2026年高考数学二轮复习 模块八 概率与统计（天津）解析版

模块八概率与统计

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（）

6oy、N、N卜

5o60-60・・：・60-•

4o50-W,50・•・・so•••••

3o40-・：•40.*40

2o30•：..30-・•・•.・30•:・・

2020

1o-••20••••:•

10•1.10f・•10

-111111

-OII1।।।»1I1111.

102030405060O102030405060xO102030405060xO102030405060

图①（相关系数H）图②（相关系数/2）图③（相关系数勺）图④（相关系数〃）

A.4B.弓C.4D.q

【答案】B

【详解】由散点图知，相关系数〃对应的散点图呈负相关，且线性相关性比较强.

故选:B.

2.下列结论中错误的是（）

A.在I可归模型中，决定系数露越大，则回归拟合的效果越好

B.样本数据冽+1,2A-2+1,A,2%+1的方差为8,则数据为，x2,A,%的方差为2

C.若随机变量X服从正态分布N（3,/）,且p（XK4）=0.6,则P（3<X<4）=0.2

D.具有线性相关关系的变量孙歹，其经验回归方程为>0.4XT〃，若样本点中心为（6,3）,则〃?=-5

【答案】C

【详解】对于A选项，决定系数R2越大，回归模型的拟合效果越好，故A正确；

对于B选项，样本数据2$+1,2X2+1,A,2%+1的方差为8,

则数据不，x2,A,玉的方差为x8=2,故B正确；

对于C选项，•.♦随机变量X服从正态分布X〜N（3,〃），.•.均值〃=3,

・•.E态曲线的对称轴为x=3,

（X44）=0.6,/.P（y>4）=1-0.6=0.4,

由对称性知，P（>3）=0.5,/.P（3<^<4）=0.5-0.4=0.1,故C错误：

对于D选项，经验回归方程过样本中心点，将（私3）代入j=0.4xT〃中得，

3=0.4m-m,解得m=-5,故D正确.

故选：C

3.下列说法正确的是（）

A.一组数据1,1,2,3,5,8,13,21的第6（）百分位数为4

B.设丫〜N0”）且尸（丫<0）=0.2,则P（l<Y<2）=0.2

C.在回归分析模型中，若决冠系数改越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差

D.两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数，•越接近于1

【答案】C

【详解】对于A,因为Xx60%=4£,所以数据的第60百分位数为5,故A错误：

对于B,因为且p（y<o）=o.2,则/丫>2）=P（y<o）=o.2,

所以尸（lvYv2）=/（1>1）一尸（丫>2）=0.5—0.2=0.3,故B错误;

对于C,在回归分析模型中，若决定系数斤越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越差，故C正确.

对于D,两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数，,的绝对值越接近于1,故D错误；

故选：C

4・新考淑下列说法正确的有（）

①数据2,3,5,7,11,13的第75百分位数为11,中位数为6；

②•组数据的标准差为0,则这组数据中的数值均相等；

③若随机变量€，〃满足〃=34-2,则E（〃）=3E《）-2,。⑻=9。⑷-2；

④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医

院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】①：由6x75%=4.5,得第75百分位数为第5个数，即11,中位数为芸=6,故①正确.

②：根据标准差定义，一组数据％,与，…，匕的标准差

（「煮y+…+4尸尸H二0时，

显然有X]=占=…=X”=X，故②正确.

③：若随机变量〃满足〃=34-2,则E（〃）=E（3>2）=3国5）-2,

。何）=。矮-2）=9。（/,故③错误;

@：一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队,

3624

男医生5x=3人，女医生5x=2人,

36+2424+36

现将这5人分配去三个医院指导工作，

每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，且女医生去同一个医院,

三个医院人数可以为3,1/，共有C；C；A；=18种分配方式；

三个医院人数可以为2,2,1,共有C；C；A；=18种分配方式；

综上，共有36种分配方式，故④正确；

故选：C

5.某产品的研发费用x万元与销售利润y万元的统计数据如表所示,

研发费用x（万元）4235

利润y（万元）492639m

根据上表可得回归方程.？=米+3中的3=9.4.据此模型预计研发费用为6万元时，利润为65.5,则2〃?二

)

A.a=9.4,/n=52B.力=9.1,/〃=53

C.G=9.1,/〃=54D.4=9.2,〃？=54

【答案】C

【详解】由题意：9.4x6+3=65.5=3=9.1.

所以S=9.4x+9.1.

切的-4+2+3+57-49+26+39+机114+w

又由已知数据，x=---------=-,y=-----------------=---.

4244

乂§=9.4x+9.1经过（元刃，所以9.4x：+9.1=^!^*n〃?=54.

所以£=9.1，〃?=54.

故选:C

6.已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm?）数据为:9.8,10.0,10.0,10.0,10.2,乙种杂交水稻

近五年的产量（单位：t/hm2）数据为:9.6,9.7,10.0,10.2,10.5,则下列结论中正确的是（）

A.甲种的样本极差大于乙种的样本极差

B.甲种的样本平均数小于乙种的样本平均数

C.甲种的样本方差大于乙种的样本方差

D.甲种的样本第6（）百分位数小于乙种的样本第60百分位数

【答案】D

【详解】对于A,甲种的样本极差为10.2-9.8=0.4,

乙种的样本极差为10.5-9.6=0.9,

所以甲种的样本极差小于乙种的样本极差，故A错误；

对于B,^,=-(9.8+10.0+10.0+10.0+10.2)=10,和=-(9.6+9.7+10.0+10.2+10.5)=10,

55

所以甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数，故B错误；

对于C,因为甲种的样本平均数与乙种的样本平均数均为10,

甲种的样本方差为%="二吗吐®=0.016，

(9.6-10)2+(9.7-10)2+(10.2-10)+Q0.5-10j

().108，

5-

所以甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故C错误;

10.0+10.0

对FD,因为60%x5=3,故甲种的样本第60百分位数为=10.0,

乙种的样本第60百分位数为3等工=10」,

所以甲种的样本第60百分位数小于乙种的样本第60百分位数，故D正确.

故选：D

7.下列说法中，错误的有()

①回归直线/=八+3恒过点(元京，且至少过一个样本点；

②根据2x2列联表中的数据计算得出Z2>6.635，而尸(犬>6.635)«0.01,则有99%的把握认为两个分类变

量有关系，即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误：

③在做回归分析时♦，可以用决定系数R2刻画模型的回归效果，若配越大，则说明模型拟合的效果越好；

④某项测量结果4服从正态分布可(1,尸)，若。传45)=0.81,则尸《工一3)=0.19

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【详解】刈于①，回归直线3=京+£恒过点(元刃，不一定过样本点，故①错误；

对于②，根据2x2列联表中的数据计算得出/26.635,而P(/26.635b0.01,

则有99%的把握认为两个分类变量有关系，

即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，故②正确；

对于③，在做回归分析时，可以用决定系数代刻画模型的回归效果，

若火2越大，则说明模型拟合的效果越好，故③正确；

对于④，某项测量结果，服从正态分布N(L〃),若尸(晨5)二(⑻.

则P（^<-3）=P（^>5）=l-P（^<5）=0.19,故④正确.

可得四个命题中，错误的有1个，故A正确.

故选：A

8.近年来，我国云计算市场规模持续增长.某科技公司云计算市场规模V与年份代码x的关系可以用模型

y=cl（T拟合，设z=lgp,2018年至2022年的数据统计如表所示：

年份2018年2019年2020年2021年2022年

年份代码X12345

云计算市场规模N72071200510

z=1敢0.851.31.852.32.7

若根据上表得到经验回归方程1=0.5x+lgc,则该科技公司2025年云计算市场规模约为（）

A.IO18B.1043C.1048D.105J

【答案】B

_1+2+3+4+5._0.85+1.3+1.85+2.3+2.7,

【详解】由题表知,x=------------=3,z=-----------------------=1.8o,

将〒=3,三=1.8代入回归方程2=0.5x+lgc,可得1.8=0.5x3+lgc,

即lgc=1.8-0.5x3=03,所以z关于x的回归方程为2=0.5x+0.3,

2025年时即当x=8时，z=0.5x8+0.3=4,3=lgy,此时y=1043.

故选：B.

以新思维|为了抒写乡村发展故事，展望乡村振兴图景，演出民众身边日常，唱出百姓幸福心声，某地

组织了“美丽乡村”节目表演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，若要求歌曲和戏曲

节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，则节目的排列顺序种数为（）

A.120B.360C.18（）D.90

【答案】A

【详解】因为歌曲和戏曲节目相邻，所以先用捆绑法视为同一个元素，共A：种排列顺序；

歌曲和戏曲都在.器乐节目前面演出，可视作两个元素顺序固定，其余三个元素补全5个空位，共A：种排列

顺序，

所以满足题意的排列顺序种数为A；A；=120,

故选：A.

第n卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

10.求+卡)的展开式的常数项为

【答案】18564

【详解】由(9x+卡)，二项展开式的通项为酊=/(外广［e］="3363.J吟,

令18-5「=(),解得厂=12,

故二项展开式的常数项为几=C>33ii2.广刎=c：j=18564

故答案为：18564

11.将一次考试所有学生的成绩，制成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在［50,60),第二组成绩在

［60,70),第三组成绩在［70,80),第四组成绩在［80,90),第五组成绩在［90,100］,估计本次考试成绩的众数

为:若本次考试共20人参加，现计划从分数低于70分的同学中随机抽取2人谈心，求2人分数

都在［60,70)的概率为.

【详解】由频率分布直方图，得(2a+3a+7〃+6〃+2a)xlO=l,因此“=0.005：

由频率分布直方图可知众数为75分.

低于70分的同学的频率为(0.01+0.015)X10=0.25，则低于70分的同学应抽取20x0.25=5人，

其中成绩在［60,70)的人数为20x0.015x10=3人，记这3人为4仇C,

成绩在［50,60)的两位同学记为a,b,

从5人中任取两人有ab,a4,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC,共10种取法,

其中2人分数都在［60,70)的取法有3种，

所以2人分数都在［60,70)的概率为本

故答案为:75分;余

12.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，旦在各路口遇到红灯的概率分别

为!，；，：.设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，则随机变量X的数学期望为.

【答案】蔡13

【详解】随机变量X的所有可能取值为0,123,则:

P(Y=0)=(l-l)x(l-l)x(l-l)=l,

P(^=l)=1x(l-l)x(l-i)+(l-l)Xlx(l-l)+(l-l)x(l-l)xl=H,

P(Y=2)=(1-—)x—x—+—x(l--)x—+-!-x—x(l--)=—

'72342342344

1

P(X=3)=-x—x—=

,,23424

所以随机变显X的分布列为

X0I23

111

P\_\_

424424

随机变量X的数学期望E(X)=0xt1X9+2X：+3X£=*

故答案为：—.

13.举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一

次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是:，且每次试举相互独

立，互不影响，设试举的次数为随机变量X,则X的数学期望石(')=：已知甲选手挑战成功,

则甲是第二次举起该重量的概率是.

【分案］-12--

【口某】9S19

【详解】依题意随机变量X的可能取值为1、2、3,

则P(X=l)=g;

所以随机变量X的概率分布为

X123

124

rn

399

所以随机变最X的期望为5(X)=lx：1+2x]7+3x]4=]19.

记”第i次举起该重量”分别为事件4,『二1，2,3,“甲选手挑战成功”为事件8,

则P(4)=l—=—[=S，

,一、/一、(\\12

p(例)=p(4M)=尸(4)尸(4)=卜]上§=§、

所以P(4W)=K=R

所以甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率为

故答案为：丁；

14.在下表的统计量中,有一个数值不清晰,用〃?表示.

Xi2345

y6.37.48.18.7m

已知表中数据的经验回归方程方=。+良同时满足：①过点(3,8)：②x每增加一个单位，V增加0.9个单位,

则用"：当x=6时，y=.

【答案】9.510.7

【详解】因为X每增加一个单位，y增加0.9个单位，即5=0.9，

因为经验回归方程i=，+加过点(3,8),所以8=AO.9X3，

故a=5.3，则y=5.3+0.9x；

1+2+3+4+5--6.3+7.4+8.1+8.7+tn30.5+tn

乂——5—=3,y=---------：---------=---，

代入:=0.9x+5.3,所以30；+*8,解得〃?=9.5,

当)=6时，y=0.9x6+5.3=10.7,

故答案为：9.5,10.7.

15.某校团委举办《在青春的赛道上，我们都是追光者》主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其

中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件力为“高一年级2

人不相邻”，事件8为“高二年级3人相邻”，则P(8|/l)=.

【答案】^/0.12

【详解】由题意，先将高二和高三年级的5个人全排列，有A；种排法，将高一年级2人进行插空，有A：种

排法，

所以事件A“高一年级2人不相邻”的排法有〃(⑷=A；xA港3600种排法.

将高二年级3人进行全排列，有A；种排法，再将高二年级3人看作一个整体，和高三年级的2人进行全排

列，有种排法，

排好后，将高•年级的2人进行插空，有A；种排法，所以事件.4c5共有A；xA；xA：=432种排法.

/.、n(AB)4323

所以，力=一——=—.

V17n(A)360025

3

故答案为：-7■

三、解答题：(本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(14分)近几年，新能源汽车的更新换代越来越引起人们的关注.某新能源车企想了解年轻司机与中老

年司机对新能源车和燃油车的喜好程度，随机抽取了1000名司矶，得到的2x2列联表如下：

偏好新能源车偏好燃油车总计

年轻司机300200500

中老年司机200300500

总计5005001000

(I)若从抽取的年轻司机中任选1人，求此人偏好新能源车的概率；

(2)依据a=0.()()1的独立性检验，能否认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联？

n(ad-be)2_.

附：州2=(a+b)(c+d)(a+o)(b+d),其中〃+

a0.010.0050.001

Xa6.6357.87910.828

【答案】⑴京32)能够认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联.

【详解】(1)由题意知年轻司机中，偏好新能源车的有300人，偏好燃油车的有200人,

所以从抽取的年轻司机中任选1人，此人偏好新能源车的概率为^^3三00二33(6分)

300+2005

(2)零假设为"。：司机对两种汽车的偏好与年龄无关,

1000x(300x300-200x200)2

由表中的数据，得/=■=40>10.828=x

500x500x500x500ooof

依据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断，。不成立,

所以能够认为司机时两种汽车的偏好与年龄有关联.（14分）

17.（15分）巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有10名教职工参加，其中有6名理科教师、

4名文科教师，为活动的需要，要从这10名教师中随机抽取3名教职工去买比赛服装.

（1）已知10名教师中有2名班主任，求抽取的3名中至少有1名班主任的概率;

（2）设X表示抽取的3名教师中文科教师的人数，求X的分布列及数学期望.

【答案】（1福⑵分布列见解析，期望为《

【详解】（1）由于10名教师中有2名班主任，则10名教师中有8名不是班主任,

若抽取的3名中没有班主任，则有种抽法，从10名教师中随机抽取3名教职工的方法有C；种,

故摘取的3名中至少有I名班主任的概率为0=1-3=K（7分）

jo13

（2）X的所有可能取值有：0,1,2,3,

C；C；601

p(x=0)=等号*(")=

12UOC；。1202'

P（2）=警噎=#-3卜咕41

C：o120-30'

故X的分布列为：

X0123

31

P_1_

621030

故期望为：E(y)=0xl+Ixl+2xA+3x^=|(15分)

18.（15分）在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队.比赛实行5局3胜制，根据

4

以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是

（1）求中国队以3:0的比分获胜的概率;

（2）设事件力="韩国队先胜第一局”，设事件8="中国队获得最终的胜利”，求P（8|4）；

（3）假设全场比赛的局数为随机变量X,在韩国队先胜第一局的前提下，求X的分布列和数学期望E（X）.

【答案】⑴林⑵言⑶分布歹现解析‘

【详解】（1）设中国队以3:0的比分获胜的事件为4,

则P（力）=（2鲁〈分）

（2）在韩国队先胜第一局的前提下，中国队获得最终的胜利有2种情况:

64

①中国队连胜3局，此时的概率为：

125

②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局,

此时概率为：住=欢.，14192

55625

所以「（租）喂+翳会”分）

（3）由题意知*=3,4,5,

则P（X=3）=p1

15,25

4II72

夕（X=4）=C；x《x『g+4

P（y）=C；xlxr41448

=5xcx-X-=---，

。\^/r'iir55125

所以¥的分布列为:

X345

P17248

25visT25

则E（X）=3x-!-+4xN_+5x&~=四.（15分）

'725125125125

19.（15分）司马光曾给自己的儿子写过《训俭示康》，谆谆行诫要崇尚节俭；毛泽东、周恩来等人，身

居高位，却一生过着俭朴生活艰难创业.脍炙人口的《悯农》，“助禾日当午，汗滴禾下土，谁知盘中餐，粒

粒皆辛苦这一字字、一声声包含了几千年来百姓的血汗和心声.为了传扬勤俭节约的美德，学校将举办一

场以《勤俭节约，从我做起》的演讲、朗诵比赛.所有参赛选手中有10名同学接受过主持人专业训练，其中

男生4人，女生6人，现从这10人中选出4人作为本次比赛的主持人.

（1）求主持人中至少有1名男生的概率：

（2）主持人中含有女生的人数为X,求随机变量X的分布列与数学期望.

【答案】（吟（2）分布列见详解；E（X）=]

【详解】（1）记事件小主持人中至少有1名男生，则事件）：主持人中都是女生,

可得尸（彳）=m=（，*）=1-叩）唔，

13

所以主持人中至少有1名男生的概率为（7分）

14

（2）由题意可知：随机变量X的可能取值为4,3,2,1,0,

则户(X=4)=皆■=/虫=3)=詈=2,P(X=2)=等］

L］0L/10Z1V/10/

134

尸(X=1)=辛rC4P(,x=0、)=［C°拒C=1

Iqo"210

可得随机变显X的分布列为

X43210