初中数学七年级上册（五四制）核心知识清单

初中数学七年级上册（五四制）核心知识清单一、有理数（一）有理数的基本概念1、正数与负数【基础】大于0的数叫做正数，有时在正数前面加上“+”（正）号；在正数前面加上“”（负）号的数叫做负数。0既不是正数，也不是负数。正数和负数通常表示具有相反意义的量。用正负数表示相反意义的量时，规定其中一个量为正，则另一个量即为负。2、有理数的定义与分类【基础】整数和分数统称为有理数。按定义分类：有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。按性质符号分类：有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0和负有理数（负整数、负分数）。【易错点】有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们都属于有理数；无限不循环小数（如π）不是有理数。3、数轴【重要】规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数。数轴的三要素缺一不可。在数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。4、相反数【基础】只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。互为相反数的两个数在数轴上位于原点的两侧，且到原点的距离相等。若a与b互为相反数，则a+b=0。5、绝对值【核心】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即：|a|=a(a>0)；0(a=0)；a(a<0)。绝对值具有非负性，即对于任意有理数a，总有|a|≥0。【考点】绝对值的化简与求值，常结合数轴、相反数进行考查。6、有理数大小的比较【方法】法则一：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。法则二：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。法则三：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。【易错点】比较两个负数大小时，容易忽略“绝对值大的反而小”的法则，而误认为绝对值大的数就大。（二）有理数的运算1、有理数的加法【基础】法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。运算律：加法交换律（a+b=b+a）和加法结合律（(a+b)+c=a+(b+c)）。【技巧】在进行多个有理数加法运算时，常运用运算律将“相反数相加”、“同号相加”、“同分母或易通分的分数相加”等类型结合，简化运算。2、有理数的减法【基础】法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即ab=a+(b)。【考点】减法运算统一转化为加法运算是解题的关键。3、有理数的乘法【基础】法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。运算律：乘法交换律（ab=ba）、乘法结合律（(ab)c=a(bc)）、乘法对加法的分配律（a(b+c)=ab+ac）。【重要】多个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。只要有一个因数为0，积就为0。4、有理数的除法【基础】法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。5、有理数的乘方【核心】求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在a^n中，a叫做底数，n叫做指数，a^n读作a的n次方（或a的n次幂）。正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。【易错点】区分a^n与(a)^n的意义，前者是a^n的相反数，后者是n个a相乘。6、有理数的混合运算【高频考点】【难点】运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；如果有括号，先进行括号内的运算（通常先小括号，再中括号，后大括号）。【解题步骤】观察算式结构，明确运算顺序；确定每一步的运算类型，选择相应法则；灵活运用运算律简化计算；仔细、准确地进行每一步计算，特别注意符号的确定。【常见题型】计算题、化简求值题、与数轴结合的判断题。二、整式的加减（一）整式的基础概念1、单项式【基础】由数或字母的积表示的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。【易错点】系数包括前面的符号；当单项式的系数是1或1时，“1”通常省略不写，但判断系数时要包含“1”或“1”；圆周率π是常数，因此在判断单项式次数时，π不作为字母看待。2、多项式【基础】几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。一个多项式含有几项，就叫几项式。【重要】多项式的每一项都包括它前面的符号。3、整式【基础】单项式与多项式统称为整式。（二）整式的加减运算1、同类项【核心】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。【考点】判断同类项的标准是“两同”：字母相同，相同字母的指数相同，与系数无关，与字母的排列顺序无关。2、合并同类项【方法】把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。【解题步骤】一找：找出多项式中的同类项；二移：利用加法交换律和结合律，将同类项集中在一起（移动时注意带着符号）；三合并：将同类项的系数相加，字母和字母指数不变。【易错点】合并时漏项；系数相加减时符号出错；不是同类项的不能合并。3、去括号【重要】法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。【记忆口诀】正不变，负全变。【易错点】括号前是负因数时，去括号后括号内每一项都要变号，容易只变第一项或漏变；当括号前有数字因数时，要运用乘法分配律，将数字因数乘以括号内的每一项。4、整式的加减【高频考点】一般步骤：如果有括号，先去括号；如果有同类项，再合并同类项，直到结果中没有同类项为止。【常见题型】计算题、化简求值题（先化简，再代入求值）、与图形面积或周长结合的应用题。【解题步骤】化简求值时，应先对原式进行去括号、合并同类项的化简，再将给定的数值代入化简后的式子进行计算，这样能大大简化运算过程，避免错误。三、一元一次方程（一）方程与一元一次方程的定义1、方程【基础】含有未知数的等式叫做方程。判断一个式子是否为方程，必须同时满足两个条件：一是等式，二是含有未知数。2、一元一次方程【核心】只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。其标准形式为ax+b=0（其中a、b是常数，且a≠0）。【考点】判断一个方程是否为一元一次方程，要抓住关键点：一元、一次、整式方程。对含参数的方程，需保证未知数系数不为0且指数为1。3、方程的解【基础】使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。只含有一个未知数的方程的解，也叫做根。4、解方程【基础】求方程的解的过程叫做解方程。（二）等式的性质【重要】性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果a=b，那么a±c=b±c。性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么a/c=b/c。【易错点】应用性质2时，除以的数不能为0，此条件常被忽略。（三）解一元一次方程的一般步骤【高频考点】【解题步骤】1、去分母：方程两边同时乘以各分母的最小公倍数。注意不要漏乘不含分母的项；当分子是多项式时，去分母后应加上括号，以体现整体相乘。2、去括号：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。遵循去括号法则，注意符号变化和乘法分配律的运用。3、移项：把含有未知数的项移到方程的一边（通常是左边），常数项移到方程的另一边（右边）。移项要变号。4、合并同类项：将方程化为ax=b（a≠0）的最简形式。合并时，要细心计算系数。5、系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数，得到x=b/a的形式。注意符号和除法的准确性。【难点】步骤并非一成不变，可根据方程特点灵活运用。如遇小数系数，可先化为整数系数。解完后，可将解代入原方程进行检验。（四）实际问题与一元一次方程【核心素养】【热点】列方程解应用题的一般步骤：1、审：审题，分析题意，找出已知量、未知量以及数量关系，特别是能表示应用题全部含义的一个相等关系。2、设：设未知数，一般求什么，设什么，也可间接设。设未知数时，要写清楚单位名称。3、列：根据相等关系列出方程。4、解：解所列的方程，求出未知数的值。5、验：检验所得的解是否符合方程，更重要的是是否符合实际问题的情景（如人数必须是整数，长度、时间不能为负数等）。6、答：写出答案（包括单位名称）。【常见题型】（1）和差倍分问题：关键词如“多”、“少”、“是几倍”、“增加了几分之几”等。找准基准量，设基准量为x，用含x的式子表示其他量。（2）等积变形问题：形状改变，体积或面积不变。抓住体积或面积相等这一关键。（3）行程问题：基本量：路程、速度、时间。基本关系：路程=速度×时间。常见类型有相遇问题（总路程=速度和×时间）、追及问题（距离差=速度差×时间）、航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度水流速度）。（4）工程问题：基本量：工作量、工作效率、工作时间。基本关系：工作量=工作效率×工作时间。通常把总工作量看作单位“1”。（5）商品销售问题：基本量：进价、售价、标价、利润、利润率。基本关系：利润=售价进价；利润率=利润/进价×100%；售价=标价×打折数/10；售价=进价×（1+利润率）。（6）积分与分配问题：常见于球赛、考试得分等。根据表格信息，找出总分或总人数的相等关系。（7）分段计费问题：如出租车计费、水费、电费等。需根据不同的数量范围确定不同的计费标准，分情况讨论或建立方程。四、几何图形初步（一）多姿多彩的图形1、几何图形【基础】从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。分为立体图形（几何体）和平面图形。2、立体图形与平面图形【基础】各部分不都在同一平面内的几何图形是立体图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等。各部分都在同一平面内的几何图形是平面图形，如线段、角、三角形、长方形、圆等。3、从不同方向看立体图形【重要】对于一个立体图形，从正面、左面、上面三个方向看到的图形，常称为三视图（初中阶段不严格定义，重在观察与想象）。这是将立体图形转化为平面图形的一种方式，有助于培养空间观念。【常见题型】给出立体图形，判断其三视图；或根据三视图，还原立体图形。4、立体图形的展开图【重要】【难点】有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。【常见考点】正方体的展开图有11种形式，需熟记不能出现“田”、“凹”、“7”字型结构。其他常见立体图形如圆柱、圆锥、棱柱的展开图特征。（二）点、线、面、体【基础】几何图形都是由点、线、面、体组成的。点是构成图形的基本元素。点动成线，线动成面，面动成体。面与面相交得线，线与线相交得点。（三）直线、射线、线段1、直线【基础】（1）基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。即两点确定一条直线。（2）表示方法：用一个小写字母表示，如直线l；或用两个大写字母表示，如直线AB（或BA）。（3）点与直线的位置关系：点在直线上（直线经过点）或点在直线外（直线不经过点）。（4）两条直线相交：当两条不同的直线有一个公共点时，称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。2、射线【基础】直线上一点和它一旁的部分叫做射线。表示方法：用两个大写字母表示，端点字母写在前面，如射线OA。注意射线OA与射线AO是不同的。3、线段【基础】直线上两点及两点间的部分叫做线段。表示方法：用一个小写字母表示，如线段a；或用表示端点的两个大写字母表示，如线段AB（或BA）。基本事实：两点之间，线段最短。连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。【易错点】距离是长度，是数值，不是线段本身。4、线段的比较与度量【方法】度量法（用刻度尺测量）和叠合法（将一条线段移到另一条线段上）。5、线段的中点与等分点【重要】把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。类似地，还有三等分点、四等分点等。几何语言：∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC=1/2AB，或AB=2AC=2BC。6、线段的画法与计算【高频考点】作一条线段等于已知线段（用尺规或刻度尺）。线段的和、差、倍、分计算是重点，常结合中点、比例进行考查。解题时需结合图形，分析线段之间的数量关系，必要时可设未知数列方程求解。（四）角1、角的概念【基础】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。2、角的表示方法【基础】用三个大写字母表示，顶点字母在中间，如∠AOB；用一个大写字母表示（以这个字母为顶点的角只有一个时），如∠O；用一个小写希腊字母表示，如∠α；用一个数字表示，如∠1。3、角的度量【基础】以度、分、秒为单位的角的度量制叫做角度制。1°=60′，1′=60″。1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°。【易错点】度、分、秒是60进制，进行加减乘除运算时，要注意进位和借位。4、角的比较与运算【方法】度量法和叠合法。角的和、差、倍、分计算是重点。例如，两个角的和或差，其结果仍是一个角。5