2026年高考数学二轮复习：数列（高频考点）（天津）原卷版

专题03数列

内容概览

01命题探源•考向解密（分析近3年高考考向与命题特征）

02根基夯实•知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等）

03高频考点•妙法指津（4大命题点+6道高考预测题，高考必考•（15-20）分）

考点一基础运算类及性质应用类

命题点1等差、等比数列的基本性质与运算

命题点2数列通项公式的求解

高考预测题*3道

考点一求和方法类及简单综合类

命题点I数列前n项和的求解

命题点2数列的最值与单调性

高考预测题道

04好题速递•分层闯关（精选15道最新名校模拟试题+1。道高考闯关题）

不命题探源做考前解密

考点考向命题特征

1.基础运算类（小题核心）1.仅以小题形式出现（5分），题干简洁，计算量适中，不涉

聚焦等差、等比数列基本量及复杂变形，侧重公式的直接应用和运算准确性。

基础运算类及计算。2.围绕等差、等比数列的通项公式和前n项和公式设题，核心

性质应用类（32.性质应用类（小题常考）考查首项山、公差d/公比q、项数n、a。、Sn这五个量的“知

年3考）侧重考查等差数列前n项三求二”

和的最值（利用列正负分3.高频设置两个易错点：一是用心=与,0」求通项时,忽略验证

界或二次函数性质）。n=l的情况；二是等比数列求和时，遗漏q=l的特殊情形，需

分类讨论。

求和方法类及1.求和方法类（大题核心）1.仅以大题形式出现（15分），难度中等，计算量适中，不考

简单综合类（3必考分组求和（等差+等比技巧性变形，侧重对通法的掌握，是中档学生的必得分题型

年3考）数列组合）、错位相减法（等2.题干多以明确的等差、等比数列为载体，不设置通项求解的

差义等比型数列）；偶考裂隙碍，重点考查求和步骤的规范性。如错位相减时“乘公比一

项相消法，题型设计基础，错位相减f化简求和”的三步流程，步骤分占比高，即使结果

不涉及复杂构造。算错，写对公式和步骤也能得部分分

2.简单综合类（大题拓展）3.命题聚焦分组求和与错位相减法两大高频方法，极少涉及复

数列与函数、不等式浅度交杂裂项或倒序相加。分组求和针对“等差+等比”的复合型数

汇，如以函数解析式给出数列，错位相减法针对“等差义等比”型数列，题型辨识度极高。

列递推关系，或证明和式的

范围（放缩法为主，难度低）

句根基办实Uh加拥整合

【基础运算类及性质应用类常用结论】

1.等差数列中，公差为d,则

①若"cN',且〃?+〃=〃+q，则%+。“=%+%，

特别地，当m+〃=2p时am+4=2«/7.

②下标成公差为〃?的等差数列的项仇，见》，仆+.，…组成的新数列仍为等差数列，公差为〃以.

③若数列出｝也为等差数列，则｛见士”｝,｛与±耳,（hb为非零常数）也是等差数列.

④q+at+G，%+%+《，%+■+%，...仍是等差数列.

⑤数列｛后/“+可（久力为非零常数）也是等差数列.

2.等差数列｛4｝中，公差为d,则

①连续A,项的和依然成等差数列，即1，S”-，，S»-S”，…成等差数列，且公差为k2d.

②若项数为2〃，则S2”=，S科—S^=〃d,—=——

S快4”+1

③若项数为2〃-1,则S217T=（2〃-1）4，S奇=〃4，S胃=（〃一1）%,S奇一S例=6,3

%〃-1

3.设等比数列｛%｝的公比为,/

①若也小p,qeN.,Rm+n=p+q,则％•4，

2

特别地，当〃?+〃=2〃时am-an=af>.

②下标成等差数列且公差为〃，的项对，4.小。1.，…组成的新数列仍为等比数列，公比为

③若｛%｝,依｝是项数相同的等比数列，则｛.｝、｛%”」｝、｛0｝（〃是常数且心。）、｛：｝、!<｝（mwM，

，"是常数)、｛勺•2｝、｛?｝也是等比数列；

b“

④连续a项和(不为零)仍是等比数列.即s2,,s3,-s2,,…成等比数列.

4、等比数列｛4｝中，若项数为2%则连=夕；若项数为2〃+1,则\

s用s偶

若等比数列｛%｝的前〃项和为S”，则s“，s】­n，S3”—S?”…成等比数列(其中s〃，s2„-s„,s3fli…

均不为0).

若一个非常数列｛勺｝的前〃项和S“=Aq"_A〈Ao0,qW0,nsN、,则数列｛q｝为等比数列.

【求和方法类及简单综合类常用结论】

(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用

分组求和法，分别求和后相加减.

(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前〃项和.

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这

个数列的前〃项和即可用错位相减法求解.

(4)倒序相加法：如果一个数列｛/｝与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个

数列的前〃项和即可用倒序相加法求解.

常见的裂项技巧

模型1：等差型

(1)—!—=---(2)—!—=-(-—)(3)-4—=-(-------—)

n(n+1)n〃+1n(n+k)knn+k4/r-122//-12n+\

小1If•1111z11、

n[n+1)(/7+2)2[〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)Jn(n~-1)77(/7-1)(〃+1)2(〃-1)〃〃(九+1)

(6)—--=—1H-------------

4n2-14[(2〃+1)(2〃-1)

力3〃+14(/7+1)-(//+3)..11、，11、

(〃+1)(〃+2)(〃+3)(〃+1)(〃+2)(〃+3)n+2〃+3n+1〃+2

(8)n(n+1)=+DO?+2)--1)〃(〃+1)]

(9)n(n+1)(/?+2)=(同〃+1)(/?+2)(/7+3)-(??-1)/?(/?+1)(〃+2)]

I_\_]]

(10)

〃(〃+1)(〃+2)(〃+3)37+1)(〃+2)(〃+1)(〃+2)(〃+3)

2n+111〃+]111

(11)(12)22

〃2(〃+l)2n~(n+1)2*56n(n+2)~~4^~(n+2)

模型2：根式型

(1)[--i------7==\!n+1-\fn(2)]--1-----产=+k-而)

\/n+\+yJnyjn+k+\/nk

/c\11/7/T7、/“、I,117?(?/+1)+111

(3),-----,=—(x/2n+l-x/2/i-l)(4)Jl+—+---------=-------------=1+---------

\j2n-1+x/2n+12\rr(〃+l)'n[n+1)nn4

\jn2+2/?+1+Vn2-1+Vw2-2n+\

\n+1-\Jn-\(yjn24-2//+1+\ln:-1+yjn1-2,1+1)='"+'———

2

6)1_(〃+l)G-〃1〃+l_(n+\)\/n-n\Jn+\_11

(n+\)y/n+nyfnT\[(〃+1环1一(〃+/〃(〃+l)加CTT

模型3：指数型

T(2n+,-1)-(20-1)113"11

-----;----------------=；--------:---------=----------------：(2)---------------：=—z(-------------

(2e-1)(2”-1)-----(2向-1)(2"-1)-----2"-12"*'-I(3"-1)6-1)23"-13"

〃+2_2(〃+1)-〃_(21]J___1________1

〃(〃+1)2-«(/?+1)-2"-[一J'r~~n-2n-'~(/?+!)-20

⑷(4〃-1)319_1]=113向3~、

n(n+2)2(n+2)n2+2n；

(5)(2〃+1)(7)"(-1严

n(n+1)nn+\

/l1

(6)an=/?-3-♦设4“=5〃+/?)3"-["(〃-1)+力卜3"7,易得a=；,b=_；,

于是明=；(2〃—1)3"—；(2〃—3)•3"7

⑺(-1)“(〃2+4〃+2)2"(-'"(J+4〃+2)(T)”+〃+2(〃+1)+〃]

77.2M-(/?+1)2,,+,-n-(«+l)2H+1--n-(n+\)2n-1

=*；)"+(7)"(-I)"”

22n-T(/?+1)-2nd

S裔频考点Ilk快依相沐

考点一基础运算类及性质应用类

《解题指南》

解题步骤与技巧：基础运算类解题步骤：1.判类型：确定数列是等差还是等比，标注已知量。2.选公式：

等差数列选通项或求和公式；等匕数列选通项或求和公式。3.列方程：将已知量代入公式，构建关于ai、

d/q的方程（组）。4.解方程组：计算时优先消元，注意等比数列q#0的隐含条件。二.解题技巧：等差数

列遇“项的和“，优先用Sn=Ad+Bn（无常数项）快速判断：等比数列遇“项的积”，可取对数转化为等差数

列计算。等比数列求和必先判断q=】是否成立，避免直接套用好1的公式。三.易错题型等比数列求和忽略

的恃况，直接用分式公式第•步先验证时是否符合条件，多元方程求解计算失误，尤其是含分数/负数的

公比设为参数，消元后再计算：结果代入原式验证.

性质应用类解题步骤:1.找对称项：观察已知项和待求项的下标，判断是否满足m+n=p+q。2.用性质特化：

等差数列用am+a*ap+aq；等比数列用amayapaq。3.计算求值：转化后直接代入已知条件计算，无需求ai和

d/q,二.解题技巧等差数列中，若下标和为偶数，可转化为中间项的倍数；等比数列同理。

性质仅适用于两项和/积的对等关系，三项及以上需结合通项公式。

三.易错题型性质滥用下标不满足仍用性质先核对下标和，不满足则回归基础公式计算

等比数列符号问题忽略项的正负，直接用性质求积关注题干中的条件，无条件时需讨论符号

民命题点01基础运算类

【典例01］（2025・天津河西做拟预测）已知正项数列｛4｝满足一匚+—!—+-+」一+——=:，且0=4,

W2。2a344+13a“.|6

则3（）

A.27B.30C.33D.36

【典例02】（2025•天津北辰•三模）已知等比数列｛4｝的首项为1,公比为。，则数列的前

10项和为（）

A.15B.35C.45D.55

国命题点02性质应用类

【典例01】（2025•天津和平•三模）定义新运算：:）=ad-bc,已知数列｛/｝（〃wN）满足％=-14,

；=10〃，则（）

A.239B.225C.211D.261

【典例02】（2025•天津河北•二模）设，数列｛%｝的前〃项和，若S“+3=2a“+〃，则几=（）

A.3059B.2056C.1033D.520

修高考预测题

1.己知数列｛%｝的通项公式为。“=2〃-1,其前〃项和为S”，则数列的前2025项和为（）

2024x20252024x2025—2025x20262025x2026

A.----------R.-----------C.---------------D.------------

-32

2.正项等差数列｛风｝中，卬=1,则丁十丁的最小值为（）

9l

A.-B.5C.5\/2D.6

3.等比数列｛%｝的前〃项和为S”，且6+4=4,%+%=8,则56=（）

A.24B.28C.36D.48

考点二求和方法类及简单综合类

《解题指南》

解题步骤与技巧：（一）核心方法1：分组求和法（适用于“等差+等比”型数列）

1.解题步骤

1.拆分通项：将数列通项拆分为等差数列和等比数列两部分；2.分别求和：利用等差、等比数列前n项和

公式，分别计算；3.合并结果：数列的前n项和Sn。

2.解题技巧

拆分时注意系数提取，需保留各项系数再分别求和；等比数列求和务必先判断公比q=l的特殊情况。

（二）核心方法2：错位相减法（适用于“等差X等比”型数列）

1.解题步骤（标准模板，步骤分占比高）

1.写通项与和式：设数列a,前n项和Sn；2.乘公比错位：两边同乘公比q,将两式错•位对齐；3.相减化

简：中间项合并为等比数列求和；4.整理求Sn：提取Sn,最后整理成最简形式。

2.解题技巧错位相减时，对齐同类项是关键，避免因错位导致项数遗漏；计算中间等比数列和时，明确项

数（通常为项），防止公式套用错误。

（三）辅助方法：裂项相消法（偶考，难度低）

1.解题步骤

1.裂项变形：将通项拆为两项差的形式；2.逐项抵消：写出前n项和展开式，消去中间互为相反数的项3.合

井剩余项：剩余苜项和末项合并，得到Sn的最简式。2.解题技巧：裂项后可代入n=l,2验证变形是否正确，

避免裂项错误。

二、简单综合类解题指南

（一）核心题型人数列与函数交汇

1.解题场景：以函数解析式给出数列递推关系。

2.解题步骤

1.转化数列关系：将函数关系转亿为数列的通项或递推式，判断数列类型（等差、等比或特殊数列）；

2.求通项公式：利用等差、等比数列公式或基础方法（如累加法）求加；

3.解决后续问题：根据题干要求，进行求和或最值分析。

3.解题技巧：优先代入n=l,2,3计算前几项，辅助判断数列类型，

（二）核心题型2：数列与不等式交汇

1.解题场景：证明数列和式的范围。

2.解题步骤

1.求前n项和Sn：利用分组、错位相减等方法求出Sn的表达式；2.放缩变形：对Sn或通项进行适度放缩,

常见放缩方向：等比数列放缩：籽公比放大/缩小，转化为可求和的等比数列；裂项放缩：将通项拆分为更

易抵消的形式；3.证明不等式：通过放缩后的式子推导得出结论。

3.解题技巧：放缩尺度要适中，避免过度放缩导致证明失败：天津高考放缩难度低，多为基砒放缩。

国命题点01求和方法类

【典例01］（2025・天津•二模）已知数列｛%｝为等差数列，数列｛〃｝为等比数列，%=2q,瓦=曲,b2=a4t

且也,｝的公比是｛q｝公差的2倍.

⑴求数列｛4｝,｛4｝的通项公式；

,、b,.n=a..+b..

(2)若数列%满足q=A，。2=6,且当A22,c„=QI」

⑴求证：Xq>4+2；

（ii）求数列｛g｝的前为+4项的和s”.

【典例02］（2025•天津北辰•三模）已知等差数列｛〃.｝的前〃项和为s,r,满足：卬=3,公差"为整数且满

足用<9%+27,正项等比数列｛4｝满足:4=2也+打=为一

（1）求数列｛4｝,｛2｝的通项公式；

a“,n=2k-1

⑵设g=<（n］a”+〃+3_,其中awN*,求数列｛0｝的前2〃项和为Q；

COS7t**/I—ZK

（2｝S„bn

（3）定义y=d（〃）为除数函数，即它的函数值等于〃的正因数的个数，例如："（1）=1,"（4）=3,记

㈠严）（T严）㈠严）㈠严叫5>/2ZND

1）

她2她b力6b22Ati416

区命题点02简单综合类

【典例01】（2025・天津•二模）已知数列｛%｝的前〃项和为Z，若,勺=20-3〃，则S”的最大值

为•

【典例02】（2025・天津•模拟预测）设等差数列｛4｝的前〃项和是S”，前〃项积是7；,若及=3,&=6,

则（）

A.S,无最大值，3无最小值B.S,有最大值，7；无最小值

C.S,无最大值，7；有最小值D.S,有最大值，7；有最小值

修高考预测题

।7

1.在数列｛4｝中，々=-1,厂=：+3,〃61<,则通项公式"=()

1111

A-TB・门C.产D.不

2.在等差数列｛叫中，^=-2017,其前〃项和为S”，若生。=2,则§237=_______.

10O

3.已知数列｛%｝中，％=1,。用为奇数

4-3〃,〃为偶数

(1)求。2M3，。4的值;

(2)求证：数列卜2"是等比数列；

(3)求数列｛4｝的前2〃项和S%.

题速达皿台层闯关

国好题速递

1.(2025・天津•二模)已知等差数列｛4｝和等比数列｛4｝满足：％=4=1,"eN,%+4=18,b2b『8、

⑴求数列｛4｝和也｝的通项公式；

⑵求数歹"上|的前〃项和S“；

(3)已知白二去，数列｛%｝的前〃项和4,若对任意正整数〃，不等式•恒成立，求实数2的取值范

围.

2.(2025•天津武清・模拟预测)已知各项均为正数的等差数列｛%｝的公差d不等于0,卬=2,设/、%、

%是公比为q的等比数列低｝的前三项.

(1)求数列｛。1A｝的前n项和4:

(2)将数列｛4｝与也｝中相同的项云掉，｛牝｝中剩下的项依次构成新的数列｛%｝,设其前〃项和为S.，求

S2f「222+32』的值；

(3)设4=〃1〃，数列｛4｝的前〃项和为9,是否存在正整数办〃且1<〃?<〃，使得(、乙、依次

成等差数列，若存在，求出用的值；若不存在，请说明理由.

3.(2025•天津南开・模拟预测)”……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来,都还远远不及,因

为你们未来的可能是无穷尽这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”

命题如下:设集合4=｛2,1,8合,0｝,aneAfS”为数列｛%｝的前〃项和，若/(左=1,2,…⑼取/中每个数字

的概率相同.记P”(〃wN)为事件“S”等于奇数”的概率，当〃趋近于无穷大时，的近似值为〃，则().

_27212721

A.B.

PA625'P=3"=施，『

1441i14411

C.PAD.p,=------,P=—

3125'片531255

4.(2025•天津河西•模拟预测)已知等比数列｛%｝的前〃项和为S”，满足4-电=12,S4+2S2=353,数

列｛"｝满足〃+=〃(〃+1)，〃eN*,且［=1.

(1)求数列｛%｝,｛4｝的通项公式;

［专注？〃为奇数

(2)设］，9为匕,｝的前〃项和，求

〃为偶数

5.(2025•天津•三模)已知数列｛6,｝和｛a｝的满足q=4,4=2,%=2%+6“+2,%=次+%-2,

(1)(i)求4+4的值；

(ii)求f(〃；-")的值.

/=1

机C

⑵若数列｛%｝满足对于弘eN'也＜如＜4,求证：3meN*,使得Z，＞2025.

y%

6.(2025•天津•一模)已知等差数列｛%｝满足%+%=16,4=网，记数列｛〃“｝的前〃项和为S”.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一•阶“，拓展”.例

如，对于数列1,2,3,一阶77拓展”得到数列1,3,2,5,3；二阶“〃拓展”得到数列1,4,3,5,2,7,5,8,3；......设〃

阶“，拓展”得到数列…，毛设"=1+七+x?+…+(+3,则［=1+3+2+5+3=14,

&=1+4+3+5+2+7+5+8+3=38.

(i)求数列出｝的通项公式；

(ii)设数列｛cj满足%=12(4/7+5)求数列｛q｝的前2〃项和匕.

H一乙K,

7.(2025•天津•二模)数列｛%｝的项是由1或2构成，且首项为1,在第£个1和第k+1个1之间有2k-1

个2,即数列｛%｝为：1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,….记数列｛4｝的前〃项和为S.,则5?。=：

，025=-

8.(2025・天津河西・模拟预测)已知数列｛〃“｝的前〃项和5”=；(1-%),数列也｝满足2+2=3嗔黑，〃61<.

⑴求数列｛4｝和也｝的通项公式；

(2)数列｛%｝满足若%£：(〃/+〃?-1)对于一切〃6]<恒成立，求实数加的取值范围；

⑶设4=2血，在4和出之间插入1个数孙，使4，卬，4成等差数列；在4和4之间插入2个数孙，

“使小，孙，/2,4成等差数列；以此类推,在4和％之间插入〃个数%,%....怎“,使4,

Xn1»Xn2»…，Xnn»4+1成等差数列.若己=4+、|1+出+如+”22+"3**Xn]Xnn»求巴.

9.(2025・天津•二模)已知数列应｝是各项均为正数的等比数列，且4=2,%。4=日.对于任意及€1<，在

为和4+1之间插入k个数4，/2，…，X纹,使得可，孙，占2，…，加，%+|这A+2个数构成等差数列,

记新得到的数列为｛4｝.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记c*-，证明对于任意的〃€N',cn<cn+i；

⑶求£4(其中〃eN').

上=1

10.(2025・天津和平•三模)已知〃eN"等差数列｛q｝的前〃项和S.=1+〃，正项等比数列应｝的前〃项

和为7；,%=12,4=120.

⑴求数列｛4｝和也｝的通项公式；

(2)若q,=(4—1)("+]-1).

(i)不等式£<（-1）'/1（匕1＜）恒成立，求实数2的取值范围;

£=l

d(q+MT)

(ii)证明:

~^b~

11.（2025•天津滨海新•三模）已知等差数列｛%｝与正项等比数列也｝满足：%=b、=2,­仄=/.

⑴求｛4｝、｛£｝通项公式；

（2）若对数列应｝、也｝,在为与％之间插入4个2（%£N）组成一个新数列上｝,求数列前100项

和Zoo；

-a也,n=2k-\、“

（3）若d"=＜1（其中AeN"）,证明：

[4T

12.（2025•天津一模）已知数列｛卷｝和仇｝的通项公式分别为%=3","二〃,在"与久用之间插入数列｛%｝

的前刑项,构成新数列｛cj,即4吗也当,。2也,卬，。2，。3也,。1，出，。3,44也，.…记数列也｝的前〃项和为S”,

则'.=（）

i=i

A.3（）B.4944C.9876D.14748

,、tl„.|-a,52凡,、

13.（2025•天津南开•一模）若数列｛%｝满足q=2,%=1,且可+21"则可z｝的前2025

项的和为（）.

A.1350B.1352C.2025D.2026

14.（2025•天津•二模）已知也｝是一个无穷数列，“的＞卬”是“｛4｝为递增数列''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.允要条件D.既不允分也不必要条件

15.（2025•天津和平•一模）已知上项数列｛%｝的前〃项和邑满足则％=.

&高考闯关

1.《算学启蒙》是中国最早的科普著作.该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥

垛果子.每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，

给出了5层