2026年高考数学二轮复习突破：离心率的范围（最值）

微点突破13离心率的范围（最值）A对应学生用书Poi

【考情分析】圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特

征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解

更简洁.

重点1利用圆锥曲线的定义求离心率的范围

9?99

典例（2025・甘肃白银二模）已知椭圆C：方=1（%＞瓦＞0）与双曲线E：力喉=

（X］u,ex?口2

l（a2＞0,%＞。）有相等的焦距，离心率分别为4，02,它们的四个公共点刚好是正

方形的四个顶点，则62—61的最小值为（）

A.1B.-

2

C.-D.-

34

解析：选A.设椭圆的焦点为Fl（—c,0）,F2（C,0）,双曲线的焦点为八（0,一C）,

F4（0,c）,

根据椭圆、双曲线、正方形的对称性可知，

两曲线位于第一象限的公共点为P（m,m）（m＞0）,

—c)2+m2,

则|PF/=|P%|=+*|PF2|=|P^|=

所以IIP与I-I2&II=IIPFiI-IPFiII,

2c2c_4C\PF\

所以ez—e\=2

IPF1I-IP七I|PF/+|PF2|一|PFI|2一|PF2|2'

2

4cJ(m—c)-i-m2l(m-c)2-hm2

即e2-ei==------------e——=i,

(m+c)+m2-[(m—c)+m2]m

当且仅当c—m时取等号.

［规律方法］此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定

理，构造关于〃，〃，。的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的

范围.

22

对点练i.⑴已知尸是椭圆器+k=1(。>/?>0)的一个焦点，若过原点的直线与椭圆交

于A,3两点，且NA所=120°,则椭圆离心率的取值范围是()

A.［曰,1)B.(0,争

C.弓，1)D.(0,

解析：选C.设椭圆左、右焦点分别为R,F,连接RA,F山，

由椭圆及直线的对称性知，四边形A五为平行四边形，且NAF4=120°,ZFAFy

=6()。,

在^AFFi中，IEFiI2=।AbI2+IAFiI2-

2\AF\­\AFi\cosZFAFi=(\AF\+\AFi\)2~3IAFI-IAFiI,

22

所以(\AF\+\AFi\)-IFF}I=3IAFI-IAFiIW3("门,当且仅

当II=IAQI时等号成立，

可得;(\AF\+\AFi\)2<|FFiI2,

即4c2,贝I]e=-^-

a29

又椭圆的离心率e£(0,1),

所以#有圆的离心率《£及，1).

(2)已知3分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且/尸】尸&=3

设NPFE=9,当双曲线。的离心率取值范用I为(£0)时，，的取值范闱为()

A.(0,*B.《，=)

Cf,=)D.*,=)

解析：选B.在中，由-=，亲——藕鬻叫广

V3厂

下一遮1

sin(6+6)—sing2cos瑞+8)

因为（当，所以cosg+6）£（$苧）,

所以甘夕£《，»所以夕的取值范围为仁，*

重点2利用圆锥曲线的性质求离心率范围

2

典例[2（1）（2025•山西临汾一模）已知双曲线^=l（a＞0,b＞0）的左、右焦点为

Fi,尸2,若M是双曲线左支上的一点，且3|MF2|=5|MFJ,则此双曲线离心率的最大

值是（）

A.2B.3

C.4D.5

解析：选C.作图，设|M&|=加，\MF2\=n,

贝I有3〃=5〃z,n-m=2a,

解得加=3〃，因为M是双曲线左支上的一点，

所以。＞0,

即3。2。一解得e=£W4,

a

所以此双曲线离心率的最大值是4.

22

⑵（2025•贵州黔东南模拟）已知椭圆今+京=15＞。＞0）的左、右焦点分别为8，F2,

点P在该椭圆上，若满足APFiB为直角三角形的点尸共有8个，则该椭圆离心率的

取值范围是（）

A.（y,1）B.呼，1）

C.（0,争D.（0,争

解析：选A.如图，因为使△PQF2为直角三角形的点P有8个，所以在△OBFz中,

21

必有/。8夕2＞45°,即|。尸21＞1。冏，所以。＞/?=（2＞加，即可r得

（L2

e＞二.又椭圆的离心率e＜1,所以ewg,1).

2

对点练2.(1)(2025•内蒙古赤峰模拟)已知双曲线H：^-g=l(a>0,b>0),若直线

IXL/

R+)，=0与”没有公共点，则H的离心率的取值范围为()

A.(0,V2)B.(1,V2)

C.(LV2]D.[V2,+8)

解析：选C.因为渐近线方程为y=—%且》=一/的斜率为一1,所以一22一[,则

Ja-a

所以离心率e=(=Jl+^W&,又e>l,则离心率的取值范围为(1,V2].

(2)已知P为椭圆捺+卷=13>/?>0)上一点，Fi,尸2为椭圆焦点，且IPF.I=3I

PFiI,则椭圆离心率的取值范围是()

A.(o,目B.R1)

C.(o,1D.[|.1)

解析：选D.由P为椭圆马+4=1(〃>/?>0)上一点，IPQI+IPFiI=2a.

又IPRI=3IPFi|,所以IPFiI

2

又。一cWIPF?IWa+c,即Q一

2

a-c

即Q2得Xc,即飞e<l.

-<a+c,22

v2

重点3利用几何图形的性质求范围

Y2V21

典例(1)(2025•山西大同一模)已知椭圆C：卷+为=1(0VbV2),A(-i,0),5(1,

0).若椭圆C上存在3个不同的点P满足|PB|=2|P4],则椭圆C离心率的取值范围是

()

A.(0,争B.(0,f)

C后】)D.0，1)

解析：选C.设P（x,y）,由|PB|=2|P*，得J（x—l）2+y2=2j（%+[）2+y2,化简得

（x+1尸+产=1,

即点P的轨迹是以点（一1,0）为圆心，1为半径的圆，则该圆与椭圆。有3个交点，

由卜：f+?=°：消去v得《）f+8x+4〃=0,即。+2）。+卫2）=0，

[b^x2+4y2=4b2"4-b2

显然一2是方程的一^个解，点（一2,0）是圆与椭圆的1个公共点，因此一“必为方程

4—bz

的另一个解，

则一2＜念=＜0,解得加V2,所以椭圆C的离心率6=斤二展£（f，1）.

22

⑵（2025•黑龙江哈尔滨一模）已知圆G：9+）2=〃与椭圆Q：今+2=1（。＞匕＞0），

a乙b乙

若在椭圆。2上存在一点尸，过尸点能作圆G的两条切线，切点为A,B,且NAPB=

5则椭圆。2离心率的取值范围为（）

A.（0,争B.呼，1）

C.（0,1D.1）

解析：选B.由题可知，在椭圆。2上存在一点P,使得NAP3=三

由对称性可知，ZAPB=2ZAPO,sinNAPO="=322,ZAPO^（0,-Y

\OP\\OP\a\2/

所以当点P位于长轴端点时，NAPO最小，

只需当点尸位于长轴端点时，NAPOW二即2/乌故6=11-^^-,

4a2y]a22

又（）＜eVl,所以椭圆C2离心率的取值范围为[涯，1）.

［规律方法］利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几

何度量之间的关系.

对点练3.(1)已知双曲线马一誓=1(0人＞0)上存在关于原点中心对称的两点A,B,以

及双曲线上的另一点G使得△ABC为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是

()

A.(V2,+°°)B.(V3,+°°)

C.(2,+8)D.考，+8)

解析：选A.由题意可知，双曲线的渐近线方程为)，=±-,

'a

设点A(x,y),

因为△A5c为正三角形，

所以OA±OC,且II=V3\OA\,

则可取C(gy,-V3x),

则b2'整理得.二四2一乒Q

人_3%2_正率传/淳+3匕2

匕TF=1，

解得〃＞层，即可得彳＞则e=£=

22,

aQYQ2

所以该双曲线离心率的取值危围是(企,+8).

W

一M

(2)已知双曲线C：［一1=1(4(),Q0)的上，下焦点分别为B、凡P是C的上支

上的一点(不在y轴上)，与x轴交于点A,△P4F］的内切圆在边AFi上的切点为

B,若|48|＞2。，则。的离心率的取值范围是()

A.(l,y)B.(争+8)

c.(l,|)D.(|,+-)

解析：选A.设该内切圆在PH,PA上的切点分别为。，£,

由切线长定理可得|4B|=|AE|,\PD\=\PE\f|F/|=|FiD|,

又|PF2|一|PFi|=2a,|4&|=|力F2I，则伊川十|4&|—七&|=2〃,

即2MBi=2m解得|4B|=a,

由MB|>2b,即424得«，所以e=Jl+*(1,y).

［课下巩固检测练（四十二）］离心率的范围（最值）

（单选题、填空题每题5分，多选题每题6分）

一、单选题

22

1.（2025•江西模拟）若双曲线C3一言=1（。>0,b>0）的一条渐近线（过第一、三象

限）的斜率小于白，则。的离心率的取值范围为（）

A.（0,2）B.（1,2）

解析：选D.由题意知，Ov/v曰，则e=：=J1+（，）£（1，3手），

2.若椭圆上存在点P,使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2：1,则该椭圆的离心率

e的取值范围是（）

A.1）B.（0,寺

OO

/1）D.（O,寸

解析：选C.由题可设点P到椭圆两个焦点的距离分别为2加，

2

所以2m+加=2。，得至Um=-ch

3

又〃22〃一C,所以2〃2。一c,得到

33

所以£》二又OVeVl,故LWeVl.

33

3.（2025•山西太原一模）已知△ABC的三条边长分别为3,4,5,△ABC的两个顶点是

椭圆E的焦点，另一个顶点在椭圆石上，则石的离心率的最大值为（）

解析：选C.已知△ABC的三条边长分别为3,4,5,因为32+42=52,所以是

直角三角形.

设△4BC的两个顶点为椭圆E的焦点，另一个顶点在椭圆E上.

情况一：若焦距2c,=3,则椭圆上一点到两焦点距离之和2〃=4+5=9.此时离心率为

_c_2c_3_l

a2a93，

情况二：若焦距2c=4,则椭圆上一点到两焦点距离之和2〃=3+5=8.此时离心率仅

c2c4_l

a2a32

情况三：若焦距2c=5,则椭圆上一点到两焦点距离之和2〃=3+4=7.此时离心率63

_c_2c_5

a2a7'

所以椭圆E的离心率的最大值为三.

7

22

4.（2025河北秦皇岛三模）已知椭圆C：9+卷=1（4＞。＞0）,过C的右焦点的直线/交

。于A,B两点，若存在直线/使得=§,则。的离心率的取值范围是（）

A.[1,1）B.[y,1）

C.停1）D.[A1）

解析：选D.法一：设C的右焦点坐标为（c,0）,长轴是过C的右焦点的最长弦，

当直线/不垂直于y轴时，设直线/的方程为工=ty+c,

由％cty+c,消去工得（〃2产+〃2））2+2〃28，—〃4=0,设A（X],yi）,B（X2,丁2），

,b2x2+a2y2=a2b2

22

）"+）'2=^J，则IABI=y/l+t^（yi+y2）~4yiy2=

/-,-2b2ct；4b4_2。。2（y+1）_2a-2>2标

2当且仅当/=0时取等号,

V.]（即/7）十际旬一-b2t2+a2--b2+_^_^~

依题意，,解得与端，则C的离心率6=1一与£[―,1）.

2aaz47a42

法二：因为椭圆中的焦点弦中通径最短，所以|AB|=±2变，解得与则。的离

2aa24

心率，=小二夫百，1）.

5.画法几何学的创始人一一法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂

直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为

半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A,B为椭圆E炉+日=1（。＞1）上的两个动

a

点，动点P在直线版+4y10=0上，若/]恒成立，则E的离心率的取

值范围为（）

A.（0,净B.（g,1）

CG1）D.（0,I）

解析：选A.根据题意，得椭圆E的蒙日圆方程为f+y2=〃+],

其上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直，

因此当直线版+4），-10=0与圆/+产=。+1相离时，NAP3£（0,习，

由不Tv喀二四，解得lVaV3.

J32+42

所以离心率e=y）.

22

6.设B,F2为椭圆G：与双曲线C2公共的左、右焦点，它们在

第一象限内交于点M,是以线段为底边的等腰三角形，且|MF/=2.若

椭圆G的离心率争，则双曲线C2的离心率取值范围是（）

89

A.R|[B,[|,+OO）

c.（1，4]D.[|,4

22

解析：选D.因为R,&为椭圆G：三+―=1伍＞。＞0）与双曲线C2的公共的左、右

焦点，△MF|F2是以线段MF]为底边的等腰三角形，且|MF/=2,

设|MF2l=|FiF2l=2c(c>0),由椭圆G的离心率[-,-],

89

即e=旧小=工

舄副，解得存息

IMF/+IMF2I2+2CeT

四尸

由点”在第一象限，得双曲线。2的离心率，=21_2C_1e[|,4].

\MF\~\MF\2-2C--1

12c

二、多选题

7.已知双曲线C：长-若=1，则()

人.入的取值范围是(一6,3)

B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上

C.C的焦距为6

D.C的离心率e的取值范围为(1,3)

22

解析：选AC.对于A,因为三一\=1表示双曲线，

A+63—2

所以Q+6)(3—入)>0,解得一6〈入V3,故A正确；

对于B,由A项可得一6〈入V3,故入+6>0,3-X>0,

所以C的焦点只能在x轴上，故B错误；

对于C,设于的焦距为2c(c>0),则于=:+6+3—入=9,

所以。=3,即焦距2c=6,故C正确；

对于D,离心率e=»^=,

VA+6

因为一6〈入V3,所以0VjTT%V3,

所以e的取值范围是(1,+8),故D错误.

22

8.已知椭圆八：与+刍=1(心匕>0)的左、右焦点分别为R,F2,将Q上所有点的横

坐标与纵坐标分别伸长到原来的Mk>0,ZW1)倍得到椭圆八，则下列说法正确的是

()

A.若1>0,贝上〈士

aa+t

B.若八,B的离心率分别为ei,62,则61=及

C.若八八的周长分别为G,G,则C2=*

D.若C的四个顶点构成的四边形面积为"A，则心的离心率为2（V2-1）

4

%1—kx

解析：选AB.设点（"），）为楠圆丁2上任意一点，则由题意知）

ly=/cy,

（-=X,22

即〈士代入椭圆C的方程得2+需=1，

Iykzazkzb2

所以椭圆八的方程为寥+4=1（。>人>0），

k2a2k2b2

因为a>〃>0,r>0,所以匕£,所以A正确；

aa+t

a2-b2ka2-b2

由已知得，e\=------，ei——------e\,所以B正确;

aka

由已知得，「产以其相似比为i:匕

所以我•二，，所以C?=kCi,

因为fc>0,g,所以C错误；

设°=Ja2-b2,因为c的四个顶点构成的四边形的面积为"A

所以;.24.2Q平,所以2"=洛

22242

所以2aa~c=cf所以e+