数理统计的基本知识专家讲座

三大抽样分布：分布、t分布、F分布及其分位点.第四节

分布t分布F分布基本内容：2026/3/111数理统计的基本知识第1页定理1.设记作1.定义都服从标准相互独立,正态分布N(0,1),则随机变量一、尤其地,当k=1时,2026/3/112数理统计的基本知识第2页其概率密度函数:其图形伴随参数k改变而改变，如图所表示2026/3/113数理统计的基本知识第3页2.分布性质(1)可加性:且则它们和此性质推广至多个变量情形:2026/3/114数理统计的基本知识第4页(2)

期望与方差(P927题)若X~

2(k)，则E(X)=k，D(X)=2k.(3)分析：由

2分布定义知，由中心极限定理可得结论.2026/3/115数理统计的基本知识第5页例1.解：因为X1,X2,X3相互独立，且Xi~N(0,9),有由可加性得2026/3/116数理统计的基本知识第6页3.分布分位点定义1.（分位点）定义：对于X和给定2026/3/117数理统计的基本知识第7页(P285)2026/3/118数理统计的基本知识第8页解:经查表2(P285)得例2.2026/3/119数理统计的基本知识第9页二、t

分布历史上，正态分布因为其广泛应用背景和良好性质，曾被看作是“万能分布”。在这么背景下，十九世纪初英国一位年经酿酒化学技师GossetWS，他在酒厂从事试验和数据分析工作，对数据误差有着大量感性认识，Gosset知道在总体均值和方差已知情况下，2026/3/1110数理统计的基本知识第10页为“t分布”或“学生氏分布”.xyO不过Gosset在试验中碰到样本容量仅有5-6个,在其中他发觉实际数据分布情况与正态分布有着较大差异。正态分布Gosset样本曲线于是Gosset怀疑存在一个不属于正态其它分布，经过学习终于得到了新概率密度曲线，在1908年以“Student”笔名发表了此项结果，后人称此分布2026/3/1111数理统计的基本知识第11页1.t分布定义定理2.

设随机变量X

与Y

相互独立,且则随机变量服从自由度为kt

分布,记作又称学生氏分布,记为2026/3/1112数理统计的基本知识第12页①关于x=0对称；其概率密度函数t分布概率密度函数图形如图所表示②当k充分大时，其图形与标准正态分布图形相同.2026/3/1113数理统计的基本知识第13页例3.解:2026/3/1114数理统计的基本知识第14页2026/3/1115数理统计的基本知识第15页2.t分布分位点定义2.2026/3/1116数理统计的基本知识第16页(P286)2026/3/1117数理统计的基本知识第17页解:经查表3(P286)得例4.试求2026/3/1118数理统计的基本知识第18页三、F分布定理3.设随机变量X与Y相互独立,且则随机变量服从自由度为(k1,k2)F分布,记作1.定义2026/3/1119数理统计的基本知识第19页其图形如图所表示：2026/3/1120数理统计的基本知识第20页例5.设总体X～N(0,1),而X1,X2,…,X15是来自总体X简单随机样本，则随机变量分析：服从分布,参数为.所以2026/3/1121数理统计的基本知识第21页2.F分布性质证实：定理：2026/3/1122数理统计的基本知识第22页3.F分布分位点定义3.2026/3/1123数理统计的基本知识第23页证实:设F~F(k1,k2),则注：得证!由等价变形于是即(P1478题)2026/3/1124数理统计的基本知识第24页(P287)2026/3/1125数理统计的基本知识第25页解:经查表4(P287)得解:例6.试求2026/3/1126数理统计的基本知识第26页第五节

正态总体统计量分布基本内容：一、抽样分布——统计量分布；二、正态总体下抽样分布2026/3/1127数理统计的基本知识第27页一、统计量分布统计量是对样本信息“加工”,因为样本是随机变量,故统计量有一定概率分布.我们称统计量分布为抽样分布.它依赖于样本,所以统计量也是随机变量,2026/3/1128数理统计的基本知识第28页二、正态总体下抽样分布且有性质.设相互独立,都服从正态分布,则它们线性组合也服从正态分布,其中为常数.回顾正态分布性质2026/3/1129数理统计的基本知识第29页来自总体X一个样本,则样本均值且有定理1.(P1167题结论)2026/3/1130数理统计的基本知识第30页1.单个正态总体下统计量分布(2)统计量标准化样本均值(1)统计量…………①…………②2026/3/1131数理统计的基本知识第31页定理3.(其中自由度降低一个，即n-1)(2)统计量…………③2026/3/1132数理统计的基本知识第32页它们受到一个条件约束：降低一个自由度原因：2026/3/1133数理统计的基本知识第33页定理4.则统计量证实：由定理2和定理3知,…………④2026/3/1134数理统计的基本知识第34页(1)已知总体例7.从总体X中抽取容量为16样本.解:则由定理2知:2026/3/1135数理统计的基本知识第35页查表得2026/3/1136数理统计的基本知识第36页(2)由定理4知:已知2026/3/1137数理统计的基本知识第37页查表得：2026/3/1138数理统计的基本知识第38页例8.解:2026/3/1139数理统计的基本知识第39页查表得2026/3/1140数理统计的基本知识第40页所以解:2026/3/1141数理统计的基本知识第41页查表得2026/3/1142数理统计的基本知识第42页2.两个正态总体统计量分布令X1,X2,…,Xnx来自总体X样本,

样本均值与样本方差分别为令Y1,Y2,…,Yny来自总体X样本,

样本均值与样本方差分别为2026/3/1143数理统计的基本知识第43页则统计量定理1.2026/3/1144数理统计的基本知识第44页推论.则统计量(两方差相同总体统计量分布)2026/3/1145数理统计的基本知识第45页定理2.则统计量2026/3/1146数理统计的基本知识第46页(2)统计量则(1)统计量定理3.2026/3/1147数理统计的基本知识第47页1.了解三大抽样分布：2.了解正态总体下一些统计量抽样分布.内容小结及其分位点，会查对应数值表;2026/3/1148数理统计的基本知识第48页作业习题五(P146).6,7,9,10,14,152026/3/1149数理统计的基本知识第49页备用题1.则（）.A.T服从t(n-1)分布;B.T服从t(n)分布;C.T服从N(0,1)分布;D.T服从F(1,n);分析：应选B.2026/3/