2025-2026学年下学期黑龙江绥化高三数学3月开学考试卷（含答案）

秘密★启用前2026届高三入学素养测试数学试题考试时间:120分钟满分:150分注意事项:1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。1.已知集合A=x∣x2A.{−1}B.{−1,2.复数z=12A.15B.−iC.-13.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点为F1,F2,上顶点为A.22B.32C.14.在△ABC中,AC=3,BC=2,B=π3,∠A.32B.233C.5.若函数fx=a2x+b,xA.-1B.0C.1D.26.若tan2θ=43−A.−25B.25C.7.已知函数fx的定义域为R,y=fx+ex是偶函数，A.73C.103D.8.如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E、F分别为线段DM的三等分点，点N为线段AF的中点，过点N的平面α与棱AB、AC、AD分别交于O、P、Q,设四面体AOPQ的体积为A.14B.18C.1二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知数据x1,x2,x3,…,xn的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是a1=2,b1,c1A.a2=3a1−10.直线y=1与函数fx=2sinωx+πA.ω的取值范围是1,43B.fxC.fx在0,π4上单调递增D.若BC11.x∈0,A.x1+x<lnx+三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知同一平面内的单位向量e1,e2,e3，则e1−e2⋅e3的最小值是_____；若13.成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”、“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”、“扬辉”两个分会场(每个分会场至少安排一人).若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有_____种.14.已知抛物线C:y=ax2的焦点为0,1，直线y=2x+t−3<t<6与C四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本题满分13分)已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，且过点P4(1)求双曲线的方程；(2)直线l:y=kx+2与双曲线C的左支交于A16.(本题满分15分)如图，三棱台ABC−A1B1C1中，侧面四边形庚ACC1A1为等腰梯形，底面三角形ABC为正三角形,且(1)若D为棱A1C1的中点，求证(2)若三棱台ABC−A1B1C1两底面间的距离为3，且侧面ACC1A1⊥底面ABC，试探究是否存在点D，使直线BD与平面BC17.(本题满分15分)记Sn为数列an的前n项和,已知Sn=n2,数列(1)求数列an(2)证明:数列bn+(3)求数列n+bn⋅an18.(本题满分17分)某图书馆的图书归位推车供馆员循环使用，需按日借阅总量确定当日需启用的推车数量(数量匹配工作量，避免不足或闲置)，保障图书整理效率，对应规则及往期统计数据如下表:日借阅总量X/X3006001200X日启用推车数量T/辆48142026往期统计数据显示,该图书馆日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率分别为0.15,0.35,0.7,0.95.(1)求该图书馆一个工作日的日启用推车数量T的期望.(2)该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率均降低0.05,如概率降低后,日借阅总量不高于300本的概率为0.10,据此求解以下问题:(i)求未来10个工作日中,至少有2天日借阅总量不高于600本的概率.0.710≈0.028,结果精确到0.01(ii)该图书馆拟调整推车启用方案:日借阅总量不高于1200本时，仅启用6辆推车；日借阅总量高于1200本时,统一启用26辆推车.若每辆推车单日运维成本相同,19.(本题满分17分)已知函数fx(1)若fx的图象在x=1处的切线方程为3x−y+(2)讨论fx(3)若a=2，证明:2026届高三入学素养测试数学试题参考答案与评分标准题号1234567891011答案BADBCADCCDACDABD三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.【答案】-2;2.(答对一空得3分)(1)根据题意得e1=e2=e3=1,设e则e1由e1−e2≤e1+e2=因为当θ=π时,cos所以当e1、e2的方向相反,且e1−e2与(2)设e1+e2+e3=−e4由e1+e2与e3不共线,可知e1根据e1、可知e1、e2、由xe1+ye2+ze3=0,可得ye2=−xe1−ze13.【答案】88.按照甲,乙是否在“传奇”主会场划分情况:①甲，乙都不在主会场，从甲，乙外的四人中选三人去主会场，再将甲，乙安排去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，且一人去一个分会场，剩下一人可以去“传承”，“扬辉”两个分会场，有C43②甲，乙有且只有1人在主会场，需要在除甲，乙外的四人中选两人去主会场，剩下的三人去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，有C21根据分类加法计数原理,共有C2114.【答案】4030抛物线C:y=ax2的标准方程为则14a=1,可得a=14,所以抛物线设点Ax1,y1、Bx2,y2Δ=64+16t=16t+4>0,则x1+x所以S△令ft=t−62t+4当−3<t<−23时,f′t>0,函数ft单调递增,当所以ftmax=f−23=4000四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(1)根据题意可设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0,由e=ca=1(2)联立x26−y26=1y=kx+2，可得1−k2则根据题意可得Δ=2所以k的取值范围为1,216.(1)证明:如图:取AC中点O，连接OB，OD，因为四边形ACC1A1为等腰梯形,且D为A1C1中点,所以AC⊥OD1OB,OD⊂平面BOD,OB⋂OD=O又BD⊂平面BOD,所以AC⊥(2)设A1C1中点为E，连接OE，则又侧面ACC1A1⊥底面ABC，侧面ACC1A1C底面ABC所以OE⊥底面ABC5又AC,OB⊂底面ABC,所以又OB⊥AC,所以OA故可以O为原点，OA,OB,OE所在的直线分别为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系……7分因为三棱台ABC−A又三角形ABC为正三角形,且AC=则B0,23,则BD=a设平面BCC1B1的法向量为n=可取n=3设直线BD与平面BCC1B1则sinθ=由3×a所以3a+11a−1=0,故a=1或a=−113(因为所以当D与A1点重合时,直线BD与平面BCC1B117.(1)由Sn为数列an的前n项和,Sn=n2当n≥2时,a上式对n=1也成立则数列an的通项公式为an(2)证明:由bn满足b1可得bn+即有数列bn+n是首项为1,公比为2(3)由等比数列的通项公式，可得bn+又an=2n−1设数列n+bn⋅an的前Tn=2Tn相减可得−Tn即有Tn=18.(1)题意得PX≤300=0.15,P300<X(2)(i)该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于600本的概率降低0.05,得PX≤600=0.35−0.05=0.38分设未来10个工作日中，日借阅总量不高于600∴P故未来10个工作日中，至少有2天日借阅总量不高于600本的概率约为0.8512分(ii)该图书馆新增自助借阅机并开放晚自习借阅时段后，日借阅总量不高于300本、600本、1200本、1800本的概率均降低0.05,得PXP1200<此时日启用推车数量T的数学期望为:E1T若日借阅总量不高于1200本时,仅启用6辆推车,日借阅总量高于1200本时,统一启用26辆推车,则此时日启用推车数量T的数学期望为:E2T=6×0.65+26×0.3519.(1)因为函数fx=x2−alnx−1a∈R,所以f所以f′1=2−a所以fx=x2+lnx即3+b=0,解得(2)由题意得fx的定义域为0当a≤0时，f′x>0,fx在0,+∞上单调递增，又f1=0，所以fx有且仅有一个零点易知在0,a2上,f′x<0,则在a2,+∞上,f′x>0,则fx又fa2<f1=0,fe−1a=e−2a>0,所以fx在0,当a=2时,令f′x=0,解得x=1,易知在0,1上,f在1,+∞上,f′x>0,则fx故fx的最小值为f1=0,故fx仅有一个零点9分当a>2时,令易知在0,a2上,f′x<0,则fx所以fx在0,a2上有一个零点1,在