复变第2章复习指南

第2章复变函数---复习指南内容小结复变函数的概念及其映射性质复函数的定义与一元实函数的定义形式完全相同,但是本质上两者是不同的.一元实函数的定义域是直线上的点集,复函数的定义域是复平面上的点集.一个复函数等价于两个二元实函数.在几何上,复函数是平面上点集到平面上点集的一个映射.复函数的极限与连续性在形式上，复函数的极限与连续性的定义与实函数的极限与连续性的定义完成一样，所以它们有一些类似的性质。注意它们的区别，实函数的极限与连续性有保号性与保不等式性，复函数的极限与连续性没有这两个性质，因为复数不能比较大小。定理A:复函数在点连续（或存在极限）当且仅当二元实函数都在点连续（或存在极限）。复函数的可微性与解析性1）、复函数可微的概念与判定条件定义：若存在，则称在点可微或可导。注：(1)由在可微或可导可推出在连续，反之不然。(2)在复数域中，处处连续而又处处不可导的函数随手可得，比如等等。定理B:复函数在点可微当且仅当二元实函数都在点可微,且在点满足C.-R.条件:.定理C:复函数在点可微的充分条件是:都在点连续,且在点满足C.-R.条件:.2）、复函数解析的概念与判定条件定义：(1)复函数在区域内解析在区域内可微或可导；(2)在点解析存在,使得在内解析;存在,使得在内可微.注记:(1)由在点解析可推出在点可微,反之不然.(2)在区域内解析在区域内每一点解析.定理D:复函数在区域内解析当且仅当二元实函数都在区域内可微,且在区域内满足C.-R.条件:.定理E:复函数在区域内解析当且仅当都在区域内连续,且在区域内满足C.-R.条件:.3）复函数的求导公式、导数的四则运算与复合函数的求导法则和实函数的类似。4）解析函数的四则运算与复合运算。初等复函数1)初等解析函数(单值函数)—可能有奇点,但是没有支点(1)多项式函数,特别地,(是非负整数),在整个复平面上处处可微、处处解析；(2)有理函数,在使的点解析;(3)指数函数,在整个复平面上处处可微、处处解析,以为周期,且,和；(4)三角函数,在整个复平面上处处可微、处处解析,以为周期,无界.2)初等多值函数---必有支点(1)根式函数,以为支点;(2)对数函数,以为支点,主值分支是;(3)幂函数(不是整数时),以为支点,主值分支是.注意:对于多值函数，要分出其单值分支来，对它的每个单值分支,才可以谈函数的连续性,可微性和解析性。例如,要考虑的解析性，首先要将它分出单值分支来，这只要将它的支点连接起来割破z平面，在割破后所得的区域D内就可以分出单值分支。有两个支点和，所以在沿连接和的任何一条简单曲线(比如,沿负实轴)割破z平面所得的区域内就可以分出单值分支,此时显然原点不属于区域D（注意区域是开集，它不包含边界），的每个单值分支都在区域D内解析。在任何包含原点的区域内都不解析.典型例题例1、设复函数与都在处可导,且,,试证明：证明:因为与都在处可导,且，所以因此利用可得例2、设，试证明在开单位园盘内连续,但是不一致连续.证明:(1)因为函数都在上连续,并且,所以由连续函数的四则运算法则得,在内连续.(2)下面证明:在内不一致连续.事实上,存在,这样存在满足但是所以根据不一致连续的定义得,在内不一致连续.证毕.例3、证明:在内连续,并且一致连续.证明:(1)因为都在上连续,且,所以由连续的四则运算得,在上连续,因此它在内连续.(2)由于是有界闭集,及在上连续,根据定理2.1.4得,在上一致连续,因此它在内一致连续.证毕.例4、求下列极限(1);(2).解：(1)因为,所以.(2)令,则,于是.例5、证明:函数当时极限不存在.证法1：令,则,于是.因为，,所以当时的极限不存在.证法2：令,则.令z沿直线趋向于零,有.显然当k取不同值时,趋向于不同的值,所以当时的极限不存在.证毕.例6、讨论函数的可微性与解析性.解：令,则,于是显然它们在z平面上处处连续,且仅当时满足C.-R.条件,所以根据可微的充分条件得,仅在抛物线上可微,在抛物线外不可微.因此根据解析的定义得,函数在z平面上处处不解析.证毕.例7、设在区域内解析,且在内满足,则在内恒为常数.证明:因为在区域内解析,且在内满足,所以,,即,因此,,故 ,,从而在内,恒为常数.证毕.例8、设在整个复平面内解析,且满足,则.证明:令,则由题设知,也在整个复平面内解析,且有,所以,即.又由得,,故.证毕.注:如果将题目中的条件换为,这里是复常数,那么能得到什么结论?例9、设确定在从原点起沿负虚轴割破了的z复平面上,并且，求的值。解：因为从原点起沿负虚轴割破了z复平面所得区域为,所以在内,的无穷个解析分支为其中.(1)由已知条件确定.由于当时，，所以由得,,因此所求的单值解析分支为.(2)求的值.因为当时，，所以例10、在复平面上取上半虚轴作割线，试在所得区域内分别取定函数与Ln在正实轴取正实值与实值的一个解析分支，并求它们在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值。解：因为在复平面上取上半虚轴作割线，所得区域为。(1)在内，所以函数在正实轴(argz=0)取正实值的一个解析分支为（k=0）.在上半虚轴左沿的点处，，此时；在上半虚轴右沿的点处，，此时。(2)在内，所以函数Ln在正实轴(argz=0)取实值的一个解析分支为（k=0）.在上半虚轴左沿的点处，，此时；在上半虚轴右沿的点处，，此时。三、基础知识问题1、复变函数的定义是什么?其几何意义是什么?2、如何定义复变函数的极限?它有什么性质？3、复变函数的极限与实变函数的极限有什么联系和区别?4、复变函数的连续性如何定义?连续复函数有什么性质？5、如何定义复变函数的可导和可微性?6、复变函数的解析性如何定义（包括在一点和一个区域的）?7、复变函数的可微性与解析性有什么区别与联系?8、复变函数在一