2026年高考数学二轮复习突破：数列融合创新3 数列中的创新问题

融合创新3数列中的创新问题>对应学生用书P54

【考情分析】数列的新定义、新情境以及与其他知识的融合问题，近几年逐渐成为

高考试题的热点压轴题，有时还伴随着数列与集合、函数、不等式、解析几何等综合

命题，难度较大.

典例［方法导析］

融合1数列中的新定义问题

典例

［I对于数列｛Qn｝，记区间(1,M)内偶数的个数为儿，则称数列伊"为5"的偶数

列.

(1)若数列｛%｝为数列｛研｝的偶数列，求为；

(2)若数列｛%｝为数列｛2九+1+3｝的偶数列，证明：数列｛cn—1｝为等比数列：

(3)在⑵的前提下，若数列｛九｝为等差数列伍"的偶数列，6/1=5,675=13,求数列

｛丛品｝的前n项和

解：⑴在区间(1,33)内的偶数为2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,

26,共13个，

所以"3=13.

(2)在区间(1,2"1+3)内的偶数为2,4,2仆1,2,,+1+2,则。〃="产+1=2〃+

1.

于是。1=2,汕1二=需=2,所以｛c—1｝是首项为2,公比为2的等比数列.

C九—12n

(3)依题意，等差数列｛册｝的公差1=%二巴=2,

5—1

则斯=5+2(〃一1)=2〃+3,乩=^^+1=〃+1,

2

由(2)知，金=2〃+1,则"心=(〃+1)(2〃+1)=(〃+

令数列｛(〃+1>2〃｝的前〃项和为T〃,则「=2X2+3X22+…+(〃+1)义2〃，

于是2〃=2X22+3X2?+…+〃X2”+(〃+1)X2〃'

.?2_7^+1

两式相减得一5=4+(22+23+…+2〃)一(〃+1)*2〃+i=4+=——(〃+1)乂2〃+1=一

1—2

〃X2〃+l

因此7；=〃2什I,而数列｛〃+1｝前〃项和为“2+5+1"=咳±也,

所以S〃=7；+”也="-2〃+】十山坪.

22

［规律方法］对于数列的新定义问题，要耐心读题，分析新定义、新运算的特点，弄

清新定义的性质，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决，有时还需要用类比的方

法去理解新的定义，这样有助于对新定义透彻理解.

对点练1.(2025•山西吕梁一模)若数列4：0，勿，…，斯533)中，^eN\l<i<

n),且对任意的四+］+依一］>2为恒成立，则称数列A为数列成

(1)若数列1,x,y,7为数列”，写出所有可能的羽y；

⑵若"U-数列"A：d\9。2…，斯中，的=1,42=1，6Z/J—2017,求〃的最大值.

解：⑴依题意，因为数列1,x,y,7为““数列"，则+

/+7>2y,

注意到x,故所有可能的x,y为［%=1'或卜='或卜=?，

(y=2(y=3(y=4.

(2)一方面，注意到，〃+|+以7>2为0〃+1—。〃>四一四一1，

对任意的IWiW〃-1,令。,=。叶］一“，则且仇>①_］(2<k<ri—1),

故bk》bk-i+l对任意的2WLW九一1恒成立,

当。］=1,。2=1，。〃=2017时，注意到h\=ci2—6?i=1—1=0,

得bi=(bi-b—J+a.i_q_2)H---卜⑸-bi)十仇》1十1十…+1+0=，一

i-i个

1(2<i<n-l),

=——

此时an—ci\b\+Z?2~I---卜乩一120+1+2T---Fn2=^-(nl)(n—2)①，

即［(〃一1)•(九一2)W2017—1,解得一62W〃W65,故〃W65；

另一方面，为使①式取到等号，所以取。尸Ll(l<i<64),则对任意的2SZW64,

bk〉b「i，故数列｛即｝为“U-数列”，

此时由①式得。65=1+0+1+2+…+63=1+"+63)X63=2QI7,即〃=65符合题意.

2

综上，〃的最大值为65.

融合2数列中的新情境问题

典例［2(2025•山东济宁二模)将所有正整数按照如下规律形成数阵:

第1行123…789

第2行101112…979899

第3行100101102…997998999

第4行100010011002…999799989999

(1)将数列｛3几+1｝与数列｛2鸟的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列｛a",试确

定劭在该数阵中的位置；

(2)将数阵中所有相邻两位数字(从左到右)出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变,

得到一个新数阵，记新数阵第〃行中正整数的个数为bn.

(i)求仇,仇,仇；

(ii)求hn.

解：⑴设3加+1=2〃，因为2〃=(3—1)〃=?・3〃+禺・3〃-1・(-1)+鬣・3〃-2.(-1)2+―+

C：T・3・(一1)〃)+禺・(一1尸,

所以〃7="［%3"+禺3门・(-1)+鬣3厂2.(—1)2+…+1+3・(-1)〃一

11，

所以当且仅当〃为偶教时，加可以取得正整数，数列有公共项，

所以斯=22〃，故々6=212=4096,

所以劭是数阵第4行，第3097个数.

(2)(1)当〃=1时，显然。］=9.

当〃=2时，第2行2位数有90个，其中只有12去掉，

故历=9义10—1=89,

当〃=3时，第3行3位数有900个，其中有两种情况去掉：

百位后十位分别为12,此时有1()个；十位和个位分别为12,此时有9个，

故。3=900—19=881.

(ii)当〃>2时，将第n+\行儿+］个符合条件的〃+1位正整数分为两类：

①个位数字不等于2时，个性数字有9种取法，前面〃位数有儿种取法，这时〃+1

位正整数中有9勿个；

②个位数字等于2时，前面〃位数有种取法，

但这儿个〃+1位正整数中十位数字等于1的勿一|个正整数要去掉，

故个位数字等于2且十位数字不等于1的〃+1位正整数有功一瓦一个,

综上，由加法原理知bn+\=\Obn—bn-].

设hn+]-xhn=(｝O-x)^bn_上%_1)，

所以即%2—10x+l=0,

解得工=5±2n，

所以｛,+i-(5+2通)匕｝是首项为/22-(5+2V6)/?I=44-1876,公比为5—2遍的等比

数列；

｛g+1—(5—2遍也｝是首项为勿一(5—2遥)。产44+18乃，公比为5+2遥的等比数

列；

所以％—(5+2乃也=(44T8^)(5—2遍)行、

—(5—2①)〃“=(44+18Vz)(5十2份)”一।,

所以当〃>2时，/?n=-X[(1176+27)(5+2V6)n-1-(l176-27)(5-2V6)nl],

6

经检验，当〃=1时，5=9也成立，

当〃=2时，。2=89也成立，

综上，乩=以[⑴连+27)(5+2遍)"T一(11遍-27)(5—2遍广T].

6

[规律方法]解决数列的新情境问题首先要理解题意，在阅读理解的基础上，依据题

目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息迁移，从新情境中抽象出等差数

列、等比数列等特殊的数列、转化为数列的通项、性质或求和问题.

对点练2.(2025•广东佛山二模)在等差数列｛斯｝和等比数列｛,｝中，0和也是下表第i

行中的数(i=l,2,3),且0,〃2，。3中的任何两个数不在同一列，b\,bi，仇中的任

何两个数也不在同一列.

第一列第二列第三列第四列

第一行1234

第二行5678

第三行9101112

(1)请句满足题意的数列和｛0｝各有多少个？写出它们的通项公式(无需说明理

由)；

(2)若｛%｝的公比为整数，且〃[+。1=6,数列｛%｝满足“4+|前+(。九一3)/?〃+i=0,求

&｝的前〃项和S〃.

解：(1)对于等差数列｛an｝,设公差为力

当0=1,传=6,的=11时，则d=5,所以斯=m+(〃-l)d=l+5(〃-1)=5〃-4,

=

当=2,他=7,的=12时，则4=5,所以cinci\~\~(n-1)4=2十5(/1-1)=5〃-3,

当0=3,传=6,俏=9时，则d=3,所以。〃=。|一(〃一l)d=3+3(〃-1)=3〃，

当0=4,ci2=7,6=10时，则d=3,所以l)d=4+3(〃-1)=3〃+1,

满足题意的数列｛a九｝有4个，分别为斯=5〃-4,劣=5〃一3,斯=3〃，斯=3〃+1；

对于等比数列｛%｝,设公比为必

当力]=3,3=6,%=12时，则q=2,所以Z?〃=Z;qf=3X2Li,

O/O\"一1

当少=4,。2=6,优=9时，则所以。〃=2q"一|=4义(鼻),

©n—1

(2)因为｛丛｝的公比为整数，由(1)知乩=3X2〃＞，则加=3,所以©=6一"=3,

;

所以斯=3〃，所以3HX3(/7+1)c/t+(3n_3)X3X2-0,

(l-n)2n(n+l-2n)2n(n+l)2n-n2n+12n2n+1

所以

7ix(7i+l)nx(n+l)nx(n+l)nn+1

竺+"____1_2n_2n+1c2n+12n+2-2n+1

所以｛C九｝的前〃项和5〃=・一=2------=---------------

223nn+1n+ln+1

融合3数列与其他知识的融合问题

典例已知YU)为定义域M内的连续函数，人X)为其导函数，常数若各项不相

等的数列｛&｝满足〃火＞〃，ra+D=,则称数为十)的“拉格朗日数

r㈣-'a⑷

an-

列”，简记为“■”)一数列”.

(1)若函数g(x)=lnx,数列伉｝是g(x)的“⑴一数列"，且毛=e.

(i)求历,优；

(ii)证明：彷〃｝是递减数列；

⑵正项数列｛c〃｝是函数/2(x)=r+6sinR的"■?)一数列"，已知c〃+i£(c,c〃)，记｛金｝

的前〃项和为S”证明：c>0时,Sn+cn^(n—l)c+2c\.

解：⑴(i)因为加=e,g'(x)=工，

X

所以屋(勿)=(=哈詈，得岳=e-1,

g，(d)=工=幽二2皿，得仇=产二.

6

b3e-1-l'In(e-l)

(ii)因为x>1时，易知OVlnxV*—1,

所以巫vi,

x-l

因为仇>1,所以0<屿<1,

如一1

所以0<工<1,所以'>1,…，以此类推乩>1,

匕2

要证hn+\<hn,

只需证3>工，即证ln〃〃>"二=1一工，

bn一13bnbn

设函数9(x)=lnX-1+i(x>l),

八X-l

(p(x)=1-——1=—,

XX2X2

当工£(1,+8)时，9a)>o,9(x)单调递增，

所以p(x)>9(l)=0,

所以口。-1+工>。即lnb”>l一工

如如

即9->白>(),

%+ibn

所以bn+\<bn,

所以数列仍〃[是递减数列.

(2)要证S〃+c〃2(〃—l)c、+2c”

当〃=1时，Si+c[=2c”成立.

当〃22时，只需证S〃+c〃-2cl>(〃一l)c,

设S〃+c〃一26为数列｛d〃｝的前n-\项和，

则d“=S?+i+金+1-2口一(S”+c〃—2口)=2金+[—c〃，

所以只需证2c“+]—Q>C,

设“a尸心)—喂萼烬为)'可得

“。)=/2。)」16)一4°,

cn-c

由“©一数列“定义得“'(Q+i)=(),

/?,(x)=3x2+6cosx,。"(1)=6区一6sinx=6。-sin工)》0,

所以力。)在(0,+8)单调递增，所以"Q)在(0,+8)上单调递增，

又因为H'(金+1)=0,

所以当x0(0,金+i)时，H'(x)V0,H(x)单调递减，

当x£(c〃+i，+8)时,H'(x)>0,H(x)单调递增，

因为2c〃+I—c>c〃+i，"(x)在(c”+i，+8)上单调递增，

只需证”(2c、〃+|—c)>"(c〃)="(c、)，

设①(》)=H(x)—H(2gi+j—x),x£(0,+1)，

则co\x)=H\x)+H'(2c〃+i-x),coHM=H"(x)一H"(2c〃+1—工)，

因为(x—sinx)'=1—cosx^O,

所以。”(幻单调递增，所以〃〃。)单调递增，

因为x£(0,c„+]),所以2Gj-]—x>x,所以①"(x)V0,co'(x)单调递减，

所以G'(X)>①'(c”+D=0,所以①⑴单调递增，

所以①(x)V刃(金+0=0,即H(x)<H(2c〃+1—x),

所以H(2cn+]~c)>H(c)=H(cn),

所以2c〃+i—c>c,i，即2金+i—c”>c,

综上所述，c>0时,S〃+c〃》(〃一l)c+2cl.

对点练3定义:若对VMN*,心2,公-1+公+1W2诙恒成立,则称数列｛为｝为“上凸

数列”.

⑴若即=J*—1,判断｛斯｝是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，

请说明理由.

(2)若｛〃〃｝为“上凸数列"，则当加2〃+2(如〃£N*)时,am+an^atn-i+an+i.

(i)若数列5为｛斯｝的前〃项和,证明:S6金什斯)；

(ii)对于任意正整数序列xi，12，©，…，工”…，必(〃为常数且〃22,〃£N"),若

—1恒成立，求入的最小值.

解：⑴｛〃“｝是“上凸数列”，理由如下:

(x+l)3(x-1)-y/x3(x+2)

则尸产」X

/a22

J(x+1)2-1J(x+1)-ljx-1

卜-i

当x^l时，(x+1)3(X-l)-p(x+2)=-2x-1<0,

所以J(x+1)3(久一1)Vk3(K+2),

所以ra)<。，./u)在区间口，+8)上单调递减,

所以的)>fin+1),an+\~an>an+2~。〃+1，

所以〃”+2+a〃v^2a〃+i,

所以｛恁｝是“上凸数列”.

(2)(i)证明:因为｛斯｝是“上凸数列”，由题意可得对任意1W/W〃(/WN>ai+an-i+

1+。〃-i+2NQi-2+〃〃-i+3…2〃2+〃，L1+。〃，

所以25〃=(。।+atl)+(妆+。〃-1)H-----F1+他)++。])>〃(。1+斯),

所以S,[e](ai+«?).

(")令斯=J几2

-1,

由(1)可得当时=几2—1时，｛斯｝是“上凸数列”,

n

+1)2—12(£/—A)?—1,当且仅当

(Z/一九X\=X2=-=Xn-\时等号成立,

1=1Ji=l

所以h2〃一1,

综上所述,其的最小值为凡一L

［课下巩固检测练(二十五)］数列中的创新问题

(每题10分)

1.(2025•福建宁德三模)设函数兀r)=xcosx.

(1)求函数g(x)=/(x)—x(0VxW1)的值域；

(2)当OVxW兀时，式月或若恒成立，求〃的最小值；

八I乙

nn

(3)若0=1,4〃+I=/3J，证明：£。COSOAW2—2知+[(九DN*).

k=lk=l

n

附：nCOS四=COS6Z|-COS〃2・COS。3•…・COS

k=l

角翠：(1)由g(_r)=y(x)—x=xcosx-x,x£(0,1],得g'(x)=cosx—xsinx-l,

因为x£(0,1],则cosx—IVO,—xsinxVO,即g'(x)V0,

所以g(x)在区间(0,1]单调递减，即g(x)值域为[cosl—1,0).

(2)在区间(0,可上，由於)恒成立，得2〃2[(/+2)COS%]max

人I4

设/z(x)=(x2+2)cosx,当北质可时，/2(x)W0,故只需研究R0(o,时的情形,

/?f(x)—2^cosx—(2+x2)sinx,设s(x)=2xcosx—(2+x2)sinx,

JTCOS

在区间(0,5)上，s'(%)=-4xsinx-x<0f

所以小a)在区间(o,§上单调递减，所以力。)<»(0)=0,

即〃0)=(工2+2)85X在区间(0,，上单调递减，所以/?(x)</?(0)=2,

所以2〃22,解得故Q的最小值为1.

(3)由0=1,即+1=人。〃)，得。"+1=Q〃COSQ”，即

an

所以Rcos依=丝•至巴…・皿=。〃+1，

k=iaia2a3an

由(1)可知，当工£(0,i]时，yu)—xvo,即/u)vx,

所以当4]=1,0<。2=/(2])<0=1,

当0V&W1时,有0Va〃+]V〃〃Wl,

又由(2)知x£(0,1]时，cosxW——,所以％^=85斯W——,

」x,+2anSp+2

所以工2出=工+也，故斯W二一一三，

aaa

n+l2anan2n+ln

所以g6/A<