公因式为多项式的因式分解课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级下册第2课时公因式为多项式的因式分解学习目标1.能准确找出各项的多项式公因式并进行因式分解。2.能运用整体思想进行因式分解。复习回顾确定公因式的一般步骤：1.多项式的第一项系数为负数时，先提出“-”号，注意提出“–”时多项式的各项要变号；2.公因式的系数是多项式各项系数的_____________；3.公因式中的字母取多项式中各项的____________；4.公因式中的字母的指数取各项相同字母的_________。最大公因数相同字母最低指数推进新课思考：下面的多项式有公因式吗？（1）m(y+x)-10(y+x)；（2）(3m+2n)(2m-n)-n(2m-n)；（3）a(x-3)+2b(x-3)；（4）3a(a-2b)+6b(a-2b)。y+x2m-nx-33(a-2b)公因式是多项式的形式，怎样运用提公因式法分解因式？例2

把下列各式因式分解：（1）a(x-3)+2b(x-3)；（2）y(x+1)+y2(x+1)2。解：（1）a(x-3)+2b(x-3)=

(x-3)(a+2b)（2）y(x+1)+y2(x+1)2=y(x+1)[1+y(x+1)]=y(x+1)(xy+y+1)小结1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式。2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。练一练1.把下列各式因式分解：（1）m(x2+5)-n(x2+5)；（2）ab(m-2)-a(m-2)。解：m(x2+5)-n(x2+5)=

(m-n)(x2+5)解：ab(m-2)-a(m-2)=

a(m-2)(b-1)例3

把下列各式因式分解：（1）a(x-y)+b(y-x)；（2）6(m-n)3-12

(n-m)2。解：（1）a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)（2）6(m-n)3-12

(n-m)2=6(m-n)3-12[-(m-n)]2=

6(m-n)3-12(m-n)2=

6(m-n)2(m-n-2)

在下列各等式右边的括号前填入“+”或“-”，使等式成立：(1)a-b=___(b-a)；(2)(a-b)2=___(b-a)2；(3)(a-b)3=___(b-a)3；(4)(a-b)4=___(b-a)4；(5)(a-b)5=___(b-a)5；(6)(a-b)6=___(b-a)6；(7)(a+b)=___(-a-b)；(8)(a+b)2=___(-a-b)2。-+-+-+-+你发现了什么？归纳①a-b=-(b-a)(a-b)2n=(b-a)2n(a-b)2n–1=-(b-a)2n–1②a+b=-(-a-b)(a+b)2n=(-a-b)2n-(a+b)2n–1=(-a-b)2n–1（n为正整数）练一练2.把下列各式因式分解：（1）(a+b)(a-2)+b(2-a)；

（2）a(m-n)2+2(n-m)2。解：(a+b)(a-2)+b(2-a)=

(a+b)(a-2)-b(a-2)解：a(m-n)2+2(n-m)2=

a(m-n)2+2(m-n)2=

(a+b-b)(a-2)=

a(a-2)=

(a+2)(m-n)2利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验？与同伴进行交流。思考·交流提公因式法因式分解的注意事项：1.当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数为正数，在提出“-”号时，多项式各项都变号。2.多项式有几项，提公因式后所剩的因式也有几项，由此可以检验是否漏项。3.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式先统一成相同的因式；若多项式各项中含有相同的多项式因式，则将其看成一个整体，不要拆开。如图，有三张不同型号的长方形卡片。尝试·思考ma+bbnna（1）你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗？a+bnma+bbnna（2）你能用这三张卡片拼成一个长方形吗？a+bm+n（3）依据（1）（2）拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解？你是怎样想的？a+bna+bm+nna+nb=n(a+b)na+nb+m(a+b)

=(m+n)(a+b)ma+bbnna随堂演练1.将3a(x-y)-9b(x-y)用提公因式法进行因式分解，应提的公因式是（）A.a-3bB.x-yC.3(x-y)D.3x-yC2.把下列各式因式分解：【教材P116随堂练习T1】（1）x(a+b)+y(a+b)；（2）3а(x-y)-(x-y)；（5）2(y-x)2+3(x-y)；（6）mn(m-n)-m(n-m)2。（3）6(p+q)2-12(q+p)；（4）a(m-2)+b(2-m)；=

(x+y)(a+b)=

(3а-1)(x-y)=

6(p+q)(p+q-2)=

(а-b)(m-2)=

(x-y)(2x-2y+3)=

m(m-n)(2n-m)3.先因式分解，再计算求值：(x+2y)(x-2y)-(2y-x)2，其中x=2，y=-1。解：

原式=(x+2y)(x-2y)-(x-2