余弦定理+2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人民教育出版社A版

必修第二册第六章

平面向量及其应用6.4.3余弦定理、正弦定理

第一课时

余弦定理一、情景导入

问题1

武广高铁的路线规划要经过一座小山丘，就需要挖隧道，从而涉及到一个问题，就是要测量出两山脚的长度.而两山脚之间的距离是没有办法直接测量的，那要怎样才能知道两山脚的长度呢？ABC500m120°300mbac=？

千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名.问题2

现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6km和4km，且AB，BC的夹角为120°.岛屿A，B间的距离如何计算呢？ABC120°6km4kmABCbac=？ABC120°300m500m120°6km4km我们能不能根据已知的边角条件得到我们需要的长度或距离呢？

这就是我们这节课要学习的余弦定理，它给出了一般三角形中的边角关系。学习目标1.熟练掌握余弦定理并会证明.2.熟练掌握余弦定理的推论，能灵活应用余弦定理及其推论解决相关的解三角形问题.对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了一些等判定三角形全等的方法，如SSS、SAS、ASA、AAS.这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？二、课内探究问题3在这个问题中，涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，我们在哪见过类似的情景？如图示，在△ABC中，三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c，怎样用a,b和C表示c？

我们先来探究其中的一种，SAS，由这个判定方法我们知道，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？问题4如何用向量的语言来描述这个问题？三、概念形成通过以上探究，我们得到了三角形边角关系：

三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

余弦定理问题5

你还能用其它方法证明余弦定理吗？

在问题4中我们是用向量的线性运算和数量积来得到余弦定理的，那你能否利用向量的坐标运算证明余弦定理呢？

能否用平面几何方法证明余弦定理呢？四、概念深化

问题6：

余弦定理指出我们可以从三角形的两边及其夹角直接求出第三边，其余的两个角如何求呢？事实上，我们可以先求出角的某个三角函数值，进而确定这个角。结合本节课的知识，我们有四、概念深化问题6：

余弦定理指出我们可以从三角形的两边及其夹角直接求出第三边，其余的两个角如何求呢？事实上，我们可以先求出角的某个三角函数值，进而确定这个角。结合本节课的知识，我们有

余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例.一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.问题7：余弦定理与勾股定理的关系：ABCbac=？ABC120°300m500m120°6km4km

例5在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41°，解这个三角形(角度精确到1°，边长精确到1cm).解：

五、典例精讲感悟方法若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.问题8

现阶段我们能解决的解三角形问题有哪些？1.已知三角形的两边及一角,解三角形.

必须先判断该角是两边的夹角还是两边中一边的对角.2.已知三边长，求角.六、归纳小结知识清单：(1)余弦定理及推论.(2)余弦定理解决相关问题（两边及其夹角、两边和其中一边的对角、三边）.思想方法：(1)数形结合思想(2)分类讨论思想(