2026年高考数学二轮复习：向量三大定理与四心（题型）（天津）解析版

专题10向量三大定理与四心

i目录

i

|第一部分题型破译微观解剖，精细教学

1他典例引领性方法透视他■变式演练

!【选填题破译】

!

j题型01重心及三角形的外接圆与外心

|题型02垂心及三角形的内切圆与内心

!题型03平面向量中等和线的应用

题型04平面向量中的最值（范闱）问题

i题型05平面向量的数量积运算

|题型06平面向量的投影、投影向量

!第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

【例1・1】（2025•天津•联考）在VABC中，。也。分别是角A8,C的对边，下列四个命题中正确的个数为（）

①若〃cosC+ccos8=〃，则VA5C是等腰三角形；

②若。=3,A=120。，三角形面积S=3&，则三角形外接圆半径为名叵；

3

③若点M为VABC内一点，且M+M/j+MC=0，则山小S.c=3：l；

④在VA4C中，8=60。,〃=指若VA3C有解，则〃的取值范围是0<aV

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】对①，利用正弦定理边转角及正弦的和角公式，得sinA=sin",即可求解：对②，利用三角形面

积公式及余弦定理求出，，再利用正弦定理即可求解；对③，取BC中点H,根据条件，利用向量的中线

公式得到三点共线，且|称卜2|函，即可求解：对于④，利用正弦定理，即可求解.

【详解】对于①，因为匕cosC+ccos2=7?.由正弦定理得sin4cosc+sinCeos5=sin2,

丹j以sin（^+C'）=smA=sm6,乂A,〃w（O,jr）,且4+8+C=TI,则A=B,所以①止确，

对卜②，由题知:从sinA=3G,又。=3,4=120。，所以;x3csin与=36,解得c=4,

=b2+c2-2/?ccos—=9+16-2x3x4x--1=37,得至l]a=67,

3\2J

又由正弦定理知一三=2「（其中「是三角形外接圆半径），

sinA

屈_而_./--7

所以二存一石一“，解得,〈M”，所以②错误，

sm^T3

对于③，如图，取中点〃，因为诉+而方+京C=0，又痛+就=2丽,

所以加+2丽=0,即磁=一2两，所以4"，”三点共线，且网|=2|丽（

乂AABCQMBC共底边4C,所以S,女：Ss8,wc=人〃：”〃=3：1,故③正确，

c%Z?sinAyfbsinA'仄..

对于④，由正弦定理知马"号，得到"=丁方=-

sinAsinBsin—

3

所以sinA=金，又因为VABC有解，又人£（0,1）,则OvsinA=Ewi,得到。＜々＜2灰，故④错误，

故选:B.

【例1・2】（2025•天津•联考）已知VABC的内角A,B,。所对的边分别为,下列四个命题中正确个

数是（）

①若sin2A=sin28,则VA5c定为等腰三角形

②若片+加一°2＞0,则VA3。一定是锐角三角形

③若点M是边BC上的点，月月+QAC\则△AMC的面积是V4BC面积的Q

JJJ

④若VABC平面内有一点O满足：OA+OB+OC=Qt且I1=|0•=|1,则VABC为等边三角形

⑤若方（器―盘）=丽（急—嵩）=0,则点。是VA8C的内心

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用诱导公式求解判断①；利用余弦定理推理判断②；利用向量线性运算判断③；利用三角形

心的向量表示判断④：利用向量数量积判断⑤即可得解.

【详解】对于①，在VA8C中，由sin2A=sin2B,得2A=25或24+28=兀，

即A=8或4+4=5,则VA3c是等腰三角形或直角三角形，①错误；

对干②，由"+从一/>0及余弦定理，得cosC=d+"亚>o,则C为锐角,

2ab

而48是否为锐角不确定，②错误；

对干③,由初=日而+：而.得加一通=：（衣一通）,即丽=：配.

JJJJ

一o一O

则CA/=：C从'MC的面积是VA8C面积的;，③错误;

JJ

对于④，由西+加+花=0,得。是v48c的重心,

由网=烟=|明，得0是VABC的外心，

即V4BC的重心、外心重合，则VABC为等边三角形，④正确;

।Tzpx।八「/ACAB.八“jc；AC八；AB

对十(5)，lljOA'(——---,)=0，得OA-—>=OA-

\AC\\AB\14cl|A4|

则cos(074.AC^=cos(oA..8),Q|JcosZ.OAC=cosZ.OAB,

则NQAC=ZOAB,即。4平分NBAC,

由。夙（BCBA

两一两）=0,同理得。4平分/ABC,

因此点。是VA3C的内心，⑤正确,

所以正确命题的个数是2.

故选：B

方法密视

一、三角形的四心定义

外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等;

内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；

重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；

垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；

二、三角形的重心

(1)三角形的重心是三角形三边中线的交点.

(2)重心的性质：

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.

重•要结论：(1)设点6是匕ARC所在平面内的一点，则当点。是4ARC的重心时，有嬴+森+正

或的=g(PA+而+PC)(其中P为平面内任意一点)；

(2)在向量的坐标表示中，若G、A、B、C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x,y)、

A(x「yJ、B(x2,y2),C(x3,y3),则有G(红亨士，弘士用五).

三、三角形的外接圆与外心

(1)外接圆；经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

(2)外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

注：①"接''是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而

一个圆的内接三角形却有无数个.

重要结论：若点。是^ABC的外心，则|GA|=|GB|二|阮|或

(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC=0；反之，若104|二|00|=|0。|或

(OA+OB)BA=(OB+OC)CB=(OC+OA)AC=0,则点0是^ABC的外心。

【变式1・1】(2024・天津•三模)已知三个不共线的向量次，而，历满足

“惋洞)二05■+厨(南南)=0,则。为"8。的()

A.内心B.外心C.重心D.垂心

【答案】A

【分析】利用向量的线性运算判断出冠,前,反分别在N8ACZA8C,N8C4的角平分线上，即可得出结论.

【详解】

B

D.

如图，取而=厨,外t二扃，则।而且而，通分别与荏，/同向,

ABCAABAC

同同徊一同=AD-AE=ED9

又“（儡+儡）=°"加二"'所以。

而VADE是以ED为底的等腰三角形，因此05在NBAC的角平分线上,

同理。反01分别在ZABC/8C4的角平分线上,

所以。为VABC的内心.

故选：A

【变式1・2】（2025•天津♦联考）已知VABC的内角4,B,C所对的边分别为mb,c,下列四个命题中正

确个数是（）

①若sin2A=sin28,则VA8C定为等腰三角形

②若-02>0，则VABC一定是锐角三角形

③己知团是两个互相垂直的单位向量，若向量；+《与属的夹角为锐角，则上的取值范围是（0,+动

④若弧（flABR尸RA

)=0瓦(=^—=^)=0,则点。是VA5C的内心

丽I阳|84|

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】利用正弦函数性质判断①；利用余弦定理判断②；利用向量夹角判断③；利用数量积的定义推

理判断④即可得解.

【详解】对于①，在VA3C中，由sin2A=sin2/L得2A=28或2A+24=兀，

即A=B或A+8=],则VABC是等腰或直角三角形，①错误；

对于②，由/+从-2>0,得cosC12+£—2>0,则。是锐角，

而无条件能说明氏A都是锐角，②错误；

对于③，当々=1时，向量。+A/与+02同向，其夹角为0，③错误；

对于④，由丽•（匹•一"）=0,得方・叁=丽幽，

IAC|\AB\\AC\\AB\

则cosNOAB=cosZ.OAC♦向N0A4,Z.OACe(0,it),卜是Z_OAB=Z.OAC,

04平分N3AC,由丽(=-^)=0,得08平分/ABC,

IBC|\BA\

因此点。是VABC的内心，④正确，

所以四个命题中正确个数是1.

故选：A

【变式1-3](2026•天津•月考)点0是平面。上一定点，A,B,C是平面。上VABC的三个顶点，NB,NC

分别是边AC,43的对角.有以下四个命题：

①动点P满足9=3+而+无，则VAKC的外心一定在满足条件的P点集合中；

②动点。满足。户=E+丸(2>0),则VA4c的内心一定在满足条件的夕点集合中;

uinuir

③动点P满足。P=0A+4-tttu——+utmU>0),则VABC的重心一定在满足条件的P点集合中;

ABsinBACsinC

④动点尸满足OP=OA+4PH——十|一|M>0),则VABC的垂心i定在满足条件的P点集合中.

(MCOSB|AC|cosCj

其中正确命题的个数为.

【答案】2

【分析】根据VA8C的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点、中线的交点、

高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误.

【详解】①当动点尸满足而=函+而+★=而=而十斤时，

则点。是VA3C的重心，所以①不正确；

ABAC

一+日在/AC的角平分线上，而衣与4MC的平分线所在向量共线,

所以VA4C的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确;

muuir

@OP=OA+A(4〉0)变形为八尸=〃

|Atf|sinB|AC|sinC

ABsinBACsinC

而|Anisin4,|AC|sinC表示点A到8c边的距离，设为AD,

所以人户=工(人*+人心，而4月+定表示3c边的中线向量,

所以衣表示BC边的中线向量，

因此VA8C的重心一定在满足条件的0点集合中，所以③正确；

④当乙4=90。时，VA/C的垂心与点A重合，但显然此时垂心点尸不满足公式，所以④不正确;

故答案为：2.

题型02垂心及三角形的内切圆与内心

共例引微

【例2・1】（2025•天津静海•月考）已知VA3C的内角4,B,C所对的边分别为小b,c,下列四个命题中

正确个数是（）

①若sin2A=sin28,则VA8C定为等腰三角形

②若/+/一°2＞（）,则VA8C一定是锐角三角形

-2.1-]

③若点M是边BC上的点，^.AM=-AB+-ACf则“MC的面积是VABC面积的.

JJJ

④若VABC平面内有一点O满足：砺+砺+交=0,且卜%|=|/=~4，则VABC为等边三角形

⑤若。4・（0^一翼）=0区（整■一与）=0,则点。是VABC的内心

MC|\AB\18cl\BA\

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用诱导公式求解判断①；利用余弦定理推理判断②：利用向量线性运算判断③：利用三角形

心的向量表示判断④；利用向量数量积判断⑤即可得解.

【详解】对于①，在V44C中，由sin24=sin2H,得2A=22或24+28=兀，

即A=B或A+B=],则VA8C是等腰三角形或直角三角形，①错误;

对干②，由42+〃一C2>0及余弦定理，得cosC=^±C>o,则C为锐角,

2ab

而44是否为锐角不确定，②错误；

_2—I1__.____1_

对于③，由AA/二一A月+—AC,AM-AB=(-AC-AB),H|JW=-BC,

3333

_2-2

则CM：?围，△AMC的面积是VABC面枳的5,③错误；

对「④，由次+说+祝=0，得。是丫人爪的歪心，由函=|西=|西，

得。是V4BC的外心，即△ABC的重心、外心重合，则V4BC为等边三角形，④正确;

对于⑤，由次-丝•)=€>,得用.坐_=砺.4£~,

则cosZ.OAC=cosZ.OAB,

\AC\\AB\\AC\|

R]FiA

04平分/84C,由诙•（^^—=•）=0,同理得OB平分N48C,因此点。是VABC的内心，⑤正确,

\BC\\BA\

所以正确命题的个数是2.

故选：B

2-2]（2025•天津•模拟预测）。是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

加=方+〃而+正），4e[0,*o）,则〜的轨迹一定通过VA5C的（）

A.外心B.垂心C.内心D.重心

【答案】D

【分析】取线段8C的中点E,则通+衣=2荏，依题可得再〃荏，即可得答案.

【详解】取线段3C的中点E,则福十怒-2存.

动点P满足：。户=O4+〃A月+AC）,2e[0,+oo）,

则0户一。即入户=2ZME，所以衣//通，

又A/T|AE=A，所以A,E,P三点共线，

则直线AP一定通过VA8C的重心.

方做遗规

三角形的内切圆与内心

（1）内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做

圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.

（2）三角形内心的性质：

三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.

重要结论：若点1是^ABC的内心，则有|BCuA+|cAHEi-|ABiiC=o；反之，若

|BC|IA+1CA|IB+1AB|IC=0,则点1是4ABC的内心.

垂心

三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.

重要结论：若H是△ABC的垂心，则前.丽二而.彳弓二元JiX或

HA2+BC2=HB2+AC2=HC：+AB2»反之，若•而=而沃=而或

HA2+阮丁丽*+前=较'+而2，则H是^ABC的垂心.

变式修建

【变式2・1】（2025•天津滨海新•三模）已知V4BC中，A,氏C所对的边为。也c,若O,P,"为VABC所在平

面内点，则下列说法正确的个数为（）

①若衍=g（⑸+而+无），则。为三角形ABC的重心；

②若向『+|BC|2=|77B|2+|CA|2=|因2+J福。则点〃是V/WC的垂心；

③若。是V48C的外心，则sin2A•次+sin2B•丽+sin2c•元=C;

④若。是VA3C的内心，贝

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据三角形垂心，重心，外心，内心的定义和性质结合平面向量的线性运算和共线定理，分别推

导即可.

【详解】对于①：若可=；（⑸+而+无），即3司=万+而+而，

所以OP十PA十OF十PB十O/十/C=0•

即函+诙+双=。，所以。为三角形ABC的重心，故①正确；

对于②：由网2+1网2=网2+同2,

得网2一|丽仁同2T园2,

即（而+丽）•（丽-丽）=（回+砌@-呵，

则（亦+丽）屈=丽.®+阿n（赤+丽-五一西•丽=0,

所以2辰•丽=0，则辰1诟，同理可得而_L而，~HB±ACr

即“是V/WC三边上高的交点，则〃为V/WC的垂心，故②正确；

对于③：若。为V4BC的外心，

则可设V48C的外接圆半径为R,ZBOC=2ZBAC,ZAOC=2ZABC,

ZAOB=2ZACB,故SAwcug^sinZN/MC,

22

同理Sox=QRsin2ZABC,S^AOB=-Rsin2Z.ACB,

乂S^BOC+S公人0c°B+S二八01fOC=0»

BP-/?2-sin2ZBACOA+-R2sin2ZABC-OR+-R2sin2NACBOC=0.

222

所以sin2NBAC京+sin2/A8C•砺+sin2Z4C8•反=6，

即sin2A赤+sin28•砺+sin2c•诙=0，故③正确；

;

其中s谶xOUs3"。6+szvuw"=（i（奔驰定理）的证明如下：

如图延长。4与4。边相交于点/）则

S&ABDS&BOD_SAAOB

S4«D-SaCODSa4。。

VOD=—OB+—OC=—0—OB+—%—OC,

BCBCSjoc+S'OB^cAOC+SaoB

nnqqq+qc

义—u_J..,BCD_Leon_-mT0《CD_JA8"

°A5*.S^COAS41to4+S£OAS的人+SgA

q

所以说=--亲一OA，

'aAOC+ZAOB

所以So川SOC=-J。、

LHOCT°JOB°AAOCTLAOS0^OC干0SOB

所以S〉BOC°A+5徵宠OB+S&AOBOC—6»

b\AF\C\AE\

对干八④：当o为三角形的内心，。为三角形的角平分线，则i=R，工=固，

如图过A作。尸的平行线交跖的延长线于点N,过4作晅的平行线交C产于点仞，则四边形40QV为平

行四边形

A

M<

Z/^>N________|两|一|两一\AE\一\AF\_c—b—

OA=OM-ON=\=^CO+\=iBO=\-^CO+\~\BO=-CO+-BO

BA"回回阳网。。

uuuuuiiuur___^

所以aOA—cCO—A8O=0，a-OA+bOB+cOC=6故⑷正确；

故选:D

【变式2・2】（2025•天津滨海新•一模）。是平面上一定点，4、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满

足赤=西+冗口+尸，，4«0,也），则尸的轨迹一定通过VABC的（）

〔网

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

~ARACTR'AC

【分析】根据a+上匕是以4为始点，向量空与当■为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知尸点

\AB\\AC\\AB\\AC\

轨迹，据此可求解.

【详俯•】•/OP-OA=AP，­'-4P=义（—+—）

1^1MCI

令篇+^二就

AltAC

则前是以A为始点，向量”与空为邻边的菱形的对角线对应的向量,

\AB\\AC\

即可"在一胡C'的平分线上，

•.•/=4两，..AAAM.共线，

故点P的轨迹•定通过朋8c的内心，

故选：B

【变式2・3】（2026・天津・联考）在山^。中，非零向量。晨而、能满足况+而+反=6,则点。是VABC

的（）

A.内心B.外心

C.重心D.垂心

【答案】C

【分析】分别取8C、AC、A8的中点。、E、F，分析出。为VA8C三条底边上中线的交点，由此可得

出结论.

【详解】如下图所示：

分别取BC、AC.人8的中点。、E、F,连接。£＞、OE、OF,

DD=D8+BD=0g+^BC=DS+1（0C-0B）=^（0S+0C）,所以，OB+OC=2OD^

所以，OA+OB+OC=OA+2OD=^f故A、。、。三点共线，即OiAD,

同理可知OeBE,OeCF,即。为VA8C三条底边上中线的交点，

因此，。为VA4c的重心.

故选：C.

题型03平面向量中等和线的应用

共钠引名

【例3・1】（2025•天津和平•联考）如图，在平行四边形A3co中，M是A8的中点，DM与AC交于点N,

设八月=3，AD=b记BN=入。+（44wR）,贝ij〃-4=.

【答案】1

【分析】根据向量的线性运算和共线定理求解即可.

uuir]r

【详解】根据题意可知历=d+B,AM=-a,

mnirir

因为O,MM三点共线，所以存在实数。使得4N=m+5（l-c”，

ULlUliniuii

乂因为4MC三点共线，所以存在实数d使得AN=4AC=da+d〃，

」（l-c）=duu«ir!r

所以21）,解得AN="+?,

iDD

c=d

uinimruiraririr2rIr

所以8N=8A+AN=-a+—a+-Z?=-：a+-/?,

3333

21

所以2=_Q,〃=§，〃-2二l,

故答案为：1

【例3・2】（2025•天津•月考）在VA4C中，点M是BC上一点,且枇=4的，P为AM上一点，向量

—._^―..41

BP=2BA+^BC（A>0，P>0）,则不+一的最小值为（）

4//

A.18B.16C.12D.8

【答案】B

【分析】由ARM三点共线及平面向量基木定理得九〃的关系，然后结合基木不等式得最小值.

【详解】因为83=48麻，所以夕P=ABA+〃8C=28/1+

乂4P,M三点共线，所以4+4〃=1,

所以3+2==+_1%+4〃)=8+竽+428+2^^7^=6

当且仅当学=3,即/!=《，〃=(时，取等号，

4I

所以7+一的最小值为16.

4〃

故选：B.

方做遗规

一、平面向量共线定理

已知54=4丽+"5己，若4+4=1，则A,B,C三点共线，反之亦然.

二、等和线

平面内一组基底班历及任一向量而，OP=AOA+JLJGR)＞若点p在直线AB上或者在平行

于AB的直线上，则4+〃=攵(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等

和线.

当等和线恰为直线AB时，k=l；

当等和线在0点和直线AB之间时，&£(0,1)；

当直线AB在点。与等和线之间时，2£(1,+8);

当等和线过O点时，k=0；

若两等和线关于。点对称，则定值k互为相反数.

三、证明步骤

如图1,P为AAOB所在平面上一点，过O作直线///A8,由平面向量基本定理知:

存在使得O户=不。4+)。公

图1

下面根据点p的位置分几种情况来考虑系数和x+y的值

①若时，则射线OP与/无交点，由〃/A3知，存在实数2,使得历=4通

而血=9_函，所以方=/1而一义两，于是x+y=2-4=0

②若。促/时，

(i)如图I,当P在/右侧时，过P作CD//A5,交射线OA,OB于C,D两点,则

\OCD〜\OAB,不妨设AOCD与△048的相似比为我

由RG。三点共线可知：存在/IwR使得：OP=AOC+(l-A)OD=kAdA+k(l-A)OB

所以x+y=+攵(1-2)=攵

(ii)当户在/左侧时，射线OP的反向延长线与AB有交点，如图1作尸关于。的对称点尸，由(i)的

分析知：存在存在/IEK使得：OPf=AOC+(1-A)OD=kAOA+(1-Z)dS

所以OPr=-kWA+-（1-MOB,于是x+y=-口+火1-㈤=-%

综合I：面的讨论可知：图1中历用0Ao方线性表示时，其系数和1+y只与两三角形的相似比有关。

我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为

三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过。作AB边的垂线设

只需求出I0PI的范围便知y的范围

一般解题步骤：（1）确定单位线（当4+4=1时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值:

（3）从长度比计算最值.

‘支式信称

【变式3・1】（2025•天津•二模）在边长为1的菱形A4C。中，ZA=60°,记福4,而二人点M是线段

上一点，点N是线段0c上一点，且4,M,N三点共线.若空=］，则用G，万表示丽=______;

AM2

_______11AN

若AN・CM=-9,则O的值为______.

12AM

【答案】石+97

23

AN

【分析】将两用石工来表示，进而利用三点共线求得参数人假设F=〃，将丽?.用人办来表示，利用三

AM

------------11

点共线可得到人〃的关系，再根据AMCM=-;，解方程即可.

【详解】设加=/U分，则丽=丛花，

AN3___.2—2-

若=—,IlVjAM=-—Xci,

AM233

29I

因为从M,D三点共线,则：+=4=l,得％=：，

332

所以丽=B+/lZ=B+,£；

2

设=则AM=

AM

।

又B,M,。三点共线,贝|J—十—=1,得2=〃-1,

因为菱形八8C£＞的边长为1,乙4=60。，AB=a,AD=b^

所以7=片=1,=

又两=碱—配心3—（£+5）=~5—

〃NN4

所以京.西二历+（〃一）好（15，/|=1上，22〃+2」,

I4N）〃〃2〃12

整理,得6〃2+〃-12=0,

解得〃=三4，3或〃=一:（舍去AN）.4故而7=q.

32AM3

-1-4

故答案为：〃+彳“、-

23

【变式3.2】（2025•天津南开•模抵预测）如图，在V/WC中，/＞在线段AC上，满足2而=定,0为线段AP

上一点，且的=?以+%比，则4的值为（）

2

D.-

9

【答案】D

【分析】根据向量的线性运算直接化简可得解.

【详解】由已知0为线段4。上一点，

设而=x而，了武。』，

则丽=丽+而=明+4行=丽+%（而+硝=（I）丽+x丽,

又2而=无，

则丽」尤，

3

所以丽=丽+方5=0一人）丽十三月不，

一」

则3,

.3

2

x=—

解得:，

故选:D.

【变式3・3】（2025•天津宝城•月考）在VABC中，已知。是A8边上一点，若丽=2反，=+

则实数义的值是

【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算，用力反AG表示而，进而得到答案.

[详解]因为而=而+丽=苑+§肥=通+5（/—通）=§通+§而,

2

所以a=

2

故答案为：彳

题型04平面向量中的最值（范围）问题

舞的和襁

【例44】（2026•天津滨海新•月考）如图，在VABC中，48=2.4C=1,££＞分别是直线相，AC上的点，

AE=2BE,CD=4ACf且届.注=-2,则cosN8AC=.若尸是线段OE上的一个动点，则丽.方

的最小值为.

【分析】①先利用向量的数最积公式及向最线性运算，由题可知：AE=2AB,AD=5AC,由BD・CE=-2，

可得11荏•定一5立2一2通2=一2,代入相应数据即可求得8S/8AC的值；②由①可得/84C，则设

EP=AED^e[0A],根据平面向量的混合运算可推出所.丽=21万-127+7，再利用配方法即可得解，最

后求出最小值.

［详解］®-AE=2BEtCD=4AC,.\AE=2AB,AD=5AC,

•/fiDCF=-2,

:.(AD-AB)(AE-AC)=(5AC-AB)(2AB-AC)

=\\ABAC-5AC--ZAB^

又•.网=2,西=1,

则：AC2=|/1C|2=1,A^2=|/t//|2=4,且而•AT=|同|罔cos/ftAC

ISxt=l1x2x1xcosZfiAC-5x1-2x4,

=22cosNB4C-l3=-2,

解得cos/B4C=J；

2

②NBACG(0,兀),.tNBAC=

3

设七户二%EZ5MW［0』］,

BPCP=(BE+EP)(CD+DP)

=^AE+A(AD-AE)^^AD+(\-A)(AE-AD)

=^-^(\-Z)AE+^-^AD+^Z-^-2^ADAE

=16^-2^(l-2)+252^/l-^+^2-^-2A2^x5x4xcosy

=2U2-l22+7

(2丫37

=21A——+—,

I7j7

237

.,.当4时,丽.守有最小值,为今.

故答案为：①，，•

【例4・2］(2026•天津•联考)在梯形"CD中，AB=3DC，AB=3,HC=2fAC与5£)交于点E,且忸同=乎，

则ZABC=，点厂在线段A8上，满足"=5而，平面内有一动点尸满足1a1=1，则方•正的最大

值为.

【答案】y币

［分析】根据ACDEsAABE,求得DE的值，得到BD=y/j,在.ABCD中，利用余弦定理，求得cosNBCD=,

进而得到/ABC得到大小，以A为坐标原点，得到*=（2,6）和房求得衣.方=（）,再由

DP=DF+FP＞得到而•丽=而•丽，结合向量的数最积的计算公式，即可求解.

【详解】因为丽=3觉，可得|而|=3|明，且A8//CD,所以学=g，

由△COEs&wE,且伊司=迈，可得m=娑，可得DE=",所以=

114ABBE4

在△BCD中，CD_1,BC_2、加一行,

由余弦定理得COS/BCD=BC'+C。―5=-L,

2BCxCD2

因为N8COe（0,7r）,所以NBCO=空，所以NA8C=7u-N8CO二巴.

33

以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

因为8C=2且NABC=W，可得点。到x轴和），轴的距离分别为2,即C（2,石），

又因为CO=1,且AB//CD,所以。，

因为标=5而且叱3,可得府|可得呜,0）,

又因为|"|=1,所以点尸在以尸为圆心，半径为1的圆上，

由A（0,0,0）,C（2,G）,0（1,V5）,F§，0），可得尼=（2,石），。广=（|,—百），

可得XC•。户=2x3+Gx（-百）=0,

2

乂由价=DF+FF，则/•而=前（前+司）=/赤+而•丽=沅而，

设向量玄和方的夹角为仇则亚•丽=|阿网cose=J7xicose,

当cos，=l时，ACS/75取得最大值，最大值为近，

即丽•而的最大值为V7.

方收电视

一、平面向量中的最值（范围）问题

平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其

基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量枳、向量夹角、系数的范围等，

解题思路通常有两种：

一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平

面图形的特征直接进行判断：

二是“数化”，即利用平面向最的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程

的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决.

二、极化恒等式

设a,b是平面内的两个向量，则有小/；=；［（1+而2-伺-杨］

证明：0+5）2=/+户+2万万，①（五一5）2=罚+52-”石,②

将两式相减可得小方=：［（万+/；）2-（£-52］,这个等式在数学上我们称为极化恒等式.

①几何解糕1（平行四边形模型）以A4,A。为一组邻边构造平行四边形A8C。，丽=。而=/；，则

AC=a+b,BD=b-af由小方=1［①+"2—①一6尸］,AB-AD=^（AC2-BD1）.

即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的

4

②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由

同而=；（靖-m）变形为福•荷-m）=；（48/-48M）得福.而=4/_8河2,

该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型.

注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极

化恒等式看到向量的数展积可转亿为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向后与几

何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.

【变式4・1】（2025•天津河西•联考）在△043中，乙4。8=90。.|0川二|08|=2五,。为48的中点，RQ是

以。为圆心，2为半径的圆上的两个动点，线段夕。过点0,则院可用西，丽表示为:PAQB

的最小值为.

1—1__

【答案】+-12

【分析】建立平面宜角坐标系，设P（xy），根据条件有否=（r，2&-力/=（2及+%），）,丽=（"⑹,

ULItlUUUUII__________lz、

设0O=〃?PA+〃QB，利用向量相等，即可求解；利用数量积的运算，得PA-Q8=2夜（y-力-4,令

x=2cose,），=2sinO,ewR,从而得-2夜Wy42夜，即可求解.

【详解】如图以。为坐标原点，QAO8所在直线为人）•轴建立平面直角坐标系，

因为侬=|。叫=2"。为A8的中点，所以A（O,2&）,8（20,O）,O（"&）,

设P（x,y）,则。

又丽=（一乐2&-耳,/=（2&+尤），）,。力=（夜,夜）,

-nix+（2及+x）n=>/2

uutiuuuuu

设0。=〃7抬+〃Q8，则<

（2拒-y）m+ny=&

整理得到（〃-"7）（］-），）+2及5-"?）=0,又P（x,y）是圆上的动点，所以阳二〃,

Iuuu1mr1mu

再代入一〃氏+（2&+*〃=五可得〃2=〃:一，所以OO=—H+—Q8.

222

因为百•丽=—V-2jlr—产+2无）,，又P,Q是以。为圆心，2为半径的圆上的两个动点,

则/+9=-所以博4月=_/_2后一丁+2夜）,=2夜（y_x）_4,

令H=2cos9.y=2sin6.ecR,