函数的瞬时变化率-导数-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第1章

导数及其应用

1.1.2第2课时

函数的瞬时变化率—导数2.函数的平均变化率的几何意义：曲线的割线的斜率xyOy=f(x)ABx1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)4.求瞬时速度的步骤:(1)求区间[t，t＋d]上的平均速度v(t，d)；(2)求v(t，d)在d趋于0时的极限值，即为t时刻物体的瞬时速度v(t)．d→0时的极限瞬时速度v(t)3.瞬时速度与平均速度的关系想一想：平均速度当区间长d趋近于0时的极限值叫瞬时速度，那么函数的平均变化率的极限值应该叫什么呢？d→0时的极限瞬时速度v(t)d→0时的极限概念1：函数的瞬时变化率d→0时的极限瞬时变化率l一般地，若函数的平均变化率

在d趋近于0时，有确定的极限值，则称这个值为该函数在x=u处的瞬时变化率.函数的瞬时变化率，数学上叫作函数的导数或微商.

f′(x0)(d→0)这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在，或者说f(x)在点x0处可导或可微.

概念2：函数的导数若函数y=f(x)在定义区间中任一点的导数都存在，则f′(x)(或y′)也是x的函数，我们f′(x)(或y′)把叫作y=f(x)的导函数或一阶导数.既然导函数f′(x)也是函数，若f′(x)在定义区间中任一点处都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f′′(x).

类似地，可以定义三阶导数f′′′(x)等等.例1

投石入水，水面会产生圆形波纹区，且圆的面积随着波纹的传播半径r的增大而增大(如图).计算：(1)半径r从a增大到a+d时，圆面积S相对于r的平均变化率；

(2)半径r=a时，圆面积S相对于r的瞬时变化率.（2）在表达式π(2a+d)中，让d趋近于0，得到圆面积S相对于r的瞬时变化率为2πa，恰为此时圆的周长.

(2)求运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率，并说明其物理意义.

1.函数f(x)在某一点处导数的实际意义：当自变量在该点处的改变量趋近于零时,平均变化率所趋近的值.2.解释导数的实际意义的思路：①设自变量在x=x0处的改变量为d,求平均变化率.②令d→0,得f'(x0).③解释f'(x0)的实际意义.

s'(1)=6说明在第1分钟时,该昆虫爬行的瞬时速度为6米/分,s'(4)=18说明在第4分钟时,该昆虫爬行的瞬时速度为18米/分.

例3.求函数y=x2在点x=3处的导数.解：因为△y=(3+d)2-32=6d+d2.所以=6+d，令d→0，→6所以函数y=x2在点x=3处的导数为6.2.(1)求函数y=x2在x=1处的导数;(2)求函数

在x=2处的导数.议一议：现在你能总结求函数导数的步骤吗?简记：一差、二比、三极限.求函数y=f(x)在x0处的导数的三个步骤注意：函数f(x)在点x0处的导数就是导函数

在x=x0处的函数值，这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。

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1.知识清单：(1)瞬时变化率.(2)函数在某点处的导数.(3)导数的实际意义.2.方法归纳：无限逼近的思想.3.常见误区：(1)不能区分平均变化率、瞬时变化率致错.(2)忽视导数定义中自变量增量与函数值增量的对应关系致错.本节课你学到了哪些知识与方法？1.已知物体做直线运动的方程为s=s(t)(位移单位：m,时间单位：s),则s'(4)=10

m/s表示的意义是（

）A.经过4

s后物体向前走了10

mB.物体在前4

s内的平均速度为10

m/sC.物体在第4

s内向前走了10

mD.物体在第4

s末的瞬时速度为10

m/sD2.如果质点按规律s=2t3运动,则该质点在t=3时的瞬时速度为（

）A.6 B.18 C.54 D.81C

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解：

4.一物体做加速