多面体的外接球与内切球课件-2026届高三数学二轮复习

几何析与公式推导高三数学二轮复习多面体的外接球和内切球外接球定球心法视角1

【解析】1A

如图，连接AC，BD，设AC∩BD＝O1，取AD的中点E，连接O1E，SE.由题意知O1E⊥AD，SE⊥AD，O1为正方形ABCD外接圆的圆心．又因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，O1E⊂平面ABCD，所以O1E⊥平面SAD.同理SE⊥平面ABCD.设等边三角形SAD的外接圆的圆心为O2，过O2作O1E的平行线，过O1作SE的平行线，两平行线交于点O，则OO1⊥平面ABCD，OO2⊥平面SAD，所以O为四棱锥S–ABCD外接球的球心，其半径为R.【解析】

【答案】C

确定外接球球心的方法(1)模型一：棱面模型如图(1)，①找底面ABC的外接圆圆心O1，过点O1作平面ABC的垂线；②作棱PB的垂直平分面(即圆面O与棱PB垂直，且圆面O过棱PB的中点)，与上一步所作的垂线相交，交点O即为外接球的球心．图(1)(2)模型二：二面角模型分别过两个相交平面(即构成二面角的两个面)的外接圆的圆心，作各自所在平面的垂线，垂线的交点即为外接球的球心O(如图(2))．图(2)

【解析】变式1

D内切球等体积法与截面法视角2

【解析】2C

(2)(截面法)已知球与圆台的底面、侧面都相切，且圆台母线与底面所成角为60°，则球表面积与圆台侧面积之比为

(

)A．2∶3

B．3∶4

C．7∶8

D．6∶13

【解析】B

【解析】变式2

A棱切球视角3

【解析】3

【解析】

棱切球半径的通用求法(1)确定切点：明确球与各棱的切点位置；(2)定位球心：利用球心到各棱距离相等的性质，确定球心位置(通常位于多面体的对称轴或中心)；(3)构造直角三角形：连接球心与一条棱的切点，再连接球心与该棱所在面的某个特定顶点(或中心)，由此构造一个直角三角形．在该三角形中，棱切球半径作为一条直角边，运用勾股定理即可求解．解析法定球心新视角

(2025·新高考Ⅰ卷节选)在如图所示的四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC∥AD，AB⊥AD.(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；

在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD.又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.【解答】4

【解答】图(1)4

图(2)

图(3)

图(4)解析法定球心：利用球心到球面上任意一点的距离等于半径，可以先建立空间直角坐标系，并设球心O的坐标为(x，y，z)，由球心到球面上三个不共线的点的距离相等建立方程组，即可求出球心坐标．配套热练

【解析】

B

【解析】D

【解析】

【答案】B

【解析】C

【解析】D

【解析】

【答案】B

【解析】C

【解析】

【答案】A9．(2025·南京二模)已知正三棱柱ABC–A1B1C1的所有棱长均为2，它的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为______．

【解析】

10．已知棱长为2的正四面体内有一个球，当球与正四面体的棱均相切时，球的体积为______．

【解析】

【解析】20π设三棱锥P–ABC外接球的半径为R，则R2＝(PE－OO′)2＋OF2＝OO′2＋O′C2，即R2＝(3－OO′)2＋12＝O