2025-2026学年河北省NT20名校联合体高三（上）质检数学试卷（一）（1月份）

第1页（共1页）2025-2026学年河北省NT20名校联合体高三（上）质检数学试卷（一）（1月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数2-iA．32i B．-32 C．-2．（5分）样本数据3，8，4，6，27，9，1，5的第75百分位数为（）A．7.5 B．8 C．8.5 D．93．（5分）已知向量a→=（﹣2，4）与b→=（n，2），若a→A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣14．（5分）已知数列{an}是等比数列，若a2＝﹣1，a8＝﹣4，则a5＝（）A．±1 B．﹣1 C．±2 D．25．（5分）若椭圆y2a2A．54 B．43 C．2336．（5分）已知直线l1：3x﹣3ay+5＝0，l2：（1﹣a）x+2y﹣7＝0，则“a＝﹣1”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数f（x）及其导函数g（x）的定义域均为R，g(π2+x)为奇函数，f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）cosy，f（0）＝0，若方程f（x）＝m（m＞0）在区间[0，3π]上恰有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+xA．2π B．4π C．8π D．6π8．（5分）如图，几何体ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，AA1＝CC1＝AB＝8，BB1＝4，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥平面ABC，E，F分别为A1B1，A1C1的中点，直线AB与平面EFC相交于点M．则AMMBA．2 B．3 C．32 D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列命题不正确的有（）A．斜二测画法不会改变边长比例 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积最大 D．用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝2x3﹣x2，则下列说法正确的是（）A．f（x）在（﹣∞，0）上单调递增 B．f（x）的极大值为0 C．f（x）有三个零点 D．曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为4x﹣y+3＝0（多选）11．（6分）已知双曲线C：x24-y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的右支上，△AF1F2的内切圆圆心为O1，过F2作F2D上A．双曲线C的离心率为32B．|OD|＝2 C．圆心O1的横坐标为1 D．O1A为双曲线C的切线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知直线ax+3y﹣2＝0的倾斜角为π3，则a＝13．（5分）已知点A（﹣2，5），点M是抛物线x2＝8y上的一点，点B是圆F：x2+（y﹣2）2＝1上的一点，则|MA|+|MB|的最小值为．14．（5分）在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝2，S为空间中的一个点，BC⊥SC，SA=52，则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2C﹣sinAsinB＝sin2A+sin2B．（1）求C；（2）若a＝5，b＝3，D为AB边上一点，且AC⊥CD，求CD．16．（15分）已知B（5，2），C（1，0）两点．（1）求以线段BC为直径的圆的标准方程；（2）若动点A满足AB⊥AC，M为AC的中点，求点M的轨迹方程．17．（15分）已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)的上焦点为F（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点（0，4）且斜率存在的直线与椭圆C交于A，B两点，求kAF+kBF的值．18．（17分）如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为1，D为BC上一点，A1B∥平面ADC（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）求二面角A1﹣B1B﹣C的正弦值．19．（17分）将平面内任意向量OP→=(x，y)绕坐标原点O逆时针方向旋转角α，得到向量OP'→=(xcosα-ysinα，xsinα+ycosα)．已知双曲线C1：（1）求C2的方程；（2）点A在曲线C2上，曲线C2在点A处的切线为直线l．（i）若l与两坐标轴分别交于M，N两点，求△OMN的面积；（ii）若B，C两点都在曲线C2上（异于点A），且满足AB→⋅AC→=0

2025-2026学年河北省NT20名校联合体高三（上）质检数学试卷（一）（1月份）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCDCCADD二．多选题（共3小题）题号91011答案ABCABABD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数2-iA．32i B．-32 C．-【分析】根据复数的乘方和除法运算以及共轭复数的概念即可得到答案．【解答】解：由2-i可得复数2-i31-i的共轭复数为1故选：B．2．（5分）样本数据3，8，4，6，27，9，1，5的第75百分位数为（）A．7.5 B．8 C．8.5 D．9【分析】利用总体百分位数的估计求解即可．【解答】解：将样本数据按从小到大顺序依次排列为：1，3，4，5，6，8，9，27，因为8×75%＝6，因此第75百分位数为8+92=8.5，故故选：C．3．（5分）已知向量a→=（﹣2，4）与b→=（n，2），若a→A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1【分析】先求出a→【解答】解：因为向量a→=（﹣2，4），b→=（所以a→+b→=（﹣又因为a→∥（a所以﹣2×6＝4（﹣2+n），解得n＝﹣1．故选：D．4．（5分）已知数列{an}是等比数列，若a2＝﹣1，a8＝﹣4，则a5＝（）A．±1 B．﹣1 C．±2 D．2【分析】根据等比数列的性质即可求解．【解答】解：因为（a5）2＝a8•a2＝（﹣1）×（﹣4）＝4，解得a5＝±2．故选：C．5．（5分）若椭圆y2a2A．54 B．43 C．233【分析】根据椭圆的离心率求a，c的值，可得椭圆的焦距2c的值．【解答】解：由题可得：a2即a=2所以该椭圆的焦距为23故选：C．6．（5分）已知直线l1：3x﹣3ay+5＝0，l2：（1﹣a）x+2y﹣7＝0，则“a＝﹣1”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据两直线平行的性质求得a，进而求解结论．【解答】解：直线l1：3x﹣3ay+5＝0和l2：（1﹣a）x+2y﹣7＝0平行，可得2×3﹣（﹣3a）×（1﹣a）＝0且3×（﹣7）﹣5×（1﹣a）＝0，解得a＝2或a＝﹣1．故“a＝﹣1”是“l1∥l2”的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）及其导函数g（x）的定义域均为R，g(π2+x)为奇函数，f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）cosy，f（0）＝0，若方程f（x）＝m（m＞0）在区间[0，3π]上恰有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+xA．2π B．4π C．8π D．6π【分析】利用赋值法先推出f（x）是奇函数，再得到f（x+π）＝﹣f（x）从而周期为2π，又由g(π2+x)为奇函数，得到f（x）图象关于直线x=π2对称，结合周期性和对称性，可知方程f（x）＝m＞0在[0，3π]上四个根具有对称分布关系，因此它们的和为两个对称轴位置之和的两倍，进而求出x1+x2+x【解答】解：取x＝0，那么可得f（y）+f（﹣y）＝2f（0）cos0＝0，即函数f（x）为奇函数；取y=π2，得f(x+π2)+f(x-π2)=0，因此f（因此f（x+2π）＝﹣f（x+π）＝f（x），因此函数f（x）的周期为2π．根据g(π2+x)即f'(π2+x)+f'(取x＝0，那么f(π2)-f(f(π2+x)=f(π2-x)，因此函数又f（x）的周期为2π，因此x=5π2也是f（x）又f（x）＝m（m＞0）在区间[0，3π]上恰有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，根据对称性可知，四个根两两分别关于直线x=π2和x=5π2对称，故x1+x2＝π，x3+x4即x1+x2+x3+x4＝6π．故选：D．8．（5分）如图，几何体ABC﹣A1B1C1中，△ABC是正三角形，AA1＝CC1＝AB＝8，BB1＝4，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥平面ABC，E，F分别为A1B1，A1C1的中点，直线AB与平面EFC相交于点M．则AMMBA．2 B．3 C．32 D．【分析】根据题意作图，找到直线AB与平面EFC的交点M，继而求出相关线段的长，再根据三角形相似，求出BM=8【解答】解：因为E，F分别为A1B1，A1C1的中点，所以EF∥B1C1，延长BB1至点K，使得BB1＝BK＝4，连接CK，所以B1K＝C1C＝8，且B1K∥C1C，所以四边形B1KCC1为平行四边形，所以KC∥B1C1，所以KC∥EF．则平面EFCK即为平面EFC，连接EK，则EK，AB⊂平面AA1B1B，则EK与AB的交点即为M，AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1B1B，故平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，过点E作AB的垂线，垂足为Q，则EQ⊥平面ABC，则EQ∥AA1∥B1K，又E为A1B1的中点，所以Q为AB的中点，所以EQ=A又AB＝8，QB＝4．由△KBM∽△EQM易知，BMMQ即BM4-BM解得BM=8所以AMMB故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列命题不正确的有（）A．斜二测画法不会改变边长比例 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积最大 D．用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面【分析】根据斜二测画法的过程可判断选项A，根据点和直线位置关系确定平面分析即可判断选项B，设圆锥的母线长为l，轴截面的两条母线的夹角为α（0＜α＜π），由截面面积公式分析即可判断选项C，由截球所得截面一定是一个圆面即可判断选项D．【解答】解：对于A，在y轴上的线段或与y轴平行的线段长度变为原来的一半，所以斜二测画法可能会改变边长比例，故A错误；对于B，当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面，当点在直线上时，直线与该点不能唯一确定一个平面，故B错误；对于C，设圆锥的母线长为l，轴截面的两条母线的夹角为α（0＜α＜π），则截面的两条母线的夹角为θ（0＜θ≤α），截面面积S=1所以当α≤π2时，轴截面面积最大，当α＞π对于D，用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面，故D正确．故选：ABC．（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝2x3﹣x2，则下列说法正确的是（）A．f（x）在（﹣∞，0）上单调递增 B．f（x）的极大值为0 C．f（x）有三个零点 D．曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为4x﹣y+3＝0【分析】对函数求导，利用导数求出函数的单调性进行判断即可求解．【解答】解：由题意可得，f′（x）＝6x2﹣2x＝2x（3x﹣1），x∈R，对于A，令f′（x）＞0，解得x＞13或x＜0，所以f（x）的单调增区间为(对于B，C，令f'（x）＜0，解得0＜x＜13，所以f（x）在（0，所以当x＝0时，f（x）有极大值f（0）＝0，B选项正确；当x=13时，f（x）有极小值f(13)=-127，又f所以f（x）的图象与x轴有两个交点，C选项错误；对于D，f′（1）＝4，f（1）＝1，所以切线方程为y﹣1＝4（x﹣1），即4x﹣y﹣3＝0，D选项错误．故选：AB．（多选）11．（6分）已知双曲线C：x24-y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C的右支上，△AF1F2的内切圆圆心为O1，过F2作F2D上A．双曲线C的离心率为32B．|OD|＝2 C．圆心O1的横坐标为1 D．O1A为双曲线C的切线【分析】由双曲线的性质计算可判断A；由|OD|=12|E由内切圆切线长性质计算可判断C；由双曲线的光学性质可得AH为∠F1AF2的平分线，即可判断D．【解答】解：对于A，由题知a＝2，b=5，c＝3所以双曲线C的离心率为32，故A对于B，如图1所示，设圆O1与△AF1F2的三边分别相切于点P，M，N，延长F2D交AF1于点E，连接OD，则|OD|=1|AF1|﹣|AF2|＝|AF1|﹣|AE|＝|EF1|＝2a，|OD|=12|E对于C，如图1所示，|AF1|﹣|AF2|＝|AN|+|NF1|﹣（|AM|+|MF2|）＝|NF1|﹣|MF2|＝|PF1|﹣|PF2|＝（xp+3）﹣（3﹣xp）＝4，解得xp＝2，故圆O1的横坐标为2，故C错误；对于D，如图2，设双曲线C在点A处的切线为GH，作AT⊥GH，由光学性质可以知道∠F2AT＝∠SAT，∠GAS＝∠F2AH，又∠F2AH＝∠GAF，∠GAS＝∠F1AH，所以∠F2AH＝∠F1AH，所以AH为∠F1AF2的平分线，故A，H，O1三点共线，即O1A是双曲线C的切线，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知直线ax+3y﹣2＝0的倾斜角为π3，则a＝-33【分析】由一般方程中斜率与倾斜角的关系可得．【解答】解：因为直线ax+3y﹣2＝0的斜率为k=-又因为直线的倾斜角为π3所以k=tanπ解得a=-故答案为：-313．（5分）已知点A（﹣2，5），点M是抛物线x2＝8y上的一点，点B是圆F：x2+（y﹣2）2＝1上的一点，则|MA|+|MB|的最小值为6．【分析】过M作准线的垂线，垂足为M′，由M′M＝MF，因此先求|MA|+|MF|的最小值，由此可知当M′，M，A共线时取得最小值【解答】解：由题意知抛物线x2＝8y的焦点为圆心F（0，2），过点M作抛物线准线y＝﹣2的垂线，垂足为M′，如图所示：记点M到抛物线x2＝8y的准线的距离为d，|M′M|＝|MF|，|MB|≥|MF|﹣1＝d﹣1≥2﹣1＝1，所以|MA|+|MB|≥|MA|+|MF|﹣1＝|MA|+d﹣1≥5+2﹣1＝6，当且仅当直线AM与抛物线的准线垂直，点B在线段MF上时即M′，M，A共线时取得最小值，等号成立，所以|MA|+|MB|的最小值为6．故答案为：6．14．（5分）在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝2，S为空间中的一个点，BC⊥SC，SA=52，则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为33【分析】先根据条件确定点S的轨迹，进而转化为三棱锥的高的最大值求解．【解答】解：由于BC⊥SC，故S在过C点且与BC垂直的平面α内，设α∩平面ABC＝l，过A作l的垂线，垂足为A1，如图所示：易知AA1⊥α，AASA=52，则S点在以A面SCA1⊥面ABC，面SCA1∩面ABC＝l，故S到面ABC的最大距离为SA体积的最大值为VS-ABC故答案为：33四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2C﹣sinAsinB＝sin2A+sin2B．（1）求C；（2）若a＝5，b＝3，D为AB边上一点，且AC⊥CD，求CD．【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理化简原式，进而结合三角形的性质求出角度即可；（2）结合题意并利用等面积法建立方程，进而求解参数即可．【解答】解：（1）根据题意可知，sin2C﹣sinAsinB＝sin2A+sin2B，∴根据正弦定理c2﹣a2﹣b2＝ab，∵c2﹣a2﹣b2＝﹣2abcosC，∴﹣2cosC＝1，∴cosC=-∵C∈（0，π），∴C=2π（2）∵AC⊥CD，∴∠ACD=∵S△ABC＝S△ACD+S△BCD，∴12即12×3×5×316．（15分）已知B（5，2），C（1，0）两点．（1）求以线段BC为直径的圆的标准方程；（2）若动点A满足AB⊥AC，M为AC的中点，求点M的轨迹方程．【分析】（1）求线段BC中点，然后确定圆的半径，即可求得圆的标准方程；（2）设M，A坐标，由中点坐标公式得到点M与点A坐标的关系式，由题意可知点A在（1）中的圆上，从而求得点M的轨迹方程．【解答】解：（1）设BC中点为D，则D（3，1），半径r=(5-1)标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝5；（2）设M（x，y），A（x0，y0），则x=x故x0＝2x﹣1，y0＝2y，因为点A的轨迹方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝5，将x0＝2x﹣1，y0＝2y代入得（2x﹣4）2+（2y﹣1）2＝5，整理可得(x-又x0≠1，x0≠5，故x≠1，x≠3，所以点M的轨迹方程为(x-2)2+(y-12)217．（15分）已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)的上焦点为F（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点（0，4）且斜率存在的直线与椭圆C交于A，B两点，求kAF+kBF的值．【分析】（1）由题意建立等式求得a，b，c，代入即可求解；（2）设出直线AB的方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理及斜率公式建立等式计算即可求解．【解答】解：（1）由椭圆焦距为2，可得2c＝2，即c＝1，又椭圆上顶点到点F的距离与到直线l：y＝4的距离之比为12上顶点P（0，a），焦点F（0，1），则a-14-a解得a＝2，即a2＝4，b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C的标准方程为y2（2）设直线AB：y＝kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=kx+4y24+x23=1，得（3k2+4）则Δ＝（24k）2﹣4（3k2+4）×36＞0，解得k＞2或k＜﹣2，由韦达定理可得x1所以kAF+kBF==2k⋅所以kAF+kBF为定值0．18．（17分）如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为1，D为BC上一点，A1B∥平面ADC（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）求二面角A1﹣B1B﹣C的正弦值．【分析】（1）连接A1C交AC1于点O，根据线面平行的性质得A1B∥OD，再利用线面垂直的判定即可证明；（2）根据棱柱体积公式求得棱柱的高为1，再利用面面垂直的性质定理得B1H⊥平面ABC，最后建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量和平面法向量，利用面面角的空间向量求法即可得到答案．【解答】解：（1）证明：连接A1C交AC1于点O，连接OD，如图所示：因为A1B∥面ADC1，A1B⊂面A1BC，面A1BC∩面ADC1＝OD，所以A1B∥OD，又因为在△A1BC中，O为A1C的中点，所以D为BC中点，又因为AB＝AC，所以AD⊥BC，又因为AD⊥DC1，且BC∩DC1＝D，BC，DC1⊂面BCC1B1，故可以证得AD⊥面BCC1B1；（2）因为S△ABC所以易知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为1．又因为AD⊥面BCC1