上海市普陀区2025-2026学年高三上学期质量调研测试（一模）数学试题（原卷版）

普陀区2025学年第一学期高三数学质量调研考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一种不得分．一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分．1.已知集合，则___________．2.不等式的解集为___________．3.若复数是纯虚数，且，则的实部为___________．4.若，则的最小值是__________.5.设是等差数列的前项和，若，则该等差数列的公差为___________．6.的展开式中含项的系数是___________．7.设，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件表示“两枚骰子向上的点数之和为”，若事件与事件相互独立，则的一个可取值为___________.8.在中，，，，为边上的一点，且，现将沿边折起，使得点至点的位置，且满足平面平面，如图所示，则直线与平面所成的角的正弦值为___________．9.设，直线经过点，若向量，则点到直线距离为___________．10.某人工智能模型在自然语言处理中，使用位置编码表示词序，每个位置编码需用一个6维向量表示．若某位置编码可以写成（a，b，c，d，e，f）形式，其中，则在仅考虑前3个位置的情况下，恰好取2个不同值的编码共有___________个．11.设是边长为1的正六边形所在平面上的一点，若点满足，则的最小值是___________．12.设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是___________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分．13.下列函数中，周期为的奇函数是（）A. B.C. D.14.已知直线和平面，且，，则下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则15.设点是抛物线焦点，点是双曲线的左焦点，点是上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（）A.的最大值是5 B.的最小值是5C.的最大值是7 D.的最小值是716.设，数列和满足，且，，现有如下两个命题：①若数列是等比数列，则数列是常数列：②设是数列的前项和，若取得最大值时，则能被7整除．则下列结论中正确的是（）A.①为真②为真 B.①为真②为假C.①为假②为真 D.①为假②为假三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图所示，过圆柱的轴的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形是该圆柱底面圆周上异于两点的点．（1）设平面平面，求证：；（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．18.在中，内角所对的边分别为，且．（1）求角的大小；（2）设，，函数的表达式为，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，求的取值范围．19.人工智能生成内容（AIGC）是引领未来的新兴战略性产业．根据国家工信部发布的《人工智能产业发展年报（2025）》及国家统计局相关数据显示，中国AIGC产业已形成完整产业链结构，截至2025年10月，产业链核心层企业分布及核心市场规模分别如表一、表二所示．表一表二产业链层级企业数量（家）年份市场规模（亿元）第一层基220221200.3第二层模型框架159020231848.520242600.6第三层应用189020253500.4（1）根据表二所提供的数据，请判断“2021-2025年我国AIGC市场规模年增长率持续提高”这一说法是否正确，并基于你对整体变化趋势的分析，试选用平均增长率模型预测2026年我国AIGC的市场规模（结果精确到1亿元）；（2）赫希曼指数（HHI）是衡量产业集中程度综合指标，计算公式为，其中为第个层级的企业数量，为企业总数．请根据表一所提供的数据，计算我国AIGC产业链的HHI指数（结果保留整数），并参照“为竞争型，为低集中寡占型，为高集中寡占型”的标准，判断其产业分布结构类型；（3）为制定产业支持政策，现计划从表一所提供的AIGC核心企业中随机抽取4家进行深度调研，求抽到的这4家企业中来自第二层和第三层的企业总数之和不少于2家的概率（结果精确到0.001）．20.设是不全为零的实数，椭圆分别为的左、右两个焦点，直线与交于两点，为坐标原点．（1）若，且四边形为矩形，求的离心率；（2）若，且的周长的最大值为12，求的方程；（3）若，直线与的斜率之积为为上的一点，且，直线与椭圆交于点，且，求的值以及的面积的值．21.设函数的