2026年高考数学二轮复习突破：立体几何与空间向量之球的切接问题

微点突破9球的切接问题A对应学生用书P65

【考情分析】空间几何体的外接球、内切球、截面问题是高中数学的重点、难点，

也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外

接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置.

重点1几何体的外接球

角度1墙角模型

|适用类型：一条侧棱垂直于底面，且底面为直甬三角形或矩形的棱锥.

|解题方法：通常构造长方体，外接球直径等于长方体的体对角线长（设长方体的同一顶

I

II-------------

|点的三条棱长分别为x,y,z,其外接球的半径为R,则2R=/x2+y2+z2=>/?=

类型1类型n类型ni类型iv（倒外型）类型v

I对于类型V：三组对棱长度分别相等的三棱锥，虽不符合墙角模型，但也可以将三棱

।

|锥放入长方体中，设三棱锥三组对棱长度分别为小b,c,长方体从一个顶点出发的

（x2+y2=a2,----------

三条棱长分别为X,y,z,其外接球的半径为R,贝l'%2+z2=b2,nR=&_-——=

\z2+y2=c2

a2+b2+c2

2V2

典例而百百箫百银三稹茄囱二茬三而FZ正可7部77?"万工宰前获WF7

=3,AB=\,AC=2,D,E,尸分别是棱PB,PC，BC的中点，则三棱锥A-OE尸的

外接球的表面积为（）

9IT

C.—D.3兀

2

解析：选B.设棱AB,AC,PA的中点分别为H,M,G,连接HF,MF,DG,EG,

DH,EM,构造长方体DGEN-HAMF,

则长方体DGEN-HAMF外接球的表面积即为三棱锥A-DEF外接球的表面积.依题意,

"。=|,HF=1,HA=}设长方体OGEN-/MM/外接球的半径为R,则（2/?）2=（|）2+

=22

角度2汉堡模型

适用类型：圆柱、直棱柱、有一条侧棱垂直于底面的棱锥（特例，可补形成直棱柱）.

解题方法：通常先作出过底面外接圆圆心（圆柱是底面圆圆心）且垂直于底面的垂线，

与高等长的垂线段的中点位置即为球心的位置，设圆柱底面圆或直棱柱底面外接圆的

半径为心圆柱或直棱柱的高为近再利用解直角三角形可知外接球的半径R=

心

-----

类型I类型n类型m

国W（2025•吉林延边一模）在直三棱柱ABC-AiBiCi中，BC=V3,A4i=2V3,且

NB4C=g则该三棱柱的外接球的体积为（）

.811

A.—B.4V371

3

C.遥兀D.—

3

解析：选D.设△ABC外接圆半径为匕圆心为。|,设外接球球心为。，半径为R,因

为BC=W,ZBAC=-在AABC中，由正弦定理得.耻=乌=2=24r=1,则

3fSinCF^CV3

2

O\A=r=\,则有OOI=[A4I=遮，所以/?2=3+。0取=I+3=4=R=2,所以球的体

积为V=-7l/?3=-7lX23=—.

333

H

角度3锥体模型

适用类型：圆锥、棱锥.

解题方法；（1）对于圆傕和顶点在底面的射影是底面外接圆圆心的棱傩，先作出过底面

外接圆圆心（圆锥是底面圆圆心）且垂直于底面的垂线，设圆锥底面圆或棱维底面外接

圆的半径为心圆锥或棱锥的高为〃，再利用解直角三角彩可知外接球的半径R=

〃（圆锥或棱锥在半球内时，此公式也适用）.

（2）对于有一个侧面垂直于底面的棱锥，如类型m中平面ABC,平面5CD,iiABCD

的外心Oi作该三角形所在平面的垂线，设三棱锥的高为心外接球的半径为R,球心

R?=?-?+ni?,,…G

为O,Oi到BC的距离为d,O与Oi的距离为相，则°从而解得

R2=d2+(h—m)2,

R.

典例（2025•四川雅安二模）已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的

高为1,底面边长为2,则球的体积为（）

A.9TC兀

27

Dn.—71

8

解析：选B.如图，作正四枝锥P-A3CQ,连接AC,BD,交于点0,连接P0,

则P0_L平面ABCO,则OP=1,OA=（）B=OC=OD=^AC=V2＞OP,

根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高P0的延长线上，设为E,连接EC,

则球的半径r=EP=EC,则0E=L1,

则在RtZkEOC内，由OG+EO♦EG可得2+。-1）2=户，

解得r=|，故正四棱锥外接球的体积为V=^Tir3=I11,=

角度4台体模型

■窗77.菽柔

解题方法：对于圆台的外接球，球心一定在上、下底面中心连线上：对于榜台的外接

球，球心一定在上、下底面外接圆圆心连线上.

以圆台为例，设圆台上，下底面圆的圆心分别为。|,。2，半径分别为门，。高为力，

圆台外接球球心为0,半径为R,设0Q=x,利用＜+以=（力一工＞+斤（类型I）或/

I+母=（力+幻2+疗（类型[]）,求出x,则R=J/+琢.

典例

3V2,4A2=6,则该正四棱台外接球的表面积为（）

A.108兀B.54兀

C.36几D.27兀

解析：选B.设正四棱台上底面48G。的中心为。，下底面4282c2。2的中心为

。2,因为A]B=或，4&=3鱼，所以O]A1=1,。汹2=3.

过4作4£，。2/12于E,易得4石=2,

2

设该正四棱台外接球的球心为0,则O在直线0|。2上，OiO2=AiE=^A2A^-A2E=

4几

设。。］=居则0。2=I4V2-xI,

设外接球的半径为R,则/?2=0。3+0］掰=。。叁+a掰，即/+］2=(4&-%)2+32,

解得x=2,则/?2=(—)2+1,所以外接球的表面积为4兀/?2=54兀.

222

［规律方法］求解空间几何体的外接球问题的策略

(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径.

(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种

元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的.

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

对点练1.(1)(2025•山西吕梁一模)在正三棱锥中S-ABC,棱“，SB,SC两两垂直，若

△ABC的边AB=2瓜则该正三棱锥外接球的表面积为()

A.5V30nB.60兀

C.2071571D.30兀

解析：选D.由题意知，正三棱锥S・A8C是正方体的一个角，补成正方体如图所示：

正方体的体对角线长是外接球的直径，

因为AB=2遥，所以S4=SB=SC=J1U,

则外接球直径为2R=OxEi,所以R=手，

所以外接球的表面积为4兀/?2=30兀.

(2)(2025•广东广州一模)已知球。的表面积为4兀，一圆台的上、下底面圆周都在球O

的球面上，且下底面过球心O,母线与下底面所成角为g则该圆台的侧面积为()

A3百

A.—nB.-7C

42

71兀

C---2-D.3

解析：选B.作出示意图如度所示:

设球的半径为OA=OB,由题意可得NOA8=2所以△048是等边三角形,

3

所以4。“会所以NOQ8/,

因为球。的表面积为4兀，所以4兀X。42=4兀，解得04=1,所以OB=AB=1,

所以0山=豺三,所以圆台的侧面积为兀（1+}“1=拳

（3）（2025•河北保定一模）已知三棱锥A-8CD中，CD,平面ABD,AB=AD=2y[3,BD

=6,CD=2,则三棱锥48co的外接球表面积为（）

A.12兀B.24兀

C.40冗D.52兀

解析：选D.在△45。中，AB=AD=2®30=6,

BD-

所以cosB=—=^==—,所以sinB=-.

AB2>/322

设△43。外接圆半径为心则q=2-=2V1

sinF

又CDJL平面A8。，且CQ=2,设三棱锥A-3CD的外接球半径为七

则/?2=3+（争2=]3,所以三棱锥4BCD的外接球表面积为4兀收=4兀X13=52兀

重点2几何体的内切球

!解决几何体内切球问题的两大通法：J

।।

|⑴轴截面法：利用内切球的定义（球心到各面距离相等）直接找球心和半径,应先作出一■

个适当的截面，一般是多面体对角线所在的截面，再利用等面积或者相似三角形的性|

质求解.：

（2）等体积法：适用于常见的多面体，无需找球心，直接求半径.连接球心与多面体各

顶点，将多面体分解成一些棱锥，求出各个棱锥的体积之和匕再求出多面体的表面

积，根据球心到各个面的距离都为内切球半径R及各个棱锥的体积之和与多面体的体

积相等求得内切球半径，即/?=也.

s表

一（1）（2025•天津河北二模）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结

构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个

顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等），数学家已经证明世界上只存在

五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如

图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（）

A彳B.2

C.3D.4

解析：选C.若正八面体的棱长为2,令其外接球、内切球半径分别为七小且/?=

V2,

由各侧面的面积S=iX22Xsin60°=V3,且构成八面体的两个正四棱锥的高为企，

2

则正八面体的体积V=8xi.r«5=2xixV2X22,所以r=—,

333

所以外接球与内切球的表面积之比为辞:产=2：2=3：1.

3

（2）（2025•四川南充三模）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若AD=BD=

3,ZABC=120n,则该圆台的内切球的表面积为（）

A.兀B.2兀

C.4兀D.8兀

解析：选D./A5c=120°,AB=AD+BD=6,

3

故诧=延48=4兀，DE=—BD=2TI,故圆台上底面半径门=丝=1,下底面半径卷="

3327121T

二2,

如图，取圆台的轴截面，则圆台的高/I=JTW2一(为一q)2=2&,

则该圆台的内切球的半径r=-=V2,故内切球表面积5=4兀3=8兀.

2

[规律方法](1)解决内切球问题的轴截面法主要思想就是把立体几何问题转化为平面

问题，在平面图形中求内切球的半径.

(2)利用等体积法求内切球的半径时，分割几何体，不要漏掉或重复.

对点练2.(1)若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分

别为S1,S,侧面积为S,则()

2

A.S=SIS2B.S=SI+S2

C.逐=店+医D.s=2y[s^

解析：选C.设小球半径为H,因为一个小球与一个四棱台的每个面都相切，所以四棱

台的体积等于以球心为顶点，以四棱台的上、下底面和四个侧面为底面的六个四棱锥

的体积之和，其高都是球的半径R,且棱台的高是2R,

则四棱台的体积为V=*SI+3?S2+~S=L(S+S2+J^>2R,

3333

得5=5]+52+2同队=(何+疯产，即小=店+叵.

(2)(2025•湖南岳阳一模)将一个底面半径为2,高为2百的圆锥形石材打磨成一个球，

则该球表面积的最大值为()

8痢

27

解析：选A.由题意可得圆锥的母线长为所以圆锥的轴截面是等边

三前形,

根据题意可得所求表面积最大的图的半径即为圆锥的轴截面等边三角形内切圆的半

径，设其为八

由等边三角形的性质可得tan30°所以厂=出，

23

所以球的表面积为^nr=4?t（—）2=—.

33

［课下巩固检测练（二十九）］球的切接问题

（每题5分）

1.（2025•天津河东二模）已知正方体的边长为a,其外接球体积与内切球表面积的比值

为|,则。的值为（）

A.V3B.2

C.V5D.3

解析：选A.易知正方体的外接球半径为其体对角线的一半，即等，

±E（-）3n

内切球半径为棱长的一半，即|,由球体的表面积公式及体积公式X可知:=等=

247Tx（2）2

-=>^=V3.

2

2.（2025•四川绵阳三模）已知直三棱柱4BC-4SG中，CAA.CB,AB=CG=2,该三棱

柱所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（）

A8A/2-TTc327r

A.-----B.——

33

C.8兀D.四包

3

解析：选A.如图所示，将直三棱柱A8C-48G补全成长方体，

22

则长方体的体对角线IA\BI=J\AB\~\~\AAtI=J4十4=2四为该三棱柱外接

球的直径，

所以其半径为〃=乎=应一.•球。的体积为%娴=%X2&=净.

3.（2025•陕西宝鸡二模）已知直三棱柱ABC-4BC中，ABLBC,AB=1,BC=2,A4i

=2,则直三棱杜A6C-AIiG外接球的表面积为（）

A.36兀B.18兀

C.9兀D.3兀

解析：选C.取AC,4G的中点为。，Di,连接3D,D】D,取。。的中点O,

由于ABLBC,且三棱柱A8C-48G为直三棱柱，故。为外接球的球心，

2222

AC=jAB+BC=V5fR=OA=JAD+OD=^

故外接球的表面积为4兀代=9兀.

4.（2025河北石家庄一模）已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2,则该圆柱

的侧面积为（）

A.4兀B.4岛

C.6百兀D.8收兀

解析：选B.如图，轴截面为A3=2,OE=\,OC=2,CE=yJOC2~OE2=V3,所以

圆柱的侧面积为S=27tXlX2V3=4V37t.

5.已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为斗，则此圆台的表面积与其内切球（与圆

台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（）

解析：选D.设上底面半径为门，下底面半径为「2,

如图，取圆台的轴截面，作CMJ_A8,垂足为M,

设内切球。与梯形两腰分别切于点E,F,可知BC=/I+/・2,BM=r2-n,

由题意可知，母线与底面所成角为/3=二则迫=乜二乜=工，可得r2=3〃，

3BC71+/22

即BC=4门，BM=2门,可得CM=JBC2-BM2=2V3n,

可知内切球0的半径r=V3n,

可得S圆台=兀咛+9兀疗+兀S+3门）X4门=26兀,S珠=4兀义（V3n）2=12兀忏,

所以迪=%|=/.

S球12irr/6

6.（2025•陕西榆林二模）育德中学在3D打印社团实践活动中，要将一个正方体放置在

一个母线长为2,底面半径为1的圆锥内（忽略锥面厚度），使其能自由（任意方向）旋

转，则该正方体棱长的最大值为（）

11

A.-B.-

32

2

C.-D.1

3

解析：选C.如图1所示，要使得正方体能在圆锥内自由旋转且该正方体的边长得到最

大，

则该正方体的外接球为圆锥的内切球，设内切球的半径为R,圆锥的轴截面如图2所

示，

△PAB为正三角形且24=2,此时内切球的截面圆与aPAB内切,

R=P”taq=1X^=4，设正方体边长为〃，由图3得，（2/?）2=34，得竽/?=：.

7.（2025•广东肇庆二模）已知正三棱锥的底面是边长国的正三角形，高为2,则该三棱

锥的外接球的体积为（）

A1251r

A.--------B.—

484

c.—D.—

253

解析：选A.如图，若球心。在三棱锥P-A8C内，设Oi为底面AABC的外接圆的圆

心，球。的半径为/?,

则A0严遮=1，00尸2一/?.

因为,4。2=4因+。。3所以/?2=l+(2—R)2,解得R=£V=，R3=等

若球心。在三棱锥P-4BC外，则OO]=R-2,同理由R2=I+(R—2)2解得R=S,此