九年级数学专题：动态几何视角下圆中的动点问题探究教案

九年级数学专题：动态几何视角下圆中的动点问题探究教案

  一、课标依据与核心素养指向分析

  本节课设计严格依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》中第三学段（7-9年级）“图形与几何”领域的要求。具体关联内容包括：探索并证明圆周角定理及其推论；理解圆的基本性质，了解点与圆、直线与圆的位置关系；能运用几何直观、空间观念和推理能力解决几何问题，初步形成模型观念。本专题深度指向数学核心素养的培育：在复杂动态情境中建立几何直观与空间观念；通过分析动点、动线、动形中的不变关系与规律，发展逻辑推理与数学抽象能力；将实际问题或综合问题转化为动态几何模型，运用数学工具求解，强化模型观念与应用意识；在探索多解、最值、路径等问题的过程中，培养创新思维与严谨求是的科学精神。

  二、学情现状与认知起点诊断

  授课对象为九年级下学期学生，正处于中考总复习的关键阶段。其认知基础与潜在障碍分析如下：知识层面，学生已系统掌握圆的基本概念、对称性、圆周角定理、垂径定理、点/直线与圆的位置关系判定，具备初步的三角形全等、相似，四边形性质及勾股定理等综合知识储备。技能层面，多数学生能够处理静态条件下的圆与几何图形结合的计算证明问题，但面对图形元素（点、线、形）运动变化时，普遍存在思维定势，难以从变化中捕捉和建立恒定不变的几何关系或函数关系。思维层面，学生直观想象能力发展不均，对于动点引发的轨迹想象、图形连续变化过程的理解存在困难；分析综合能力有待提升，尤其在需要多知识点、多步骤逻辑链接的复杂动态问题中，容易思路中断或分类遗漏。心理层面，学生对“动点”问题存在一定的畏难情绪，但同时也对具有挑战性和探索性的问题怀有好奇心，渴望掌握系统的方法来攻克此类中考压轴题型。因此，本教学设计旨在搭建思维阶梯，引导学生从“静”悟“动”，掌握通性通法，提升解题信心与高阶思维能力。

  三、教学目标确立

  基于课标与学情，确立以下三维教学目标：

  （一）知识与技能目标

  1.能准确识别圆背景下的动点问题基本类型：包括动点引出的线段长度、角度、面积的最值问题；动点满足特定条件（如构成等腰三角形、直角三角形、相切等）的存在性问题；动点的轨迹（路径）判断与长度计算问题。

  2.掌握求解动点问题的核心策略与方法：包括“以静制动”（化动为静，在特殊位置或时刻分析）、“动静互化”（在一般位置引入变量表示）、“轨迹识别”（通过定义或几何约束判断轨迹）以及“函数建模”（建立几何量与变量的函数关系求最值）。

  3.能熟练运用圆的相关性质（如圆周角定理、垂径定理、切线性质等）结合三角形、四边形、相似等知识，分析和构建动态情景中的等量关系或不等关系。

  （二）过程与方法目标

  1.经历“观察→猜想→验证→归纳”的完整探究过程，通过操作几何画板等动态工具，直观感知图形运动的全过程，发展几何直观和空间想象力。

  2.体验“特殊到一般”、“分类讨论”、“数形结合”、“模型构建”等数学思想方法在解决动态问题中的具体应用，形成程序化的分析思路。

  3.通过小组合作探究与辨析，提升发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的综合能力，以及清晰、有条理的数学表达与交流能力。

  （三）情感、态度与价值观目标

  1.在攻克复杂动态问题的过程中，体验数学思维的严谨性与探索的乐趣，磨炼克服困难的意志品质。

  2.感悟动态几何中“变”与“不变”的辩证统一关系，体会数学的内在和谐与逻辑之美。

  3.通过了解动态几何在计算机图形学、机器人路径规划等现代科技中的应用实例，认识数学的广泛应用价值，激发进一步学习的动力。

  四、教学重点与难点剖析

  教学重点：动点问题解决的通性通法思维流程构建。具体包括：如何将动态问题分解为静态瞬间进行分析；如何选择合适的自变量（如时间、角度、线段长）建立函数模型或方程模型；如何依据动点的运动限制（轨迹）进行分类讨论。

  教学难点：动态情境中隐藏的不变关系的发现与提取；复杂多动点问题中主从动点关系的分析与联动建模；运动轨迹为非标准圆弧时的识别与处理策略。突破难点的关键在于设计循序渐进的探究活动，借助动态几何软件的直观演示，引导学生从特殊位置观察猜想不变性，再通过逻辑推理予以验证，最终抽象概括为一般规律。

  五、教学准备与技术支持

  1.教师准备：精心设计的探究任务单；多媒体课件（内含几何画板或GeoGebra制作的动态演示模型，覆盖所有例题与变式）；实物投影仪用于展示学生思维成果。

  2.学生准备：复习圆、三角形、四边形核心知识；直尺、圆规、量角器等作图工具；预习探究任务单。

  3.环境支持：具备多媒体演示功能的教室；学生分组（4-6人一组，异质分组便于合作交流）。

  六、教学实施过程详案（共计两课时，每课时45分钟）

  第一课时：识“动”之律——探究单动点条件下的基本模型

  （一）情境导入，感知“动”题（预计用时：8分钟）

  师生活动：教师首先呈现一个简单的生活化动态场景：“如图，一个小球（视为点P）被固定在长度为2米的轻杆一端，轻杆另一端固定在操场中心点O。小明推动轻杆，使小球绕O点做圆周运动。请问：在运动过程中，小球到操场边固定直线l（l与O点距离为3米）的最短距离是多少？何时能达到这个最短距离？”引导学生初步思考“运动中的最值”。接着，切换至几何画板，动态演示圆O上一动点P的运动，并实时显示其到圆外一定直线l的距离变化数值，让学生观察距离随点P位置变化的规律，直观感受“变”与“可能的不变”（如最短距离的位置特征）。

  设计意图：从生活实例切入，降低对“动点”的抽象感。动态软件的实时演示，迅速将学生带入“动态几何”的学习情境，激发探究欲望，并自然引出本节课的核心议题——如何在“动”中寻“静”（规律）。

  （二）模型探究，策略初建（预计用时：25分钟）

  环节一：定点定长，轨迹为圆——最值问题探究

  任务一：如图，在半径为3的⊙O中，点A为圆内一定点，且OA=1。点P是⊙O上的动点，连接AP。求线段AP长度的最大值和最小值。

  师生活动：学生独立尝试作图分析。教师引导学生思考：点P的运动范围是什么？（整个圆周）AP的长度如何变化？能否找到使AP最长和最短的P点位置？学生通过画图或想象，容易发现当P运动到射线OA与圆的交点时（近A点一侧）AP最小，运动到反向延长线与圆的交点时AP最大。教师追问理论依据（三角形三边关系：|OA-OP|≤AP≤OA+OP）。请学生用几何语言规范表述。教师利用几何画板动态验证，并总结此模型特征：“动点P在定圆上运动，求到圆内（外）一定点距离的最值”，核心是利用圆心与定点的连线与圆的交点。

  环节二：定角对定弦，隐形定圆——角度定值问题探究

  任务二：如图，在平面直角坐标系中，点A(0，3)，点B(4，0)。点P是x轴上一动点（不与B重合），连接AP。取AP中点M，连接BM。当点P在x轴上运动时，探究∠ABM的度数是否发生变化？

  师生活动：学生可能首先尝试特殊位置（如P与原点重合、P在B点左侧某处）计算∠ABM的度数，发现似乎不变。产生猜想后，教师引导学生分析：随着P的运动，中点M也在运动。∠ABM的顶点B固定，边BA固定，关键在于动点M的运动有什么规律？能否找到M点满足的恒定几何条件？小组讨论。教师可提示：观察点M与定点A、动点P的关系（M是AP中点），联想圆的有关性质。通过引导，学生可能发现，在Rt△AOP中（∠AOP=90°），斜边AP的中点M到直角顶点O的距离恒等于AP的一半（即OM=1/2AP）。但这对解决∠ABM帮助不大。进一步引导：能否固定视角，将∠ABM看作某个圆中的圆周角？连接OM、BM。学生通过探究或教师点拨，发现AM=MP，且O是定点，但OM长度变化。转换思路：取OA的中点N，连接MN、BN。易证MN是△AOP的中位线，故MN∥OP且MN=1/2OP=1/2x_P（设P坐标）。这仍未直接揭示定角。关键突破：引导学生构造以AB为边的三角形，并寻找与M相关的恒定关系。实际上，若连接OM，难以直接建立联系。更简洁的路径是：考虑∠ABM，其边BM随着M运动而转动。但若∠ABM是定值，则点M可能在某个以AB为弦的圆弧上运动？逆向思维：假设∠ABM为定值α，则点M应在以AB为弦，所含圆周角为α的圆弧上（除A、B两点）。现在需要证明M确实在这样的圆弧上。通过计算或几何证明发现，虽然直接证明M在某定圆上较复杂，但可以通过计算tan∠ABM或利用相似来证明其为定值。实际操作中，可建立坐标系，设P(t，0)，表示出M坐标(t/2，3/2)，进而计算向量BA与BM的夹角正切值，发现为定值。教师利用几何画板演示，无论P如何运动，∠ABM的度量值始终不变，并跟踪点M的轨迹，发现其轨迹是一条线段（非圆弧），但所对的∠ABM却是定值。此例旨在说明，动点引起的角度不变问题，其背后原因多样，可能是隐圆模型，也可能是其他几何关系（如相似）。本环节重点体验探究过程。

  设计意图：通过两个典型任务，引导学生掌握处理单动点问题的两种基本思路：对于明显轨迹（圆）的最值问题，运用几何直观与基本不等式解决；对于角度等量关系问题，学会从特殊到一般猜想，并通过坐标法或综合法进行逻辑验证，理解“动中有静”可能源于隐藏的几何不变性（如定弦定角、相似等）。

  （三）方法凝练，形成范式（预计用时：10分钟）

  师生活动：师生共同回顾上述两个探究任务的解决过程，提炼解决圆中单动点问题的通用分析框架：

  第一步：审题定“动”。明确哪个点（或线、形）在动，其运动轨迹或运动限制是什么（如在定圆上、在某直线上滑动等）。

  第二步：以“静”观“动”。在动点的整个运动过程中，选取几个关键的、特殊的、或一般性的静止位置进行分析，画出静态图，寻找变化量之间的关系。

  第三步：寻“不变量”或“不变关系”。在图形变化中，寻找长度、角度、面积关系、几何形状（如相似、全等）等保持不变的要素，这些往往是解决问题的突破口。

  第四步：建“模”解“题”。根据问题类型，建立模型。求最值常考虑（1）几何模型（两点之间线段最短、垂线段最短、三角形边角关系）；（2）函数模型（设变量，用变量表示目标量，转化为函数最值）。判断定值或存在性则需通过推理证明或构造方程求解。

  教师板书此思维框架，并强调“数形结合”与“分类讨论”意识的重要性。

  （四）课堂小结与预告（预计用时：2分钟）

  教师总结本课所探内容，强调从“动”中把握“不变”的核心思想。布置预习任务：思考如果圆中存在两个动点，或动点与动线并存，又该如何分析？为下节课学习双动点及多元素联动问题做铺垫。

  第二课时：驭“动”之联——破解多动点与复杂联动问题

  （一）承上启下，温故引新（预计用时：5分钟）

  师生活动：教师快速呈现上节课提炼的分析框架，并出示一个简单变式题作为热身：“在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2√3，点C是优弧AB上的动点，求△ABC面积的最大值。”学生快速运用框架分析：动点C在定弧上运动，△ABC的底AB固定，求面积最大即求高最大。问题转化为求弧AB上的点到弦AB的最大距离，即求弧的中点到AB的距离。由此巩固“以静制动”（找特殊位置）和“几何模型”（垂线段最长）的思想。教师由此引出更复杂情境：“当图形中不止一个点运动，或者点的运动彼此关联时，我们又该如何应对？”

  （二）联动探究，思维进阶（预计用时：30分钟）

  环节一：主从联动，溯源寻迹

  任务三：如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=4。点C是半径OA上的一个动点（不与O、A重合），过点C作CD⊥OA交弧AB于点D。以CD为边，在CD右侧作正方形CDEF。当点C从点A向点O运动的过程中，点F的路径长是多少？

  师生活动：学生面对双动点（C、D）和由其驱动的正方形顶点F，容易感到混乱。教师引导学生运用分析框架：

  1.审题定“动”：主动点是C（在线段OA上滑动），从动点D（因CD⊥OA且D在弧上，故D随C确定而确定），进而正方形CDEF的顶点E、F也随之确定。问题聚焦于从动点F的轨迹。

  2.以“静”观“动”：让学生用几何画板（或教师演示）追踪点F的运动轨迹，直观发现其路径似乎是一段圆弧。选取几个特殊C点（如C与A重合、C为OA中点、C无限接近O）画出对应的正方形，确定F的几个关键位置。

  3.寻“不变关系”：小组合作，探究在运动过程中，点F满足哪些恒定不变的几何条件。引导学生关注OF的长度以及∠O（或∠FOA）是否变化？连接OD、OF。分析发现，由于正方形性质，CD=CF，∠DCF=90°。又∠OCD=90°，故O、C、F共线？不一定。需要仔细推导。另一种思路：考虑将点F的运动与已知定点O、A及定弧AB联系起来。可以尝试建立坐标系，设C(t，0)(0<t<4)，由于D在弧AB上，满足x_D^2+y_D^2=16且y_D=√(16-x_D^2)（第一象限），同时D点横坐标等于C点横坐标t，故D(t，√(16-t^2))。再根据正方形性质，向量CF由向量CD逆时针旋转90°（或顺时针，需看图）再缩放相同长度得到。通过向量运算或全等变换思想，可求出F点坐标表达式。通过消参或观察，发现F点坐标满足某个圆的方程。此方法解析味浓。综合法思路：构造全等三角形。连接OD、OF。易证△OCD≌△FDC？不直接。过F作FH⊥OA于H。目标是证明OF为定长或∠FOA为定值。通过证明△ODC≌△CHF（AAS或ASA，需仔细分析角关系），可得FH=OC，CH=OD=4。从而OH=OC+CH=t+4？这似乎不对，因为OD是半径4，而CH是线段长，应等于CD。实际上，设OC=t，则CD=√(OD^2-OC^2)=√(16-t^2)。若能证明OF长度固定，则F轨迹是圆弧。计算OF^2=OH^2+FH^2。通过全等得到FH=t，CH=√(16-t^2)，则OH=OC+CH=t+√(16-t^2)。这不是常数。因此，可能轨迹不是圆弧，或者需要换一种全等构造。实际上，更常见的解法是识别出点F是由点D绕点C顺时针旋转90°并缩放√2倍（？）得到的，点D在弧AB上运动，其轨迹是圆弧，那么点F的轨迹应该是该圆弧经过位似旋转后的图形，一般仍是圆弧。可以通过寻找定点（如O）与动点F的关系，或者寻找F到某定点的距离是否为定值来判断。构造全等：将△ODC绕点D顺时针旋转90°，看看能否与△FDC重合？不完全是。更巧妙的是，连接OF、OD。可以发现，由于正方形，DC=FC，且∠DCF=90°。同时，OD是定长4。考虑将△ODC绕点C顺时针旋转90°，则OD会旋转到什么位置？旋转后O的对应点记为O‘，则O’C=OC，且∠OCO‘=90°，O’在CF所在直线上吗？需要精确作图。此任务难度较大，旨在让学生体验复杂联动的分析过程。教师可视学生情况引导至适当深度，关键让学生体会“抓主动点，分析从动点与主动点及定点的几何关系”这一策略。最终，教师通过几何画板验证轨迹，并展示通过构造全等三角形证明OF为定长（或FO与某定直线夹角为定值）的核心步骤，让学生理解轨迹为圆弧的原理。

  环节二：多动共生，函数建模

  任务四：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。点O是AB边上的一个动点，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，与AC边交于点D，与BC边交于点E。连接DE。设OA=x，四边形CEDO的面积为y。

  （1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围。

  （2）当x为何值时，四边形CEDO的面积最大？最大面积是多少？

  师生活动：此题涉及动圆（圆心O动、半径OA动）与两直角边的交点D、E也随之运动，求四边形面积。分析框架应用：

  1.审题定“动”：主动点是圆心O（在AB上滑动），半径OA=x也随之变化。从动点D、E是圆与AC、BC的交点。目标量是四边形CEDO的面积y。

  2.以“静”观“动”：选取O在AB中点、靠近A、靠近B等几个位置，大致感知四边形CEDO的形状变化。

  3.寻“不变关系”：四边形CEDO是不规则图形，需转化为规则图形求解。观察发现，四边形CEDO的面积可表示为△ABC面积减去△AOD和△BOE的面积，再减去△ODE的面积？或者直接计算？连接OD、OE。由于OD=OA=x，且∠A是定角，△AOD的面积可用1/2*OA*OD*sin∠A=1/2x^2sin∠A表示。同理△BOE面积可用1/2x^2sin∠B表示？不对，因为OE=OB？注意，OA=OD=x，但OE也等于半径x吗？题目说以OA为半径，所以OE=OD=OA=x。但OB是O到B的距离，并不等于x。所以OE=x，但OB是变化的。所以不能用x简单表示△BOE。需要重新思考面积分割。连接OC。四边形CEDO被分为△OCD和△OCE。这两个三角形有公共边OC，且分别以CD和CE为底，高分别是O到AC、BC的距离？计算复杂。更好的方法是：注意到∠C=90°，D、E在AC、BC上，且OD=OE=x。过O作OM⊥AC于M，ON⊥BC于N。则M、N为垂足。易证四边形OMCN是矩形。y=S四边形CEDO=S矩形OMCN-S△OME？不直接。实际上，S四边形CEDO=S△ABC-S△AOD-S△BOE-S△CDE？仍然复杂。最清晰的思路：y=S△OCD+S△OCE。而S△OCD=1/2*CD*OM，S△OCE=1/2*CE*ON。由于OM⊥AC，ON⊥BC，且O在AB上，OM和ON可以用x和已知角表示。在Rt△AOM中，OA=x，sinA=BC/AB=8/10=0.6，cosA=0.8，故OM=x*sinA=0.6x，AM=x*cosA=0.8x。同理，在Rt△BON中，OB=AB-OA=10-x，sinB=AC/AB=0.6，cosB=0.8，故ON=(10-x)*sinB=0.6(10-x)，BN=0.8(10-x)。由于OMCN是矩形，故CM=ON=0.6(10-x)，CN=OM=0.6x。因此，CD=CM+MD？注意D在AC上，A-M-D-C，故AD=AM+MD？实际上，M是O到AC的垂足，D是圆与AC的交点，D可能在M的左侧或右侧。需要判断圆与AC的交点D的位置。因为AC=6，AM=0.8x，当x较小时，圆可能与AC交于两点，但根据题意，通常理解为靠近A的那个交点（除非说明）。为了确定，可计算AD的长度。在Rt△OMD中，OD=x，OM=0.6x，所以MD=√(x^2-(0.6x)^2)=√(0.64x^2)=0.8x。所以AD=AM+MD=0.8x+0.8x=1.6x。这可能会大于AC=6，因此x需要有限制。实际上，D必须在AC线段上，所以AD≤6=>1.6x≤6=>x≤3.75。同时，E点也需在BC线段上，类似可得限制条件。由此得到x的取值范围（如0<x≤某个值）。回到面积，CD=|CM-MD|或CM+MD，取决于D、M、C的相对位置。当AM<AC时，D可能在M与C之间？需要根据x讨论。这体现了分类讨论的必要性。此任务综合性极强，涉及动态圆与直线相交、变量表示、函数建模、最值求解，且可能需要分类讨论。课堂上可重点引导学生建立函数模型的思路，具体复杂的计算和讨论可作为课后拓展或教师逐步引导完成。关键在于让学生理解，在多元素联动且图形不标准时，通过引入自变量（x），利用几何关系（相似、三角函数、勾股定理等）将其他几何量用x表示，从而建立目标量的函数模型，这是解决动态问题极为强大的通法。

  设计意图：通过两个层层递进的复杂任务，将学生思维引向深入。任务三侧重“几何推理探轨迹”，培养学生从复杂联动中抽丝剥茧，发现几何不变性（全等、旋转相似）的高阶直观与推理能力。任务四侧重“代数建模求最值”，训练学生在多变量、不规则图形中，通过设立主元，运用三角函数、相似等工具进行量化表征，构建函数模型解决实际问题的能力。两者共同强化“化动为静，动静互化”的核心策略。

  （三）体系构建，策略升华（预计用时：8分钟）

  师生活动：师生共同整合两课时的学习成果，形成完整的“圆中动点问题”解决策略体系图（思维导图形式，教师逐步板演构建）：

  中心问题：圆中的动点问题

  第一层级：问题识别

   1.单动点问题：点在定圆上/直线上动；点驱动线、形动。

   2.多动点问题：主从联动（一个主动点，其余从动）；双动点关联（如两点同时运动但有约束）。

   3.动圆问题：圆心动、半径动、与定图形相交。

  第二层级：核心策略（通用）

   1.动静转换：画图定格特殊位置（起点、终点、临界点、垂直点等）；设参表示一般位置。

   2.追本溯源：分析动点来源，明确是主动还是从动。对于从动点，探究其与主动点及定点之间的几何关系（全等、相似、旋转、比例等）。

   3.关注不变量：在变化中寻找不变的量（长度、角度、比例、关系等）和不变的结构（基本图形、特殊三角形等）。

  第三层级：模型与方法选择

   A.求最值/范围：

    •几何模型法：利用“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形三边关系”、“圆外一点到圆上点的距离最值”等基本几何公理或模型。

    •函数建模法：设自变量，建立目标函数（二次函数、三角函数等），利用函数性质求最值。

   B.求路径/轨迹：

    •轨迹识别法：根据定义（到定点距离等于定长→圆；到定直线距离等于定长→平行线；对定线段张定角→圆弧等）判断。

    •解析法/坐标法：建立坐标系，求出动点坐标满足的方程。

   C.探究存在性/定值：

    •逆向假设法：假设存在，导出矛盾或求出参数。

    •一般推理法：从一般情况出发，通过几何推理或计算证明结论恒成立。

   •特例引路法：从特殊位置猜测定值，再证明一般性。

  第四层级：技术融合与素养提升

   •善用动态几何软件进行直观探索与验证。

   •规范作图，清晰展示不同情形。

   •严谨表达，逻辑清晰。

  （四）课堂总结与展望（预计用时：2分钟）

  教师强调，动态几何问题之美在于其思维的挑战性与解决后的成就感。鼓励学生将构建的策略体系内化为分析习惯，不仅用于解决圆的问题，更能迁移到其他几何动态场景中。提醒学生，中考中此类问题往往作为压轴题出现，需平时勤加练习，积累经验，提升思维韧性。

  七、分层作业设计

  （一）基础巩固层（面向全体学生，巩固基本模型）

  1.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，点M是弦AB上的动点，则线段OM长的取值范围是________。

  2.如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC=120°，点D是弧AC上的一个动点（不与A，C重合），连接AB，BC，BD。当点D运动时，∠ABD+∠CBD的度数是否变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由。

  3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3。点P是边AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与边AC相交于点D，与边BC相交于点E。设PA=x，则线段DE的长度可能为（）（多选）A.0.5B.1.2C.2.0D.2.8（需简单说明理由）

  （二）能力提升层（面向大多数学生，熟练通法应用）

  1.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点O是矩形对角线的交点，点P是AD边上的一个动点（不与A，D重合），以点P为圆心，PA长为半径画弧，交对角线AC于点M，连接PM并延长交BC于点N。设AP=x。

   （1）用含x的代数式表示线段AM的长。

   （2）设四边形ABNP的面积为y，求y关于x的函数表达式，并求当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

  2.如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，OA=6。点C是弧AB上的动点，过点C作CD⊥OB于点D，连接OC。当△OCD的面积最大时，求点C的位置（即弧BC的度数）。

  （三）拓展挑战层（面向学有余力学生，培养探究与创新）

  1.（关联物理）如图，一个圆形轨道竖直放置，半径为R。一个小球从轨道内侧最高点P由静止开始沿轨道无摩擦滑下。考虑小球在轨道上的位置（用与竖直向下方向的夹角θ表示）。

   （1）建立合适的坐标系，求小球在任意位置时的动能和势能（以轨道最低点为零势能点）表达式。

   （2）根据机械能守恒定律，求小球对轨道压力最小时的位置。试将此物理问题抽象为一个圆中的动点问题，并与本节课所学的几何模型进行类比。

  2.探究题：在平面直角坐标系中，定点A(0，a)，B(b，0)(a，b>0)。点P是单位圆x^2+y^2=1上的动点。试探究向量PA与PB数量积的取值范围。你能从几何角度（圆幂定理、圆周角等）和代数角度（坐标运算、参数方程）分别给出解释吗？

  八、板书设计（计划性板演）

  （黑板左侧：策略体系思维导图框架，随课堂进展逐步填充完整）

  （黑板中