2026年高考数学二轮复习：考点巩固检测练（三十四）随机变量及其分布

［课下巩固检测练(三十四)］随机变量及其分布

(单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题10分)

一、单选题

1.(2025.广东肇庆二模)小王数学期末考试考了90分，受到爸爸表扬的概率为点受到

妈妈表扬的概率也为假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概

率为()

A.-B.-

24

C.-D.1

4

解析：选C.记小王受到爸爸表扬为事件A,小王受到妈妈表扬为事件8,小王受到表

扬为事件小王同学受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立，则P(D)=1—P(A)・P(B)=

224

2.(2025•浙江台州二模)若随机变量X〜Ml，〃)，且P(XV0.9)=0.3,则P(1X7I

<0.1)=()

A.0.3B,0.4

C.0.5D.0.6

解析：选B.由|x-l|V0.l可得一o.lVX-1V0.1,即0.9VXV1.L

因为随机变量X〜N(l,/),且p(XV0.9)=0.3,

故P(|X—l|V0.1)=P(0.9VXVl.l)=l—2P(XV0.9)=l—2X0.3=04

3.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制(先胜4局者胜，比赛结

束)，已知每局比赛甲获胜的概率为j则甲第一局获胜并最终以4：1获胜的概率为

()

AA.—16B.—

243243

C.~D.-

8127

解析：选C.甲第一局获胜并最终以4：1获胜，说明甲、乙两人在5局比赛中，甲胜

了4局，输了1局，并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局，故概率为

4

cixp)xl=^.

6\37381

4.(2025♦湖南长沙二模)甲、乙、丙、丁四人同时对一目标进行射击，四人击中目标的

概率都为j目标被一人击中不会摧毁，目标被两人击中而摧毁的概率为g目标被三

26

人击中而摧毁的概率为3若四人都击中目标肯定被摧毁，则目标被摧毁的概率为

()

A.—B.i

168

C.-D.-

42

解析：选C.设击中次数为X,则X〜3(4,I),

所以P(X=2)=第(》=3,

P(X=3)=C*)4=OP(X=4)=C：(|)4=^

由全概率公式，得目标被摧毁的概率P=-X-+±X-+—X\=-,

166162164

5.已知随机变量j的分布列如表所示，若。(。+1)=|,则风?+1)=()

。一101

1

Pa-c

3

A.-B.-

33

C

-1%D.一氨]

解析：选C.由题意可得。+乙+c=l,即c=2一〃，

33

1?

则E(^=-\Xa+0X-+\Xc=c-a=--2a,

33

则00=6/(|-26/+1)12+1(|-26/-0)2+(|-6/)(|-2^-1)2=0(f+1)=|,

化简得-44+,+]="

即I2a2-Sa+1=(2a-l)(6a-1)=0,

解得或a=-

26f

则E©=—：或E©=5

则%+i）=E（a+i=T+1W或+1）=E©+1=抖1W.

二、多选题

6.(2025•湖南娄底二模)化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量

浓度差异，测量酸碱度pH值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差X

和乙小组进行的实验数据的淙差y均符合正态分布，其中x〜N(0.3,o.oooi),y〜

M0.28,0.0004),已知正态分布密度函数穴x)=^e3记x和y所对应的正

态分布密度函数分别为力(%),力(%),则()

A./(0.3)>及(0.28)

B.乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中

C.P(X<0.28)+P(X<0.32)=1

D.P(r<0.31)<P(X<0.31)

解析：选AC.由正态分布密度函数曲线可知，数据的标准差越小，数据越集中在均值

附近，峰值越大，反之，标准差越大，数据越分散，峰值越小.

对于两个小组的误差，甲组的标准差(7i=V0.0001=0.01,乙组的标准差8=

70.0004=0.02,

显然甲组的标准差更小，故峰值更大，数据相对乙组更集中，故A正确，B错误；

P(XV0.28)=P(XV"—2m)=P(X>4+2m)，P(XW0.32)=P(XW4+2m),

P(XV0.28)+P(XW0.32)=尸(X>〃+2G)+P(XW〃+2G)=1,故C正确；

p(y<o.3i)=p(r</z+^02)>p(y<^+^2)=-+-1p(1//-<T2<y<//+r72),

P(XV().31)=P(XV〃+s)=工+5(〃一

22

而对于任何正态分布都有P(Lt—O\<X</z+<Tl)=P(^—<72<y<//+(72)，

故P(YV0.3l)>P(XV0.3l),故D错误.

7.(2025•福建福州模拟)甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制，5局3胜制两种

方案.设每局比赛中甲获胜的概率为〃(0<〃Vl),且每局比赛的结果互不影响，则下

列结论正确的有()

A.若采用3局2胜制，则甲获胜的概率为p2(3—2p)

B.若采用5局3胜制，则甲以3：I获胜的概率为5P3(1—p)

C.若〃=0.6,则甲在5局3胜制中获胜的概率比在3局2胜制中获胜的概率大

D.若p=0.6,采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛局数为4局的可能性最大

解析：选ACD.对A：采用3局2胜制，甲获胜分为第一二局胜，第一三局胜，第二

三局胜三种情况，

最终甲获胜的概率为p2+2p?(l—p)=-2p3+3p』p2(3—2p),故A正确；

对B：采用5局3胜制，甲以3：1获胜，则甲前三局胜两局，第四局获胜，

故甲获胜的概•率为C初”-p)〃=3p3(l—p),故B错误；

对C：因为p=0.6,结合A项可知若采用3局2胜制，甲获胜的概率为丹=0.648,

若采用5局3胜制，甲获胜的概率为P2=()6+3X()6X().4+C幺)6X0.42X0.6=

0.68256>Pi,故C正确；

对D：因为〃=0.6,结合C项可知若采用5局3胜制，甲获胜的概率为2,

甲获胜的条件下，比赛局数X可取值为3,4,5,

由条件概率公式可得：P(X=3)=咏，P(X=4)=丝%，P(X=5)=丝丝至，故D

P?P?P?

正确.

三、填空题

8.某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目(其中只包含1个球类项目)，每位教

师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的

数量为X,则X的所有可能取值为,数学期望E(X)=.

解析：X的取值可能为0,1,依题意可知X服从超几何分布，

则p(X=0)=g=i,p(X=l)=警力

所以玖X)=0X1+1x|=|.

答案：0,1|

9.(2025•陕西西安二模)排球比赛实行“五局三胜制”(当一队赢得三场胜利时，该队获

胜，比赛结束)，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场

比赛甲队获胜的概率为争乙队获胜的概率为j则在这场“五局三胜制”的排球比赛

JO

中甲队获胜的概率为.

解析：命题可以转化为：即使某一队获胜三场，也照常进行后续的场次，直至五场全

部结束，最后获胜场次数多的队获胜.二者等效(区别仅在于胜负已定后，后续场次是

否真正进行).

此时，甲队获胜的概率即为甲队获胜场数不小于3的概率，即(|)5+仁义(|)4><：+

「3vCT/1\232+5x1^+10x819264

5\37\3724324381,

答案吟

四、解答题

10.(2025•辽宁锦州二模)甲、乙两人对比进行射击训练,共进行100个回合.每个回合

甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少都击中8环，统计资料显示甲占中8环，9环，

10环的概率分别为070.2,0.1,乙击中8环,9环，10环的概率分别为0.6,0.2,

0.2,且甲、乙两人射击相互独立.记第i个回合甲、乙击中的环数分别为孙孙i=

1,2,100.

⑴在某一个回合训练中，已知乙击中的环数少于甲击中的环数，求甲击中1()环的概

率；

(2)中心极限定理是概率论中的一个重要结论：若随机变量。〜网几，p),则当秋>5

且〃(1—p)>5时、j可以由服从正态分布的随机变量〃近似替代，且4的期望与方差

分别与〃的均值与方差近似相等.根据该定理，设满足)，,<»”•=1,2,…，100)的，值

有％个，利用正态分布估计kW24的概率.(结果保留小数点后两位)

附：(若(72),贝ijP〃一七0.6827,尸(〃一2(7<叩<〃+2。)七0.954

5,P(//-3cr<7；<//+3cr)^0.9973)

解：(1)设在一个回合训练中，乙击中的环数少于甲击中的环数为事件A,甲击中10

环为事件&则P(A)=0.2X0.6+0.1X0.6+0.1X0.2=0.2,PQ4B)=(0.6+0.2)X0.1=

0.08,

则所求概率为P(B|i4)=^^=—=0.4.

v)P(A)0.2

(2)由题意100个回合中，满足的i值有k个，由⑴知：k〜3(100,0.2),

所以E(k)=np=100X0.2=20>5,n(l-p)=100X0.8=80>5,

又。(k)=l()()X0.2X0.8=16,所以〃=20,kj/)(k)=4,

故〃〜N(20,42),〃+。=20+4=24,

由正态分布的对称性可知，估计kW24的概率为尸伏<24)=尸(〃</z+)^l-

-1--0-.-68-2-7^0.c84c.)

2

11.(2025•广东中山一模)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选

题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成规定：至少正确完成其中2道题

的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘

者乙每题正确完成的概率都是争且每题正确完成与否互不影响.

(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；

(2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？

解：(1)设甲正确完成面试题数为X,乙正确完成面试题数为匕

则X可取1,2,3,丫可取0,1,2,3,

则P(X=1)=鬻=：,P(x=2)=管4P(X=3)=警=3，

所以甲正确完成面试题数X的分布列为：

X123

131

1———

555

E(X)=lXi1+2X-Q+3Xi1=2,

555

"=0)=cgx(9°x(J=3

p(y=i)=c[x|xG)2q

=2)=c2x(|)2xl=i,

p(y=3)=熊X(|)3XG)°=*

⑵由（1）得O（X）=^1X（l—2）2+-aX（2-2）2+iix（3-2）2=-o,

5555

1z\22z\24/、2o.、22

D（y）=^X（0-2）+|x（l-2）+（X（2—2）+^X（3-2）=|,

因为D（x）<o（y）,

所以甲的成绩更稳定，

所以甲面试通过的可能性大.

［创新题］

12.（2024.广东湛江一模）在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确

选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中

随机选取两个选项.设事件”=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同"，事件N=

“甲、乙两人所选选项完全不同"，事件X="甲、乙两人所选选项完全相同”，事

件丫="甲、乙两人均未选择B选项”,贝1）（）

A.事件M与事件N相互独立

B.事件x与事件y相互独立

c.事件M与事件y相互独立

D.事件N与事件丫相互独立

解析：选C.依题意甲、乙两人所选选项有如下情形：

①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同，

所以P（M）=若誉=|,尸⑻=黑=》尸（#=晶=3尸（丫）=鬻|=［,

因为事件M与事件N互斥，所以P（MN