从力的做功到向量的数量积+2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

§5从力的做功到向量的数量积第二章平面向量及其应用人教A版数学必修第二册目录课标要点03010204必备知识解读题型解析知识测评05高考模拟课标要点01必备知识解读02知识点1

向量的数量积1

向量数量积的物理背景图2-5-1

2

向量的数量积图2-5-2

规定零向量与任一向量的数量积为0.

.

..

..

.

3

投影图2-5-3

所以投影数量是数量积的特殊情况..

.

图2-5-4典例详解

CA.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

【想一想丨追根究底】

例1-2

［教材改编P108

例1］

1

知识点2

数量积的运算性质1

数量积的运算律

2

数量积的性质

.

.辨析比较向量的数量积、向量的数乘、实数的乘法之间的区别向量的数量积向量的数乘实数的乘法典例详解例2-3

［多选题］下列命题正确的是(

)AD

A

D

知识点3

向量数量积的坐标表示

.

.典例详解

B

知识点4

向量的模和夹角的坐标表示1

向量模的坐标表示

2

两点间的距离公式

3

向量的夹角公式

4

向量垂直的坐标表示

.

.典例详解

例4-9

判断下列各对向量是否垂直:

题型解析03题型1

求向量的投影数量

图2-5-5

求一个向量在另一个向量方向上的投影数量时，要先根据题意确定该向量的模及两向量夹角的大小，再根据公式求解.【变式题】

A

图D

2-5-1

题型2

求向量的数量积1

向量数量积的简单计算

求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.【变式题】

AA.1

B.2

C.3

D.5图D

2-5-2

2

向量数量积的简单坐标运算

4

题型3

平面几何图形中的向量数量积问题1

数量积的直接求解图2-5-6

B

.

.

图2-5-7图2-5-8

名师点评

对于几何图形中有明显直角（或易割补出直角）的图形，我们在求数量积时，可建立平面直角坐标系快速解题.2

求参数

2

图2-5-9

3

求最值母题

致经典·母题探究

图2-5-10

.

.

B

图2-5-11

图2-5-12

图2-5-13

名师点评

极化恒等式的几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量对应线段为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”的平方差的四分之一.子题

1

图2-5-14

B

图2-5-15

4

求取值范围

图2-5-16

图2-5-17

名师点评

与向量有关的最值问题常转化为函数的最值问题来解决，特别是二次函数与三角函数,即寻找变量，借助向量数量积的坐标运算构造函数，再利用函数的性质求出最值.平面几何图形中的向量数量积的计算方法对于以平面图形为背景的向量数量积运算的题目，要注意把握图形的特征，常见的求解方法有两种：一是先利用平面向量基本定理，将相关向量用同一组基表示，再利用向量数量积的运算律将原式展开,最后依据已知条件计算；二是先建立合适的平面直角坐标系，将各向量用坐标表示,然后直接进行数量积的坐标运算.题型4

向量垂直的应用

B

BA.外心

B.垂心

C.内心

D.重心

题型5

向量的模的计算1

模的计算

B

2

模的最值（取值范围）问题

C

思路一

思路二

图2-5-18

C

图2-5-19

.

.

图2-5-20

【变式题】

C

图2-5-21

B

图D

2-5-3

题型6

向量的夹角问题1

求夹角或夹角的余弦值

D

.

.

A

【变式题】

2

已知夹角或其范围求参数

.

.

【变式题】

2

题型7

向量坐标运算与三角函数的交汇

C

.

.

解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路先运用平面向量的坐标表示的相关知识（平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等）将问题转化为与三角函数有关的问题（如化简、求值、证明等），再利用三角函数的相关知识求解即可.【变式题】

核心素养聚焦考情揭秘（1）对向量数量积的考查，高考几乎每年都有，重在对基础知识的考查，一般利用公式进行代数计算即可轻松解题，有时也可画出图形，借助三角形法则或平行四边形法则解题.（2）运算是向量的“灵魂”，而向量的坐标运算实现了数与形的沟通，为向量解决几何问题插上了“翅膀”.在高考中，由于基础性考查的需要，向量的坐标运算往往作为基础题出现，而当向量作为工具形态解决几何问题的时候，则体现的是综合性的要求.高考中常以选择题、填空题的形式出现，试题难度为中等及中等偏下.核心素养：数学运算（坐标运算、求参数、求模及夹角等），直观想象（画图建系）.考向1

向量的数量积运算

BA.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

C

.

..

.

图2-5-22

B

考向2

向量的模

B

DA.2

B.3

C.4

D.5

考向3

向量的夹角

B

C

考向4

向量的垂直

D

D

高考新题型专练

BC

ABC

AD

图D

2-5-4

知识测评04建议时间：25分钟

A

B

A

D

BC

AC