图像与x轴有交点，求实数c的取值范围。

答案：c≤1

解析：f(x)=x^22x+c与x轴有交点，即存在实数x使得f(x)=0。根据二次方程的判别式，Δ=b^24ac=(2)^241c=44c。要使Δ≥0，得44c≥0，即c≤1。

3.（20分）已知三角形ABC中，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c。且a=3，b=4，C=90°。

（1）求三角形ABC的面积S；

（2）求角A的正弦值sinA；

（3）求角B的余弦值cosB。

答案：

（1）S=6；

（2）sinA=4/5；

（3）cosB=3/5。

解析：

（1）根据勾股