《生活中的优化问题举例》自助餐

第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页《生活中的优化问题举例》自助餐学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单项选择题（共6题，52分）1.(9分)某公司的盈利（元）和时间（天）的函数关系是，且，这个数据说明在100天时（）A．公司已经在亏损B．公司的盈利在增加C．公司的盈利在逐渐减少D．公司有时盈利有时亏损2.(9分)福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（）A．8B．C．－1D．－83.(9分)把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为（）A．1∶2B．1∶πC．2∶1D．2∶π4.(9分)设圆柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面半径为（）A．B．C．D．5.(8分)某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1=17x2(x>0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2=2x3-x2(x>0)，为使利润最大，则应生产（）A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台6.(8分)某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为（）A．32米，16米B．30米，15米C．40米，20米D．36米，18米二、填空题（共3题，24分）7.(8分)某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0，4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为_____________．8.(8分)一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当此轮船行使每千米的费用总和最小时，该轮船的航行速度为_______________千米/时.9.(8分)做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为_____________．三、解答题（共3题，24分）10.(8分)某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．（1）求利润函数P(x)及其边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？11.(8分)为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次下调药品价格，各大药厂也在积极行动，通过技术改造来提高生产能力，降低能耗，从而降低药品生产的成本．某药厂有一条价值a万元的药品生产线，经过测算，生产成本降低y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与(a－x)和x2的乘积成正比；②当x＝时，y＝a3，并且技术改造投入比率，t为常数且t∈(0,2]．（1）求y＝f(x)的表达式及定义域；（2）为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成本，求y的最大值及相应的x值．12.(8分)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由.《生活中的优化问题举例》自助餐答案一、单项选择题1.【答案】C【解析】略2.【答案】C【解析】略3.【答案】C【解析】设圆柱高为x，底面半径为r，则r=，圆柱体积V=π·x=(x3-12x2+36x)(0<x<6)，V′=(x-2)(x-6)，当x=2时，V最大.此时底面周长为4，底面周长∶高=4∶2=2∶14.【答案】D【解析】略5.【答案】A【解析】略6.【答案】A【解析】略二、填空题7.【答案】3.2%【解析】依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，银行应获得的贷款利息是0.048kx2，所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0＜x＜0.048)，故y′＝0.096kx－3kx2.令y′＝0，解得x＝0.032或x＝0(舍去)．当0＜x＜0.032时，y′＞0；当0.032＜x＜0.048时，y′＜0.因此，当x＝0.032时，y取得极大值，也是最大值，即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益．8.【答案】20千米/时【解析】略9.【答案】3【解析】略三、解答题10.【答案】【解析】（1）P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)；MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19)．（2）P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)·(x＋9)．因为x>0，所以P′(x)＝0时，x＝12.所以当0<x<12时，P′(x)>0，当x>12时P′(x)<0，所以x＝12时，P(x)有最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．（3）MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305.所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*，单调递减的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘比较，利润在减少.11.【答案】【解析】（1）设y＝f(x)＝k(a－x)x2，当x＝时，y＝a3，即a3＝k·，所以k＝8.所以f(x)＝8(a－x)x2.因为，所以函数的定义域是0<x≤.（2）f′(x)＝－24x2＋16ax，令f′(x)＝0，则x＝0(舍)或x＝.当0<x<时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，)上是增函数；当x>时，f′(x)<0，所以f(x)在(，＋∞)上是减函数．所以x＝为极大值点．当≥，即1≤t≤2时，ymax＝f()＝a3；当<，即0<t<1时，.综上，当1≤t≤2时，投入万元，y的最大值为a3；当0<t<1时，投入万元，y的最大值为.12.【答案】【解析】（1