高中数学排列组合教学详细教案

高中数学排列组合教学详细教案一、课程基本信息课题名称：排列与组合适用年级：高中（通常为高二或高三）课时安排：建议3-4课时（可根据学生实际情况调整）课型：新授课、讲练结合课二、教学目标（一）知识与技能1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。2.理解排列的概念，掌握排列数公式及其推导过程，并能运用排列数公式进行计算和解决简单的排列应用题。3.理解组合的概念，掌握组合数公式及其推导过程，并能运用组合数公式进行计算和解决简单的组合应用题。4.理解组合数的两个性质，并能运用性质简化组合数的计算。5.明确排列与组合的区别与联系，能根据具体问题情境正确选择排列或组合模型解决问题。（二）过程与方法1.通过对实际问题的探究，引导学生经历从具体到抽象，从特殊到一般的认知过程，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。2.通过对比、辨析排列与组合的概念，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及严谨的思维习惯。3.引导学生参与问题的解决过程，体验“发现—猜想—证明—应用”的数学思维方法。（三）情感态度与价值观1.通过排列组合在实际生活中的广泛应用，使学生感受数学的实用性，激发学习数学的兴趣。2.在问题解决过程中，培养学生的合作精神与探究意识，体验成功的喜悦。3.培养学生严谨的治学态度和周密思考问题的习惯。三、教学重难点（一）教学重点1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解与应用。2.排列、组合的概念及排列数公式、组合数公式的推导与应用。3.排列与组合的区别与联系。（二）教学难点1.正确区分分类与分步，准确应用两个计数原理。2.理解排列问题中“顺序”的含义，以及组合问题中“无序”的本质。3.一些复杂应用题的分析与建模，特别是带有附加条件的排列组合问题。四、教学方法讲授法、启发式教学法、讨论法、讲练结合法。注重引导学生主动思考，通过实例分析突破难点。五、教学准备多媒体课件（PPT）、板书、一些简单的教具（如小球、卡片等，可选）。六、教学过程第一课时：两个基本计数原理（一）导入新课（约5分钟）教师活动：同学们，我们在日常生活和学习中，经常会遇到这样的问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。如果一天中火车有3班，汽车有2班，轮船有1班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？（引导学生思考）早餐时，妈妈准备了包子、油条、馒头三种主食，牛奶、豆浆两种饮品。如果小明只选一种主食和一种饮品，他有多少种不同的搭配方法？（再次引导）学生活动：思考并尝试回答问题。设计意图：通过生活中的简单实例，激发学生的学习兴趣，引出计数问题，为学习两个基本计数原理做铺垫。（二）讲授新课（约25分钟）1.分类加法计数原理教师活动：针对第一个问题，我们来分析一下。从甲地到乙地，有三类交通工具可供选择：火车、汽车、轮船。第一类（火车）有3种方法，第二类（汽车）有2种方法，第三类（轮船）有1种方法。无论选择哪一类中的哪一种方法，都可以从甲地到达乙地。所以，总的方法数就是把这三类的方法数加起来：3+2+1=6（种）。由此，我们可以总结出：分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m₁种不同的方法，在第2类办法中有m₂种不同的方法，……，在第n类办法中有mₙ种不同的方法。那么完成这件事共有N=m₁+m₂+…+mₙ种不同的方法。强调：“分类”、“独立完成”、“加法”。各类办法之间相互独立，选择其中任何一类中的任何一种方法都能完成这件事。学生活动：理解原理内容，思考关键词。例题1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学：生物学、化学、医学、物理学B大学：数学、会计学、信息技术学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种不同的选择？（引导学生分析，这是分类问题，A大学4个专业，B大学3个专业，共4+3=7种）2.分步乘法计数原理教师活动：回到导入的第二个问题：主食有3种，饮品有2种。选主食有3种方法，选饮品有2种方法。要完成“选一种主食和一种饮品”这件事，需要分两步：第一步选主食，第二步选饮品。每一步都不能少。所以，总的搭配方法是3×2=6（种）。由此，我们可以总结出：分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m₁种不同的方法，做第2步有m₂种不同的方法，……，做第n步有mₙ种不同的方法。那么完成这件事共有N=m₁×m₂×…×mₙ种不同的方法。强调：“分步”、“依次完成”、“乘法”。各个步骤相互依存，只有完成所有步骤，才能完成这件事。学生活动：对比分类加法原理，理解分步乘法原理的内容和关键词。例题2：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？（引导学生分析，这是分步问题，第一步选字母有6种，第二步选数字有9种，共6×9=54种）3.两个原理的比较与辨析教师活动：提问：分类加法计数原理和分步乘法计数原理有什么异同点？（引导学生讨论，总结）相同点：都是用来解决“完成一件事的不同方法的种数”的问题。不同点：*分类加法计数原理：“分类”，各类方法相互独立，用其中任何一种方法都能完成这件事。计数时用“加法”。*分步乘法计数原理：“分步”，各步骤相互依存，只有各步骤都完成了，这件事才算完成。计数时用“乘法”。核心区别在于：“分类”是“或”的关系，“分步”是“且”的关系。学生活动：小组讨论，代表发言，明确两个原理的区别。辨析练习：（1）从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？（分步，3×2=6）（2）书架上层有不同的数学书10本，下层有不同的语文书15本。现从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（分类，10+15=25）（3）书架上层有不同的数学书10本，下层有不同的语文书15本。现从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？（分步，10×15=150）（三）课堂练习（约10分钟）教材练习题或教师自编题，主要针对两个原理的直接应用和简单辨析。1.某班有男生25人，女生20人。从中任选一名学生担任班长，有多少种不同的选法？（25+20=45）2.从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？（3×2=6）3.现有高一年级学生3名，高二年级学生5名，高三年级学生4名。（1）从中任选1人参加接待外宾，有多少种不同的选法？（3+5+4=12）（2）从三个年级中各选1人参加接待外宾，有多少种不同的选法？（3×5×4=60）（四）课堂小结（约3分钟）教师活动：今天我们学习了两个基本的计数原理：分类加法计数原理和分步乘法计数原理。谁能再简述一下它们的内容和区别？（学生回答，教师补充）这两个原理是我们学习排列组合的基础，大家一定要理解透彻，准确区分“分类”与“分步”，才能正确运用。学生活动：回顾本节课所学内容，回答教师问题。（五）布置作业（约2分钟）1.教材习题中关于两个基本计数原理的部分。2.思考：生活中还有哪些问题可以用这两个原理来解决？第二课时：排列的概念与排列数公式（一）复习回顾（约3分钟）教师活动：上一节课我们学习了哪两个基本计数原理？它们的核心区别是什么？（提问学生）例如：从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，（1）如果只要求选出即可，有多少种选法？（此问题暂不深入，为组合埋下伏笔，但学生此时可能用加法或列举法得出3种：甲乙、甲丙、乙丙）（2）如果要求选出后分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？（引导学生用分步乘法原理：3×2=6种）学生活动：回答复习问题，思考新的问题。（二）讲授新课（约25分钟）1.排列的概念教师活动：分析上述复习回顾中的问题（2）：从甲、乙、丙三名同学中选出两名，按正、副组长的顺序排列，有多少种不同的排法？我们可以把它看作是从3个不同元素中取出2个，然后按一定的顺序排成一列。所有可能的排列是：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙，共6种。由此引出排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。如果m<n，这样的排列叫做选排列；如果m=n，这样的排列叫做全排列。关键词：n个不同元素、取出m个（m≤n）、按照一定顺序排成一列。强调：“不同元素”、“一定顺序”。顺序对结果有影响的是排列问题。学生活动：理解排列的定义，找出关键词，思考“顺序”的含义。思考与辨析：判断下列问题是否是排列问题：（1）从10名学生中选2名学生开会，有多少种不同的选法？（无顺序，不是排列）（2）从10名学生中选2名学生分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？（有顺序，是排列）（3）从1，2，3三个数中任取两个数相加，有多少个不同的和？（无顺序，不是排列）（4）从1，2，3三个数中任取两个数相减，有多少个不同的差？（有顺序，是排列）2.排列数的定义教师活动：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示（或P(n,m)）。例如，上述问题（2）中，从3个不同元素中取出2个元素的排列数表示为A(3,2)，且A(3,2)=6。学生活动：理解排列数的定义，区分“排列”和“排列数”（排列是具体的排法，排列数是排法的个数）。3.排列数公式的推导教师活动：如何计算排列数A(n,m)呢？我们可以运用分步乘法计数原理来推导。从n个不同元素中取出m个元素排成一列，分m个步骤完成：第1步，确定第一个位置的元素，有n种方法；第2步，确定第二个位置的元素，此时剩下n-1个元素，有n-1种方法；第3步，确定第三个位置的元素，此时剩下n-2个元素，有n-2种方法；……第m步，确定第m个位置的元素，此时剩下n-(m-1)=n-m+1个元素，有n-m+1种方法。根据分步乘法计数原理，可得：A(n,m)=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)（m,n∈N*,m≤n）这个公式叫做排列数公式。特别地，当m=n时，排列数A(n,n)=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1。我们把n×(n-1)×(n-2)×…×2×1叫做n的阶乘，记作n!。因此，排列数公式也可以写成：A(n,m)=n!/(n-m)!（规定0!=1）（简要说明为什么规定0!=1，是为了使公式在m=n时也成立，即A(n,n)=n!/0!=n!，所以0!=1）学生活动：跟随教师思路，理解排列数公式的推导过程，记忆公式。例题3：计算：（1）A(5,2)（2）A(6,3)（3）A(4,4)（学生板演或口答，教师点评：A(5,2)=5×4=20；A(6,3)=6×5×4=120；A(4,4)=4!=24）例题4：某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？（引导学生分析：每一场比赛可以看作是从14个队中选2个队，按“主队”、“客队”的顺序排列，因此是排列问题。即A(14,2)=14×13=182场）（三）课堂练习（约10分钟）1.计算：A(7,3)，A(10,4)，A(5,5)，A(8,2)。2.从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（A(5,3)=5×4×3=60）3.用1,