2026年高考数学二轮复习 体系建构（四）数列

（四）数列►对应学生用书PU5

数列分县递增数列（小〉4）、递减数列（4.1<4）、常数列（。”.产仇）、

一摆动数列、周期数列（4.尸an）

—1.可用叠加法、费乘法求通项公式的递推数列，也可以通过化常数列求

—2.等比差递推（最基础的）：a“产qQc+d（g,d为常数）=>antl-x=q（a„-x）

数列的概念艮通项公式一（拆项化等比、减根化等比，%满足x="+d;或a..La“=q（a「az）变等比）

-3.线性分式递推:a,.,=/匕=>」_=工•_L+'（取倒数变等比差递推）

a»*iPonp

,s]

占鸟>的关系------°产｛J：；;（具体应用时，要观熟是否可以合二为一）

1.定义：ac.i-a“=d（常数）；%+4.2="«.1

2.通项公式：a产a"（n-l）d,变式：a„=am+（n-m）d（特征是a“=pn+q）

从第m项开始成等差数列，要用变式写通项公式

等差数列3.求和公式：S“=3寸"）"=叫+]（n-l）d（特纪是，=4几2+即）

注意:｛争｝为等差数列（因为*=Qi+（n-l）f）

4.性质：（1）若Q,4,6成等差数列，则4叫做a,b的等差中项，显然4=等

l

（2）若m+n=p+q（m,几，p,q£N'），MJa„+a,=aP+a,;

若m+zi=2p(m,n,pCN*)»则册+4二%；,

（3）均匀分段的和构成的数列Se,52ksit&尸52m,…也是等差数列（公差为小，）

—1.定义：誓r（g为非零常数，a,#o）;a,an,2=a；»i

nl

2.通项公式：an=aiqt变式：1（特征是a产c・q°）

等比数列卜

3.求和公式：当方1时，Sn=na）;当gK1时，S„="a"）=*0国（特征是S“=/l（1-<f））

1一q1-q

I—4.性质：（1）若a,C,6成等比数列，则<；叫做Q,6的等比中项，显然a6=C2

（2）若m+e=u+”（m,n,utv€N*）»则ja产a—;

l

若m+n=2u（m,n,u€N*）,MJama,=a^

（3）均匀分段的和构成的数列S«,S2n-S.,SvSj…也是等比数列（公比为始），

（｛aj公比g=-l,m只能为奇数）

（和的表达式具有S“=（4〃+8）g--8的特征，由&,Sz可求出4,B）

—1.((an+b4｝的前。项和----写出等式(an+b)qn=(An+B)qH-lA(,n-1)+8W"(裂顶法)，则

可得S“=(An+B)q^-B

数列求和）裂项是关键，分子/8）可以用4,。..，及常数寸线性表示

2.分式数列tf•矍｝求和一观察Qe，Q…中，谁来以叶，与另一个的差等十分于/也）,

.qa「a..i_尸不。r如__1_______1_

qQM«.i-a”iQJamW-Q。."Q”尸

-3.含有周期数列四式的数列，根据周期并项法求和，^Ilaa=（-l）y（n）,a„=f（n）cos（ira）

[小题限时练4]

（单选题、填空题每题5分，多选题每题6分）

一、单选题

1.(2025・辽宁大连二模)已知等差数列｛册｝满足/+〃4+。6=3,〃3+。5+。7=9,则0+

。8=()

3

A.1B.-

2

C.4D.8

解析：选C.因为数列九｝为等差数列，且。2+。4+。6=3,43+05+07=9,所以3。4=

3,3〃5=9,解得。4=1,。5=3,所以+。8=。4+。5=4.

2.(2025•黑龙江大庆模拟)已知等差数列｛册｝的前〃项和为*,若S5=2S3,〃]+。8=

10,则公差1为()

A.iB.i

42

2

C.-D.1

3

解析：选C.由SS=2S3,则**=2义吟即5〃3=6〃2，

所以5(s+d)=66/2=5d=s,则ai=4d,

由ai+as=2ai+7d=15d=10,则d=马.

3

3.(2025•江西南昌二模)记S〃为等比数列｛册｝的前〃项和，若出+。5+。6=—3,s+〃8

+。9=9,则515=()

A.81B.71

C.61D.51

解析：选C.由题可知S3,S6—S3，S9-S6，S12-S9,5|5一§2成等比数列，

22

所以(S6—S3)=53(S9-S6),即(-3)=S3X9,得53=1,

则此等比数列的首项是1,公比是一3,那么Si2—S9=〃io+〃i1+。12=9X(—3)=—

27,

==

Si5—S\ici\3~\~CI\A~\~ci\5-27X(—3)=81,

所以Si5=1+(—3)+9+(—27)+81=61.

4.(2025•江西九江三模)九江银行,2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开

跑.此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划.计划

第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超

过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程（42.195公里）

后，保持这个周训练量直至训练结束.请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量

A.736公里B.724公里

C.692公里D.660公里

解析：选C.记第一周跑步量为0=2,则S4=2+4+8+16=30,所以前4周的跑步

量为等比数列，

所以。5=32,则00=32+5X2=42,々”=42+2=44,故第5周到第10周的跑步量

为等差数列，则生产=222,

第11周到第20周每周44公里，总和为440公里，所以小宝同学跑步的总量是30+

222+440=692公里.

5.（2025・湖北武汉模拟）已知等差数列｛%｝,｛匕｝的前〃项和分别为S”乙,若馅=

，则詈

2n+l匕4

解析：选D.因为等差数列｛4｝,｛g｝的前〃项和分别为S〃，T”,所以詈=口1

因为包=」一,所以可设S〃=加2,履（2九+1）,则S5—S4=9Z,。一73=15七

2TI+1

6.（2025•福建泉州模拟）已知数列｛g｝满足°2=2,，⑵=。2〃-1+2",他〃+1=。2〃+

cos（HTT）（nDN*）,则｛a"的第2025项为（）

A.210,2-2B.2,0,3-2

1OI2_o

解析：选B.由Cl2n=Cl2n-\H-2",则〃2=。1+2=2,可得=0,且。2〃+1+2〃+

cos(nil),

所以。3=々1I2IcosK,a^=asI22Icos2兀，ai=asI23Icos3兀，…，42025=02023I21

0,2+cos1012n,

2/1—012、

所以a2025=2|+***+2|0,2+cosK+COS2兀+…+cos1012兀=--------+(-1+1—1+1

1-2

-----1+1)=2133—2.

7.(2025.甘肃白银模拟)已知等比数列小｝前3项的积为27,则送十三的最小值为

()

A.&B.在

42

C.V3D.2V3

解析：选D.设等比数列的公比为g已知前3项的积为27,即0425=27.

因为4143=谈，所以0。2。3=谑=27,解得02=3,

所以ci3=a2q=3q,(14=&时=34

所以遽+工=(3q)2+<=9/+-!^22Mg2x-^=2A/3,

J722

a43q23(?7r3c?

当且仅当9靖=点，即靖=泰时取等号.

所以说+十的最小值为2心

8.(2025•江西九江二模)已知数列｛册｝满足：6/1=1,“,+]=*,则下列说法正确的是

Q九+3

()

A

A.6f|0_-_4-

B.an=2—n

C.｛斯｝有最大值

D.｛&J不是单调数列

解析：选C.设bn=an+1,则an=b,—\.

已知斯+|=寒'将。，产乩―1，。向="+1-1代入可得：。e一1=处冷=寒

%-2+b+2__217

可得nn

匕九+2匕n+2

两边取倒数9=空=:十三，即9—

加+i2%2bn0n+ibn2

又因为m=l,所以bi=〃i+l=2,则4=工，

%2

所以数列信｝是以之为首项，为公差的等差数列.

根据等差数列通项公式4=工+(〃-1)X!=卫，则/?„=-,所以atl=bn—1=--1.

bn222nn

当〃=10时，a\o=——]=所以选项A错误.

1055

由前面计算可知1W2一〃，所以选项B错误.

n

因为斯=々-1,当〃增大时，三减小，%减小，且〃一+8时，斯一一1,di=-—1=

nn1

1,所以｛an｝有最大值1,所以选项C正确.

由。〃=三一1可知，a^-an=--l-(--1)=---=^-<0,所以｛册｝是单调递

nltn+1\n)n+1nn(n+l)TL

减数列，所以选项D错误.

二、多选题

9.(2025•江西南昌三模)已知数列｛an｝的前〃项和为S〃,数列｛an+3｝的前n项积为

Tn，。1=1,。”+1—=则()

A.6/3=12B.Q〃=2〃+】—3

n(n+3)

C.S5=109D.T„=2~^~

解析：选BCD.因为0=1,Z+1—。〃=2〃+1,所以〃2—0=4,43—。2=8,解得。2=

5,。3=13,故A错误；

—aa—23

当“22时,4〃—Qi=(Qn—+九—1—Qn_2)H---b(a32)+(2^)=2+2

4(1—271-1)

+…+2'门+2〃=八------z=2n+,-4,则斯=2〃十】-3,且0=1也符合。〃=2〃+1—3,

1—2

故B正确；

55=的+痣+。3+。4+。5=22+23+…+26—15=暮-15=109,故C正确;

n(2+7i+i)n(n+3)

3+3=2"+1,则6=22乂23)<…X2〃+I=22+3+T“+I=2—2—=2^~f故D正确.

10.(2025•江苏南京二模)已知数列｛册｝中，6=3。〃-Q〃+i=—3%+1斯，)其前〃

O

项和为S”，则()

C.%D.Sio〈O

解析：选ABD.由“?一。〃+1=—3。,解〃+1,得二一一三=—3,

an+lan

所以数列，工］是以一3为公差的等差数列，而工=工+2乂（-3）,的=工，所以工=14,

得〃1=工，故A正确；

14

—=-+（-3）（/2-1）=17-3/2,得斯=」一,故B正确；

an%17—3n

1171，

令一=17—3/2=0,解得〃=—,对于=-----,42，〃3，〃4,。5为正，且依次递

an317—3n

增；〃6，。7,…，a〃为负,且依次递增，所以故C错误；

Sw=a｝+a2+-+aw=-14+-1+1-8+-5+-2-4710131411852258

----=0,故D正确.

1114

11.（2025•内蒙古呼和浩特二模）已知数列｛Q九｝满足0=1,〃2=10,且跖什2=。“+1行，

若记数列｛an｝的前〃项的积为为=lg（an・Qn+）｛g｝的前〃项和为工，则下列结

论正确的是（）

A.数列｛bn｝是等比数列

B.S〃=2〃-1

C.当〃为奇数时，

D.当〃为偶数时，7；=10—

解析：选ABD.对于A,由斯+2=。〃+1•碎，儿=lg（如必+i）可得/?〃+i=lg（a〃+「〃〃+2）=

但（。71+1以九+1,嫌）=也（嫌・W+i）=21g（册,册+i）=2为，

即4±1=2,又/?i=lg（a1a2）=lg（lX10）=1,

可得数列儿是以力=1为首项，公比为9=2的等比数列，可得A正确；

对于B,由选项A分析可知，可得B正确；

1—2

n

对于C,易知仇=lg(Qn,Qn+D=2"一'所以。〃必+1=1021；

当〃为奇数时，

12412n11=

。=042.。3・・・〃〃--原=0.(。2&3).....(Qn_i.Qn)=1X1()22X10X---X10

.-1

_2(1-42)2n-2

1021十23十…十2九—2=10]—4=10—,可得C错误；

对于D,当〃为偶数时,

=211232111

7；=^i-«2^3--^-i^=（a1-a2）-（a3^4）--（^n_1^n）10'X10"X-XIOr

n

=1。2。+22+...+2九-2=[0==]0—,可得D正确.

三、填空题

12.（2024•广东茂名模拟）在公差为正数的等差数列｛斯｝中，若0=3,。3,616,成等

比数列，则数列｛“7｝的前10项和为.

解析：设等差数列的公差为"，

由题意得位=〃3义%8,即（。|+5〃）2=（4|+24*%7]+7外，

22

因为公差大于零，解得d=3,4=一々舍），所以So=10X3+U坐X3=165.

82

答案：165

13.（2025•江西九江三模）如图，有一款合成2048游戏.游戏规则如下：在一个4X4的

方格中，游戏开始时，方格中会随机出现两个数字小方块，只能是2或4.手指向一个

方向（上、下、左、右）滑动，所有含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动

为止，滑动过程中相同数字的两个小方块相撞时数字会相加，称为一次合并运算.每

次滑动时，空白处会随机刷新出一个含有数字（只能是2或4）的小方块.当界面中最大

数字是2048时，最少合并运算的次数为.

2

416

8163264

1024512256128

解析：由题意可知算式1024+1024=2048只需出现1次，而算式中有2个1024,

故算式512+512=1024需出现21次，

算式256+256=512需出现22次，…以此类推，算式4+4=8需出现23次，

故每次出现的都是数字4,最少合并运算的次数是1+2+2?+…+28=IX（I—29）=29—

1—2

1=511.

答案：511

14.(2025・重庆三模)数列满足〃〃+1+(—1)%〃=3〃+1,则｛即｝的前100项和Sioo

解析：因为。“+i+(—1)an=3n+I,

①当〃为偶数时，

因为0〃+i+a“=3〃+1,所以斯+2一。”+1=3〃+4,所以。〃+«计2=6〃+5,

所以。2+。4=6义2+5=17,所以。6+48=6X6+5=41,

•••

所以。98+。100=6义98+5=593,

所以公+。4+…+0OO=RX(：；+593)=7625.

②当〃为奇数时，

因为an+i—。“=3〃+1,所以。〃+2+。〃+1=3〃+4,

所以斯+2+〃〃=3,

所以。1+。3=3,。5+。7=3,…，。97+〃99=3,

所以Qi+B+…+。99=25X3=75,

所以Sioo=〃i+42+〃3H---Faioo=(ai+。3H----agg)-\-(a2~\~ci4~\----F«ioo)—75+7625=

7700.

答案：7700

[大题规范练3]

(每题10分)

1.(2025•福建龙岩二模)已知数列｛册｝的前〃项和为S〃，且满足—)&=〃(〃+

1),〃£N*,0=1.

(1)求数列仅几｝的通项公式；

⑵若儿=(一1)〃•必让，求数列｛^｝的前〃项和Tn.

anan+l

解：(1)由九S计L(〃+1)S,=M〃+1),/I£N*,得宜一0=1,又0=1,

71+1n

所以数列｛手｝是首项为+=41=1,公差d=l的等差数列，

所以包=〃，即S〃=岛

n

22

当〃22时,an=Sn—Sn-i=n—(n—l)=2n—1,且m=l也满足,

所以斯=2〃一1,则数列｛Q九｝的通项公式为a〃=2〃-1.

（2）由（I）得知二2〃-1,

所以历尸（T）'高余丽=（一।叱L+六），

所以3—（1+以+（升十Q+升…+（T）"（看+*）=7+（—1）"表.

2.（2025・湖南邵阳三模）如图，过点P（0,0）作了轴的垂线交曲线y=lnx于点

。（1,0）,曲线在点Q处的切线/i交），轴于点修，再过点心作），轴的垂线交曲线y

=lnX于点。2，依次重复上述过程，得到一系列点：Pi,0i;Pi,。2；…；Pk,

Q；…;P”,。〃，记点Q的坐标为（必，yk）（k=1,2,…，〃），其中〃£N*.

（1）记Xl,X2，…，M，…，天?组成一个数列｛f｝,求｛&｝的通项公式；

（2）令S〃=|P1Q1I+|P2Q2I+…+I&QJ求证：SV含.

解：（1）因为y=lnx,所以y'=L因为y=lnx在yQ处的切线为人

X

所以切线"'的斜率左=V|==—,所以切线人的方程为y”=工（尢AA-）,

又因为点尸什］（0,）%+0在切线人上，所以玖+］一次=-1,即In/+1—In必=—"1,

所以In3=—1,所以2=3因为Q（l,0）,所以汨=1,

xkxke

所以｛工几｝是以为二1为首项，工为公比的等比数列，

e

n—1

©=eI-w.

=x23

⑵证明:5H=|P1Q1|+|P2Q2H-----l^nQnI>+x2+x3~t-------l~xw=1+e'+e+e

3.（2025•辽宁鞍山二模）记数列｛册｝的前〃项和为S〃,已知如+S,=2〃+|.

（1）证明：数列｛an-2｝是等比数列;

⑵求数列｛&J的通项公式；

(3)求数列｛几册｝的前〃项和Tn.

解：(1)证明：因为。“+*=2〃+｝

所以当n=\时，6/1=-；

4

当〃22时，。〃一|+5”-1=2(〃-l)+g,

所以斯—a〃-i+a〃=2,

即=1+-Cin-1，

又0—2=270,

4

Qn-2_1+/71-1-2_1

所以

%_「2限「22’

所以数列｛Qn—2｝是首项为%公比为3的等比数列.

(2)由⑴得诙—2得X©厂’需户1,

/1、九+1

所以斯=0+2・

71+1

©