2025-2026学年湖北省黄冈市高三（上）期末数学试卷

2025-2026学年湖北省黄冈市高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若复数z=1+i2025A．﹣3i B．3i C．﹣3 D．32．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞0”是“a3+b3＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）有一散点图如图，在5个（x，y）数据中去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（）A．解释变量x与响应变量y的线性相关性变弱 B．数据y的方差变大 C．决定系数R2变小 D．残差平方和变小4．（5分）若2sinθ-cosθ=2，θA．-725 B．-2425 C．245．（5分）设函数f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当0≤x≤2时，f（x）＝2x﹣1，则f(1A．e﹣1 B．1﹣e C．1e-1 D6．（5分）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于x轴的直线与该双曲线右支交于A，B两点，直线AF1，BF1分别交yA．12 B．16 C．62 D．7．（5分）直线y＝x+1与x，y轴分别交于M，N两点，点P在圆C1：x2-2x+yA．3+22 B．3-22 C．1+8．（5分）当x＞1时，关于x的不等式（2x﹣1）ex﹣a（x﹣1）≤0仅有两个正整数解，则实数a的取值范围是（）A．[4e32，3C．[52e3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，点P，Q分别为A1B，CC1的中点，则（）A．PQ⊥AB B．PQ⊥平面A1BC1 C．PQ∥平面ABC D．BQ∥AC（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x（x﹣a）2在x＝1处有极大值，则（）A．a＝1 B．f（2+x）+f（2﹣x）＝4 C．若0≤x≤t时，f（x）的值域为[0，4]，则t的取值范围为[1，4] D．曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线与曲线f（x）有两个不同的公共点（多选）11．（6分）已知函数fk(x)=cos2kx-sinA．函数f2（x）在[0，πB．函数g2（x）的最小正周期为π2C．函数y＝fk（x）的图像关于x=π4D．函数gk（x）的值域为[21﹣k，1]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1+a5＝14，2a2+a3＝15，则S15＝．13．（5分）2025的正因数有个．14．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，满足2S＝a2﹣（b﹣c）2，若a2+b2=2tS，则四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过点（1，1），记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝f（n）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2n-3(an+1)(an+1+1)，数列{16．（15分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，E为CC1中点，BC⊥AE．（1）证明：AC⊥BE；（2）若AC＝2A1C1＝2CC1＝4，BC＝3，求直线EB1与平面ABE所成角的正弦值．17．（15分）有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人．设事件A＝“学生愿意报名参加答题活动”，B＝“学生为男生”，据统计P(A)=3（1）根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？性别男生女生合计不愿报名参加答题活动愿意报名参加答题活动合计200（2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为23（i）若答题活动设置n（n∈N*且n≥10）道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求n的值．（ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用X表示在本次答题的题目数量，求X的分布列和期望．参考公式与数据：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82818．（17分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点为A，左焦点为F，焦距为43，△AOF的面积为6，点D（（1）求椭圆的离心率；（2）过原点O作圆D的两条切线OM，ON分别交椭圆于M，N．（i）若直线OM，ON的斜率都存在，分别记为k1，k2，求k1k2的值；（ii）求|OM||ON|的最大值．19．（17分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝aex﹣x2．（1）求函数f（x）的最值；（2）讨论函数g（x）在（0，+∞）上极值点的个数；（3）设函数h(x)=f(x)+g(x)x，若h（x）在定义域内有三个不同的极值点x1，x2，x3，且满足h

2025-2026学年湖北省黄冈市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ACDBBDAC二．多选题（共3小题）题号91011答案ACBCABD一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若复数z=1+i2025A．﹣3i B．3i C．﹣3 D．3【分析】根据复数的乘方运算以及除法运算即可计算出结果．【解答】解：i2025＝（i2）1012i＝i，所以复数z=1+故z-2z=-i-2i=-3i故选：A．2．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞0”是“a3+b3＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可．【解答】解：由a+b＞0，得a＞﹣b，则a3＞（﹣b）3＝﹣b3，故a3+b3＞0，是充分条件，由a3+b3＞0，得a3＞﹣b3＝（﹣b）3，得a＞﹣b，a+b＞0，是必要条件，故选：C．3．（5分）有一散点图如图，在5个（x，y）数据中去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（）A．解释变量x与响应变量y的线性相关性变弱 B．数据y的方差变大 C．决定系数R2变小 D．残差平方和变小【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，方差，决定系数，残差的平方和的变化情况．【解答】解：从散点图可分析出，若去掉点D（3，10），则剩下的点更能集中在一条直线附近，所以数据的离散程度减小，解释变量x与响应变量y的线性相关性变强，决定系数R2越接近1，会变大，方差变小，因为拟合效果越好，所以残差平方和变小．故ABC错误，D正确．故选：D．4．（5分）若2sinθ-cosθ=2，θA．-725 B．-2425 C．24【分析】法一：由2sinθ﹣cosθ＝2两边平方，结合sin2θ+cos2θ＝1解出sinθ=-34cosθ，可得tanθ=-34，然后将法二：根据同角三角函数关系式，结合题意求出sinθ、cosθ，然后运用二倍角的正弦公式求出sin2θ的值．【解答】解：法一：由2sinθ﹣cosθ＝2，两边平方得（2sinθ﹣cosθ）2＝4，即（2sinθ﹣cosθ）2＝4（sin2θ+cos2θ），整理得3cos2θ+4sinθcosθ＝0，因为θ∈（π2，π），所以sinθ＞0，cosθ＜0可得3cosθ+4sinθ＝0，即sinθ=-34cosθ，可得tan所以sin2θ＝2sinθcosθ=2sinθcosθ法二：因为2sinθ﹣cosθ＝2，所以cosθ＝2sinθ﹣2，代入sin2θ+cos2θ＝1得sin2θ+（2sinθ﹣2）2＝1，化简得5sin2θ﹣8sinθ+3＝0，解得sinθ=8±64-4×5×310=8±210，即sinθ=因为θ∈(π所以sin2θ=2sinθcosθ=2sinθ(2sinθ-故选：B．5．（5分）设函数f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当0≤x≤2时，f（x）＝2x﹣1，则f(1A．e﹣1 B．1﹣e C．1e-1 D【分析】根据奇函数的性质，结合对数的运算性质、换底公式进行求解即可．【解答】解：由题可得：f(=-故选：B．6．（5分）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于x轴的直线与该双曲线右支交于A，B两点，直线AF1，BF1分别交yA．12 B．16 C．62 D．【分析】根据双曲线的定义、双曲线的通径长、双曲线的对称性，结合△MF1N的周长为24，可得12a＝a2+b2，根据方程利用三角换元设a＝6cosθ+6，b＝6sinθ，其中0＜θ＜π，从而结合三角恒等变换与三角函数的性质即可得a+b的最大值．【解答】解：双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)∵AB⊥F1F2，∴xA＝xB＝c，又A，B在双曲线上，则c2a2故A(c，b2由题意可得M，N分别为AF1，BF1的中点，如图：∵△MF1N的周长为24，∴△ABF1的周长为48，则|AF1|+|BF1|+|AB|＝48，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|+|BF1|﹣|BF2|＝4a，即|AF1|+|BF1|﹣|AB|＝4a，可得48-2b2a=4a+2b2a，整理得：12a＝a2+b2，∴（a可得0＜a＜12，0＜b≤6，则可设a＝6cosθ+6，b＝6sinθ，其中0＜θ＜π，∴a+b=6cosθ+6sinθ+6=62由于π4＜θ+故当θ=π4，即a=32+6，b=32故选：D．7．（5分）直线y＝x+1与x，y轴分别交于M，N两点，点P在圆C1：x2-2x+A．3+22 B．3-22 C．1+【分析】根据题设分析可得，要使△MNP面积最大，则PC1与直线y＝x+1垂直，进而得到PN⊥MN，|PN|=2【解答】解：由题，如图，由题可得M（﹣1，0），N（0，1），由圆C1：x2-2x+y2=0，则圆心C1（所以圆心C1到直线l：y＝x+1的距离为d=|1-0+1|则直线y＝x+1与圆C1相离，而点P在圆C1上，要使△MNP面积最大，则PC1与直线y＝x+1垂直，而kNC1=0-11-0此时N，C1，P三点共线，即PN⊥MN，则|PN|=d+r=2所以PM→故选：A．8．（5分）当x＞1时，关于x的不等式（2x﹣1）ex﹣a（x﹣1）≤0仅有两个正整数解，则实数a的取值范围是（）A．[4e32，3C．[52e3【分析】将不等式转化为不等式a≥(2x-1)exx-1，构造函数f(x)=(2x-1)exx-1【解答】解：当x＞1时不等式等价于：a≥设f(x)=(2x-1)则f'所以当1＜x＜32时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞32时，f′（所以a≥f（x）有两个正整数解2和3，则a≥f(3)a故实数a的取值范围是[5故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，点P，Q分别为A1B，CC1的中点，则（）A．PQ⊥AB B．PQ⊥平面A1BC1 C．PQ∥平面ABC D．BQ∥AC【分析】根据线面垂直性质可证明A正确，假设B选项成立，利用线面垂直性质得出矛盾可得B错误，利用线面平行判定定理证明可得C正确，假设BQ∥AC成立，结合已有分析得出矛盾，即可得D错误．【解答】解：由题意直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，点P，Q分别为A1B，CC1的中点，可取AB的中点为D，连接PD，CD，如下图所示：对于选项A，又因为点P，Q分别为A1B，CC1的中点，所以PD∥AA1，且PD=1又AA1∥CC1，AA1＝CC1，CQ=12CC1，所以PD∥CQ所以四边形PDCQ是平行四边形，因此PQ∥CD，又因为CA＝CB，所以CD⊥AB，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD，又AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面ABB1A1，所以CD⊥平面ABB1A1，因此PQ⊥平面ABB1A1；又AB⊂平面ABB1A1，因此PQ⊥AB，故选项A正确；对于选项B，假设PQ⊥平面A1BC1成立，则PQ⊥A1C1，由选项A中分析可知PQ∥CD，AC∥A1C1，因此可得CD⊥AC，显然不成立，因此假设不成立，所以PQ与平面A1BC1不垂直，故选项B错误；对于选项C，由选项A分析可知PQ∥CD，CD⊂平面ABC，PQ⊄平面ABC，所以PQ∥平面ABC，故选项C正确；对于选项D，取AA1的中点为E，连接QE，显然此时QE∥AC，若BQ∥AC成立，可知QE∥BQ，这与BQ∩QE＝Q矛盾，因此BQ∥AC不成立，故选项D错误．故选：AC．（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x（x﹣a）2在x＝1处有极大值，则（）A．a＝1 B．f（2+x）+f（2﹣x）＝4 C．若0≤x≤t时，f（x）的值域为[0，4]，则t的取值范围为[1，4] D．曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线与曲线f（x）有两个不同的公共点【分析】先利用极大值和导数确定f（x）＝x（x﹣3）2可判断A；再由三次函数的对称中心性质可得B；利用单调性可得C；由导数的意义结合切线方程可得D．【解答】解：函数f（x）＝x（x﹣a）2＝x3﹣2ax2+a2x，导函数f′（x）＝3x2﹣4ax+a2，由于f（x）＝x（x﹣a）2在x＝1处有极大值，所以f′（1）＝0，即3﹣4a+a2＝0，解得a＝1或3，当a＝1时，f′（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1），当13＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＜13时，f′（x）＞0；当x＞此时x＝1为极小值点，不符合题意，当a＝3时，导函数f′（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），当1＜x＜3时，f′（x）＜0；当x＜1时，f′（x）＞0；当x＞3时，f′（x）＞0，此时x＝1为极大值点，因此函数f（x）＝x（x﹣3）2，对于选项A，根据以上可得a＝3，因此选项A错误；对于选项B，由于f′（x）＝3x2﹣12x+9，令m（x）＝f′（x），那么导函数m′（x）＝6x﹣12，令m′（x）＝0⇒x＝2，因此函数f（x）的二阶导数关于点（2，0）对称，代入x＝2到f（x），那么可得f（2）＝2，因此函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，即f（2+x）+f（2﹣x）＝4，因此选项B正确；对于选项C，因为f（0）＝0，极小值f（3）＝0，极大值f（1）＝4，f（4）＝4，结合单调性可得当f（x）的值域为[0，4]，则t的取值范围为[1，4]，故C正确；对于选项D，由f（2）＝2，f′（2）＝﹣3，所以切线方程为y﹣2＝﹣3（x﹣2），即y＝﹣3x+8，联立f（x）＝x（x﹣3）2可得x3﹣6x2+12x﹣8＝0⇒（x﹣2）3＝0，解得x＝2，即方程有三重根，所以曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线与曲线f（x）有1个不同的公共点，因此选项D错误．故选：BC．（多选）11．（6分）已知函数fk(x)=cos2kx-sinA．函数f2（x）在[0，πB．函数g2（x）的最小正周期为π2C．函数y＝fk（x）的图像关于x=π4D．函数gk（x）的值域为[21﹣k，1]【分析】A：利用平方差公式、余弦的二倍角公式化简该函数的解析式，最后利用余弦函数的单调性进行判断即可；B：利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、降幂公式化简该函数的解析式，最后利用余弦函数的周期公式进行求解即可；C：利用关于直线对称的性质，结合诱导公式进行运算判断即可；D：先判断该函数的最小正周期，结合导数的性质判断该函数的单调性，进而求出函数的最值即可．【解答】解：A：f2当x∈[0，π2]B：g=1-g2（x）的最小正周期为2π4C：因为fk所以函数y＝fk（x）的图像不关于x=πD：gk当x∈[0，因为k≥2，且k∈N*，所以2k﹣2≥2，故sin2k﹣2x＜cos2k﹣2x，所以gk′（x）＜0，所以此时函数gk（x）单调递减，当x∈(π因为k≥2，且k∈N*，所以2k﹣2≥2，故sin2k﹣2x＞cos2k﹣2x，所以gk′（x）＞0所以此时函数gk（x）单调递增，所以有gk因为gk(0)=1，gk(π2)=1，所以因此当x∈[0，π2]时，函数gk（x）的值域为[2又因为gk所以函数gk（x）的周期为π2因此函数gk（x）的值域，也就是函数gk（x）在区间x∈所以函数gk（x）的值域为[21﹣k，1]，正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1+a5＝14，2a2+a3＝15，则S15＝330．【分析】根据已知条件求出等差数列的通项公式，再利用等差数列前n项和公式求解即可．【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1+a5＝14，2a2+a3＝15，则a1+aa1＝1，d＝3，所以an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．所以Sn则S15故答案为：330．13．（5分）2025的正因数有15个．【分析】由题意可得出2025＝34×52，即可求出2025的正因数个数．【解答】解：因为2025＝34×52，所以2025的正因数有：（4+1）×（2+1）＝15个．故答案为：15．14．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，满足2S＝a2﹣（b﹣c）2，若a2+b2=2tS，则【分析】先由正余弦定理和同角的三角函数关系结合题意得到cosA，sinA，再通过锐角三角形得到tanC＞34，故可得b【解答】解：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，满足2S＝a2﹣（b﹣c）2，整理可得2S＝a2﹣（b﹣c）2＝a2﹣（b2+c2）+2bc，根据余弦定理可得2bccosA＝b2+c2﹣a2，根据三角形的面积公式可得bcsinA＝2bc﹣2bccosA，即sinA＝2﹣2cosA，因为sin2A+cos2A＝1，所以4﹣8cosA+4cos2A+cos2A＝1，即5cos2A﹣8cosA+3＝0，解得cosA=35或cosA＝因为A∈(0，在锐角△ABC中，有C＜π2所以tanC＞根据正弦定理和两角和的正弦公式可得b=sinA因为tanC＞34，所以0所以35＜4因为a2所以根据余弦定理可得t==2设bc根据基本不等式可得2bc当且仅当2x=1x，即所以t的最小值为2⋅(故答案为：10-32四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过点（1，1），记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝f（n）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2n-3(an+1)(an+1+1)，数列{【分析】（1）先求出f（x）＝2x﹣1，问题转化为根据数列的前n项和公式求数列的通项公式；（2）先求出数列{bn}的通项公式，利用裂项求和法求Tn，即可证明．【解答】解：（1）由函数f（x）＝ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过点（1，1），可得f（1）＝a﹣1＝1，得a＝2，故f（x）＝2x﹣1，所以Sn当n＝1时，a1＝2﹣1＝1；当n≥2时，an上式对n＝1也成立，所以an（2）证明：由bn可数列{bn}的前n项和Tn由于n∈N*，故2n≥2，即得12故12-1故Tn16．（15分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，E为CC1中点，BC⊥AE．（1）证明：AC⊥BE；（2）若AC＝2A1C1＝2CC1＝4，BC＝3，求直线EB1与平面ABE所成角的正弦值．【分析】（1）利用线面垂直判定定理可证明AC⊥平面BCC1B1，再利用线面垂直性质可得答案；（2）建系，利用线面角的坐标运算公式可得答案．【解答】解：（1）证明：∵CC1⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，又BC⊥AE，CC1⊂平面ACC1A1，AE⊂平面ACC1A1，CC1∩AE＝E，∴BC⊥平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴BC⊥AC，又∵CC1⊥AC，BC⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，BE⊂平面BCC1B1，∴AC⊥BE．（2）由（1）知直线CA，CB，CC1两两垂直，分别以直线CA，CB，CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示：∵AC＝2A1C1，∴B1依题意得A(4，EA→设平面ABE的法向量m→则m→⊥EA→m取m→设EB1与平面ABE所成角为θ，∴sinθ=cos＜∴EB1与平面ABE所成角的正弦值为361317．（15分）有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元．某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人．设事件A＝“学生愿意报名参加答题活动”，B＝“学生为男生”，据统计P(A)=3（1）根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？性别男生女生合计不愿报名参加答题活动愿意报名参加答题活动合计200（2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为23（i）若答题活动设置n（n∈N*且n≥10）道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求n的值．（ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用X表示在本次答题的题目数量，求X的分布列和期望．参考公式与数据：χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【分析】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成2×2列联表，再计算出的χ2值判断即可；（2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则Y～B(n，23)，根据二项分布的概率性质建立不等式组即可求解；（ii）写出【解答】解：（1）∵P(A)=35，∴愿意报名参加答题活动人数为又∵P(B|A)=23，∴愿意报名参加答题活动的男生人数为愿意报名参加答题活动的女生人数为120﹣80＝40，则可得到2×2列联表为：性别男生女生合计不愿报名参加答题活动206080愿意报名参加答题活动8040120合计100100200零假设为H0：学生报名参加答题活动与性别无关，则χ2依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001；（2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则Y～则P(Y=k)=C假设最有可能答对题目的数量是10次，则P(Y=10)＞即：Cn解得14＜n＜312，又n∈N*（ii）X的所有可能取值为：1，2，3，4，P(X=1)=2P(X=4)=(∴X的分布列为：X1234P2329227127故E(X)=1×18．（17分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点为A，左焦点为F，焦距为43，△AOF的面积为6，点D（（1）求椭圆的离心率；（2）过原点O作圆D的两条切线OM，ON分别交椭圆于M，N．（i）若直线OM，ON的斜率都存在，分别记为k1，k2，求k1k2的值；（ii）求|OM||ON|的最大值．【分析】（1）由焦距得c=23，由△AOF面积得b=23，a2＝b2+c2＝（2）（i）直线与圆D相切，由距离公式得关于k的方程，结合椭圆方程，利用韦达定理求解即可；（ii）由k1k2，得y1y2=-14x1x2，代入椭圆化简得|【解答】解：（1）依题意得S△AOF所以c=23，b=23，故a2＝b2+c所以e=c（2）（i）依题意得圆D：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝8，椭圆C：因为点D（m，n）为椭圆上一点，所以m2直线OM：y＝k1x，ON：y＝k2x，与圆D相切，所以|k平方整理得k1，k2为方程（m2﹣8）k2﹣2mnk+（n2﹣8）＝0的两根，所以k1（ii）设M（x1，y1），N（x2，y2），由（i）知k1k2又y1所以144(1-整理得x1|OM|由基本不等式|OM|2+|ON|2≥2|OM||ON|，得|OM||ON|≤18，当且仅当|OM|＝|ON|时等号成立．所以|OM|•|ON|的最大值为18．19．（17分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝aex﹣x2．（1）求函数f（x）的最值；（2）讨论函数g（x）在（0，+∞）上极值点的个数；（3）设函数h(x)=f(x)+g(x)x，