2026年高考数学复习讲义：概率与统计解答题全归纳（含决策性、赛制及马尔科夫链等问题）原卷版

专题20概率与统计解答题全归纳（含决策性、赛制及马尔科夫链等问题）

录

01析•考情精解

02破•题型攻坚

考点概率与统计解答题全归纳

真题动向

知识点1根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数

知识点2样本相关系数

知识点3回归分析

知识点4独立性检验

必备知识

知识点5离散型随机变量分布列均值，方差

知识点6二项分布

知识点7超几何分布

知识点8正态分布

题型01统计估计与概率

题型02统计图表与概率

题型03残差与决定系数

命题预测题型04回口分析

题型05独立性检验

题型06二项分布与超几何分布

题型07正态分布

题型08概率中的决策问题

题型09概率中的赛制问题

题型10马尔科夫链

题型以中档解答题为主:，分俏为14分左右。整体难度中档，是得分的关键板块之一。

1.高频基础考点：样本空间、随机事件的关系与运算，频率与概率的区别，互斥事件、对立事

件的辨析及简单概率计算。

命题轨

2.核心基础考点：概率模型，古典概型，条件概率、全概率公式考查频率较高，还会涉及相互

迹透视

独立事件的概率计算。

试题多以校园活动、生活安全、保险、竞赛等实际场景为背景，考查学生将实际问题转化为概率

模型的能力。。

考点2025年2024年2023年

考点频

上海卷T19,14分

次总结概率统计上海卷T17,14分上海卷T19,14分

预计在2026年高考中，解答题中利用排列、组合考查离散型随机变量的分布列、期望、方差、

2026命

二项分布和正态分布等问题，有时亦考查回归方程、统计案例的相关内容，加强阅读理解与信息

题预测

处理能力.

•题型攻坚

考点概率与统计解答题全归纳

1.（2025.上海・高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4x100米混合泳接力金牌.以下是历届奥

运会男子4x100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列.

206.78207.46207.95209.34209.35

210.68213.73214.84216.93216.93

⑴求这组数据的极差与中位数;

(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；

⑶若比赛成绩>-关于年份x的回归方程为>'=-0.3\\x+b,年份x的平均数为2006,预测2028年冠军队的

成绩(精确到0.01秒).

2.(2024.上海.高考真题)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生

中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

时间范围学.业成绩[0,0.5)[0.5.1)[1,1.5)[1.5,2)[2.2.5)

优秀5444231

不优秀1341471374027

(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于I小时人数约为多少？

(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)

(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？

22

(附：Z=;~~吗”)”­其中”=a+〃+c+d,P(Z>3.841)«0.05.)

(a+/?)(c+d)(a+c)(Z?+d)v7

3.(2023.上海•高考真题)21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行，下表为某汽车模型公司

共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：

红色外观蓝色外观

米色内饰812

棕色内饰23

⑴若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B取到模型有棕色

内饰，求P(8),P(A|A),并据此判断事件A和事件8是否独立：

(2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。

为了得到奖品类型，现作出如下假设：

假设I：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和内

饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。

假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元。

假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。

请判断以上三种结果分别对应儿等奖。设中奖的奖金数是X,写出X的分布，并求X的数学期望。

命QQ❸

知识点1根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数

众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系

（1）平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘

积之和近似代替.

（2）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.

（3）众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据.

知识点2样本相关系数

（1）样本相关系数：设由变量工和），获得的两组数据分别为％和X（/=1，2,…，〃），其对应关系如下表

所示：

变量XA4•%%•・・

变量yJi力乂•••

两组数据工和上的线性相关系数是度量两个变量无与y之间线性相关程度的统计量,

_1n_1n

其中，x=-Zx，5=-Z.x，它们分别是这两组数据的算术平均数.

〃f=l〃/=|

（2）相关系数「与相关程度

（1）当/■>（）时，称成对样本数据正相关；

当,<0时，成对样本数据负相关；当r=0时，成对样本数据间没有线性相关关系；

（2）样本相关系数r的取值范围为［-1,1］；

当卜|越接近I时，成对样本数据的线性相关程度越强；

当H越接近。时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

知识点3回归分析

（1）残差：对于响应变量匕通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的;称为预测值，

观测值减去预测称为残差；

（2）残差图：利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号或身高数据，或

体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图：

(3)残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的

宽带越窄，说明模型拟合精度越高；

一般地，建立经验回归方程后，通常需要对模型刻画数据的效果进行分析，借助残差分析还可以对模型进

行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策；

(4)残差平方和：£()，「［『称为残差平方和，残差平方和越小，模型的拟合效果越好：

1=1

(5)决定系数R2比较，R、1一号———,R2越大，表示残差平方和越小，模型的拟合效果越好，R2

2

£(yf-y)

|=!

越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.

知识点4独立性检验

n(ad-he)2

(1)/计算公式：/=其中n=a+l)+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

⑵临界值的定义：对于任何小概率值*可以找到相应的正实数与，使得=a成立，我们称与

为a的临界值，概率值a越小，临界值与越大.

⑶独立性检验：/70：p(r=i|x=o)=p(r=i|x=i),通常称名为零假设或原假设.

基于小概率值a的检验规则是：

当/之/时，我们就推断，。不成立，即认为X和V不独立，该推断犯错误的概率不超过

当/时，我们没有充分证据准断儿不成立，可以认为x和y独立.

这种利用Z2的取值推断分类变量x和y是否独立的方法称为"独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称

独立性检验.

(4)/独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

(5)独立性检验的一般方法

①根据题目信息，完善列联表；

②提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。

Mad-beY

2求出/的值;

③根据列联表中的数据及计算公式Z

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

④当％?N%时，我们就推断“。不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过a；

当/<%时，我们没有充分证据推断“0不成立，可以认为两个变量相互独立。

知识点5离散型随机变量分布列均值，方差

⑴E(X)=玉P|+当〃2+…十X"P”=ZX,.P„

r=l

2+(西一凤2

(2)D(X)=(xI-E(X))p1+X))2〃j++(xn-E(X))pn

知识点6二项分布

1、定义

一般地，在〃次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为〃，不

发生的概率9=1一〃，那么事件A恰好发生攵次的概率是P(X=A)=C：〃、""(Z=0，1,2,…，〃)

于是得到X的分布列

X01・・・k•••n

n

Pc,P°q•••c：pl-•••C：p"q。

由于表中第二行恰好是二项式展开式

(夕+〃)"=C：/"+C：*3+••+《+…+C：各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从

参数为〃，〃的二项分布，记作p),并称〃为成功概率.

注意：①由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即〃=1时的二项分布，所以二项

分布可以看成是两点分布的一般形式.

②本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.

3、二项分布的期望、方差

若X〜8(〃,〃)，则XX)=叩,Q(X)=〃p(l-〃).

知识点7超几何分布

I、定义

在含有M件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则事件｛X=k｝发生的概率为

P(x=k)=，k=0,1m,其中m=min{M,«},且〃WN,M<NtnyM,NwN*,

CN

称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变最X服从超几何分布.

X0i••・m

「tnrf|./w

P•••

G1Q

2、超几何分布的适用范围件及本质

(1)适用范围：

①考察对象分两类：

②己知各类对象的个数；

③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数丫的概率分布.

(2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的.

知识点8正态分布

1、定义

随机变量X落在区间(〃，句的概率为=即由正态曲线，过点(〃，0)和点伯，0)的

两条X轴的垂线，及戈轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是x落在区间m,切的概率

的近似值.

一般地，如果对于任何实数“，b(a<b),随机变量X满足P(a<X«/?)=，(x)dx，则称随机变量X服

从正态分布.正态分布完全由参数〃，b确定，因此正态分布常记作如果随机变量X服从正态

分布，则记为XM4,/).

其中，参数"是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；。是衡量随机变量总

体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.

2、3b原则

若XN(〃，/),则对于任意的实数。>0,P(〃-avX《4+4)=J：为下图中阴影部分的面积，

对于固定的〃和。而言，该面积随着。的减小而变大.这说明。越小，X落在区间(〃-a,〃+a］的概率越大，

即X集中在〃周围的概率越大

特别地，有P(〃一b<XK〃+b)=0.6826；P(/i-2(T<X<//+2cr)=0.9544；P(p-3cr<X<_u+3(y)

=0.9974.

由P(〃—3bvXK〃+3b)=0.9974,知正态总体几乎总取值于区间(〃一3cr,〃+女r)之内.而在此区间以外

取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件.在实际应用

中，通常认为服从于正态分布M#，/)的随机变量X只取(〃-3b,〃+3b)之间的值，并简称之为3。原则.

题型01统计估计与概率

1.小明有自觉体锻的习惯，某运动软件记录了其每天运动的时长(单位：min),小明从最近90天的记录

中随机选取了10天的记录，具体数据如下：68、34、70、45、74、126J08、66、36、72.

⑴求这组数据的第60口分位数：

⑵运动时长不超过60min为不达标，估算从90天记录中随机抽取1天，该天运动时长不达标的概率：

(3)从这10个数中随机删除2个数得到一组新的数据，求前后两组数据的极差相同的概率.

2.一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量(单位：kg),按

从小到大的排序结果如下：62,74,75,84,84,85,85,85,86,87,89,92,93,94,97,99,101,

104,107,117.

⑴求该水果店过去2()天苹果日销售量的平均数；

⑵若以过去20天苹果的日销售量的笫80百分位数作为下个月每日苹果的平均进货量，试确定下个月每日

苹果的平均进货量；

(3)若从过去20天中随机抽取3天，分别求“3天中每天的苹果销售量均超过90kg”与“3天中恰有2天的苹果

销售量超过90kg”的概率.

3.小闵同学某一天进行了10次100米短跑集训，其中上午进行了6次，下午进行了4次；如下是他上午

集训6次的成绩(单位：s)：13.713.9、14.9、15.3、12.9、13.3.

⑴求这6次成绩的中位数；

(2)参考这一天上午集训的数据，用经验概率估计概率，求该同学训练10()米短跑3次至少有一次用时小于

13s的概率；

(3)若该同学下午4次的集训原始成绩记录丢失，但记得这4次的平均成绩是14.25s,方差是0.75,求他这

一天10次训练成绩的平均值和方差.

题型02统计图表与概率

4.为培养学生的社会责任感，某校开展了为期•学期的“温暖社区，青春奉献''志愿服务活动.活动结束后，

学校从甲、乙两个班级中统计了部分学生的志愿服务时长(单位：小时)，统计结果用茎叶图记录如图所

示(十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”).已知甲组有9名学生的数据，乙组有10名学生的数据.

_____E—乙______

8T25

95531201489

6423256

(1)分别写出甲、乙两组学生服务时长的第70百分位数；

⑵从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率；

(3)记甲组志愿服务时长的方差为1；在甲组中增加一名学生A得到“新甲组”，若A的志愿服务时长为27,

则记“新甲组”志愿服务时长的方差为s；；若A的志愿服务时长为20,则记“新甲组”志愿服务时长的方差为学；

通过计算比较£、$：、的大小(结果精确到0.1),并从数学角度解释这一现象.

5.某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示.

3104月01日0203040506

迄玲

•a•安・巴

大部分晴阵雨阵雨阵雨多云间歇性多云多云

17/9℃18/9℃18/10℃19/10℃18/9℃19/10℃20/10℃

07080910111213

迄•;e)稔

内*a•

阵雨大部分多云大部分晴多云大部分晴阵雨阵雨

19/10℃19/10℃20/8℃18/8℃18/10℃17/8℃17/9℃

⑴从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率;

(2)根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9℃,温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，

例如3月31日的最高温度为17T,最低温度为9。(2,当天的温差为8。(2记4月I日至4日这4天温差的

方差为s：,4月11日至14日这4天温差的方差为学，若求4月14日天气预报的最高气温；

(3)从3月31口至4月13口中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9。(2的天数，求X的分布列及期望.

6.某校高三年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中班机抽取100

份作为样本进行统计，将样本的成绩(满分10。分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：［40,50).［50,60)、

L、［90,100］得到如图所示的频率分布直方图.

频率/组距

0.030...................［—1

0.020.............r-4-k-i

0Trfflm.

0405060708090100

（1）求实数加的值；若年级准备选取80分及以上的学生进入下一轮竞赛，已知该校高三年级有1000名学生

估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数；

（2）王老师抽取了10名参加竞赛的学生，他们的分数为:［、吃、/、L、・%.已知这10个分数的平均数x=91,

标准差s=5,若剔除其中的96和86这2个分数，求剩余8个分数的平均数与方差.

7.王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分

布直方图,现将［50,60）记作第一组，［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100］分别记作第二、三、四、五组.已

知第一组、第二组的频率之和为0.3,第一组和第五组的频率相同.

,棘率制即

0.015......................

0.020

-O^5060708090100分,

⑴估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；

（2）王老师将测试成绩在180,90）和［90,100］内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求

被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在［90,100］内的概率；

⑶已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40,第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70,

据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差.

题型03残差与决定系数

X.（202s.云南丽江•三模）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了4次试验，

得到数据如下：

零件的个数X

2345

（个）

加工的时间y

2.5344.5

（小时）

参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式6=--------，a=y-bx

Lxi-nx~

1=1

(1)求)'关于x的线性回归方程亍=bx+a；

⑵求各样本的残差；

(3)试预测加工10个零件需要的时间.

9.某汽车研发公司的工程师为了解一款新型汽车在不同行驶速度x(km/h)下油耗)，(L/100kni)的变化规

律，进行了相关实验，记录不同速度下的油耗数据的散点图如下：

i-i(-1

⑴根据散点图求y关于x的经验回归方程(精确到0.01)；

(2)根据线性回归方程，绘制残差图，并分析线性回归方程的拟合效果(若残差的平方和小于0775,则说明

拟合效果良好，否则拟合效果较差).

附：h=^—^,-----------=---------，y=bx+a.

力a-a欣2

/-I1-1

10.某公司为了解年研发资金X(单位：亿元)对年产值y(单位：亿元)的影响，对公司近8年的年研发

资金将和年产值K(/eN,1</<8)的数据对比分析中，选用了两个回归模型，并利用最小二乘法求得相

应的y关于x的经验回归方程：

©y=13.05x-48.4；(2)y=0.76x2+c.

()求2的值;

⑵已知①中的残差平方和6。3610,②中的残差平方和S?。658,请根据决定系数选择拟合效果更好的经

验回归方程，并利用该经验回归方程预测年研发资金为20亿元时的年产值.

vQg8

参考数据：1>=64,方另=448,E<=684,-y)2=32900.

i-l1=1r-1i=l

参考公式；刻画回归模型拟合效果的决定系数2=1-5―

1=1

H.（2025・湖南•三模）中国的非遗项Fl丰富多样，涵盖广泛，体现了中华民族的智慧和独特的文化魅力.春

节期间某地为充分宣扬该地非遗物质文化，加大非遗传承人的技艺展示.该地市场开发与发展机构统计了

非遗传承人的技艺展示量与市场消费收入的6组数据如下表：

技艺展示量X（单位：个）212324272932

市场消费收入y（单位:万元）6II20275777

⑴若用线性回归理论进行统计分析，求市场消费收入），关于技艺展示量x的回归方程），=尿+〃（精确到（）.1）；

（2）若用非线性回归模型求得市场消费收入,，关于技艺展示量x的回归方程为丁=0.侬。以33旦决定系数

2二0.9522,与（1）中的线性回归模型相比，应用决定系数R：说明哪种模型的拟合效果更好.

附：一组数据（4,匕），（巧,为），…，（Z，”），其回归直线丁=辰+〃的斜率和截距的最小二乘估计为

-------=，〃=亍一或；决定系数*=1一/------r

r-i

参考数据:丈kT(X-3)=557

=3930,

1=1

线性回归模型的残差平方和为方®-yj=236.64（其中士，£.分别为非遗传承人的技艺展示量和市场消

;=|

费收入，1=1,234,5,6）.

题型04回归分析

12.为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量丁（单位：克每

立方米）与样本对原点的距离x（单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值.（表

]19

中勺=­，）=GWX）.

及9片

力（%一2）29__?一一

XuZ（£7）（）1-刃2（%-〃）（£一丁）

/=1/=11=11=1f=1

697.900.212400.1414.1226.13-1.40

⑴利用相关系数的知识，判断y=a+云与y=c+4哪一个更适宜作为平均金属含量）'关于样本对原点的距

x

离上的回归方程类型；

⑵根据（1）的结果建立）'关于上的回归方程，并估计样本对原点的距离x=20米时，平均金属含量是多少？

13.某科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：

特征量第1次第2次第3次第4次第5次

=8x=11

X菁=2X2=5七二95

另=12%=8X=8北=7

yy2=1。

⑴求成对数据（4Y）（i=l,2,3,4,5）的相关系数；

⑵求特征量>'关于x的回归方程，并据此估算特征量x=10时的值；

（3）设特征量x作为随机变量X服从正态分布N出吟,其中〃为5次试验中x的平均数，4为5次试验中

X的方差.求P（3.84<x<13.32）.（本题所有答数精确到0.01.）

14.某生物小组为了研究温度对某种酶的活性的影响进行了一组实验，得到的实验数据经整理得到如下的

折线图：

参考数据：之y=52.5,£（七x）（yi刃=85£（力一方—5.5.

i=l«=lVr-l

（1）由图可以看出，这种能的活性指标值y与温度工具有较强的线性相关性，请用相关系数加以说明；

⑵求），关于X的线性回归方程，并预测当温度为3（）℃时，这种酹的活性指标值.（计算结果精确到（）.01）

题型05独立性检验

15.某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生

产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的2x2

列联表:

产品合格不合格合计

调试前451560

调试后35540

合计8020100

(1)根据表中数据，依据显著性水平a=0.01的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；

(2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产

品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为>,求X的分布和期望；

(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件,记其中合格的件数为丫，

求使事件“Y=k”的概率最大时k的取值.

参考公式及数据：z2=y---、/"(哙/"、(~齐，其中〃=以十。+C+4.

(a+b)(c^d)(a+c)(b+d)

尸仍々。)0.050.0250.010.0050.001

Zo3.8415.0246.6357.87910.828

16.某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分.已知服务改进前某天共有1000

个订单，其好评率为85%；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评订单为1350个.

(1)已知某100个好评订单评分的极差为2,数据如下(其中XV10,〃是正整数)

服务评分X8.599.510

订单数量n3213114

求这100个好评订单的第40百分位数.

⑵根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列2x2列联表，并依据a=0.05的独立性检验，判断订单

获得好评与服务改进是否有关.

好评订单非好评订单合计

服务改进前1000

服务改进后13501500

合计

附：______〃&以二bcf_______,

p(z2>3.841)^0.05.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

17.某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表:

学业成绩使用手机K2小时使用手机>2小时

良好m20

不良好n40

记事件A=”学业成绩良好且使用手机K2小时”，事件3="学业成绩不良好且使用手机42小时”，已知事件

A的频率是事件B的频率的3倍•.

⑴求表中的〃?，〃的值；

(2)记使用手机K2小时的学生中学业成绩良好的概率为P,求P的估计值；

(3)根据上述数据，请画出2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有

关？请说明理由.

参考数据：参,国器而常E其中

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

题型06二项分布与超几何分布

18.2025年11月9日至11月21日，第15届全运会在广东，香港，澳门成功举办，某运动场馆内共有志

愿者36名，其中男生12名，女生24名，这些志愿者中会说日语和会说韩语的人数统计如下：

男生志愿者女生志愿者

会说日语812

会说韩语mn

其中〃?,〃均为正整数，6</«<8.

⑴从这36名志愿者中随机抽取两名作为某活动主持人，求：抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概

率；

(2)从这些志愿者中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的志愿者是男生“，用B表示事件”抽到的

志愿者会说韩语“；试给出所有符合条件的〃?，〃的值，使得事件A与8相互独立，并说明理由.

19.图为某平台向100名观众征集某电影的评分结果的频率分布直方图.

⑴求机的值；

(2)估计这100名观众评分的平均数：

⑶从评分在［60,70)和［70,80)的观众中按照分层抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7人中随机

抽取3人进行访谈，求被抽到的3人中评分在［60,70)的人数X的分布、期望和方差.

20.已知一个不透明的盒中有〃个小球(小球除编号不同外其余均相同)，这〃个小球的编号分别为1,2,

3,…，(〃23,GN*).现进行如卜摸球活动：

(1)若〃=5,从盒中一次性摸取2个小球，求这2个小球编号不相邻的概率；

(2)如果摸球前约定“固定重叠原则”：即随机摸取盒中攵个小球(0vkW〃，AeN”)，记录编号后放回，再

重复以上操作一次，记这两次操作中被重复摸取的小球数为X.

(i)若〃=6,k=2,求概率MX=1)；

(ii)求使概率P(X=㈤取得最大值时m的值.

21.随着智能手表的普及，越来越多的学生使用其功能，为了了解学生使用智能手表功能的情况，现从某

校随机抽取了300名学生，对使用A8G四种功能的情况统计如下：

功能种数性别0种1种2种3种4种

男1852422810

女1258482210

在上述样本所有使用3种功能的人中，统计使用ARC,。的人次如下:

功能ABCD

人次37403538

假设不同学生使用智能手表功能的情况相互独立，用频率估计概率.

(1)从该校随机选取一人，若已知该学生至少使用两种功能，估计该学生恰好使用三种功能的概率；

(2)从该校使用三种功能的学生中，随机选出3人，记使用“功能的人数为X人，求X的分布列和期望;

(3)从该校男、女生中各随机选一人，记他们使用功能的种数分别为匕Z,试比较RZ期望的估计值

E(y),E(z)的大小(结论不要求证明).

题型07正态分布

22.A校抽取66名高一年级学生测量身高，因某种原因原始数据遗失.已知该样本是按照分层随机抽样的方

法抽取的，其中男生34名，身高平均数为173cm：女生32名，身高平均数为161cm.该66名学生身高的方

⑴求该66名学生中身高在［1695172.5)(单位：cm)内的人数；

(2)试用已知数据估计A校高一年级全体学生身高的平均数；(结果精确到0.1cm)

(3)若一组数据落在［工-2s*+2s］(5是平均数，$是标准差)内的频率不小于92%,则称这组数据满足“常

态”.试判断这66个身高数据是否满足“常态”，并说明理由.

23.某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差.已知每包糖果的实际净

含量4(单位：g)服从正态分布N(5(X),2S).

⑴随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率(精确到0.001)；

(2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为X.求X的分布和期望(精确到

().(X)1).

参考数据：①(1卜0.8413,0)(2)«0.9772,①⑶。0.9987,其中y=例刈为标准正态分布函数.

24.某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择.为了解该校学生是否同意“三项体育活动中要有

篮球”，学校随机调查了200名学生，数据如表：

男生女生合计

同意7050120

不同意305080

合计100100200

（1）能否有99%的把握认为学生对■“三项体育活动中要有篮球''这种观点的态度与性别有关？

（2）现有足球、篮球、跳绳供学生选择.若甲、乙两学生从三项运动中随机选一种（他们的选择相互独立）.若

2

在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为记事件A为“甲学生选择足球“，事件8为“甲、

乙两名学生的选择不同“，判断事件A8是否独立，并说明理由.

（3）经观察，该校学生每分钟跳绳个数X〜N（185/69）,由往年经验，训练后每人每分钟跳绳个数比开始时

增加10个，该校有1000名学牛，预估经过训练后每分钟跳182个以上人数（结果四舍五入到整数）.

n(ad-bcy

参考公式和数据：/2=其中〃=a十〃+c+4；

(a+b)(c-id)(a+c)(b+d)'

2（/2天）0.0230.0100.005

5.0246.6357.879

若X-N(〃,b2),!/!ijP(|X-/z|<c-)^0.6827,<2b)=0.9545,PQx(3b)《0.9973.

题型08概率中的决策问题

25.为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消贽满800元（含

800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）

方案I：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸

出I次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）：

方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、人小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖

规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠.

（1）顾客A选择抽奖方案2,已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；

⑵顾客B恰好消费了800元，

①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）;

②试从实付金额的期望值分析顾客8选择何种抽奖方案更合理.

26.由于X病毒正在传染蔓延，对人的身体健康造成危害，某校拟对学生被感染X病毒的情况进行摸底调

查，首先从两个班共100名学生中随机抽取20人，并对这20人进行逐个抽血化验，化验结果如下：

1,956,2,3,8,5,3,4,2,6,10,5,5,2,1,7,6,6.已知指数不超过8表示血液中不含X病毒；指数超过8表示血液中

含X病毒且该生已感染X病毒.

（1）从已获取的20份血样中任取2份血样混合，求该混合血样含X病毒的概率；

⑵已知该校共有1020人，现在学校想从还未抽血化验的1000人中，把已感染X病毒的学生全找出.

方案A：逐个抽血化验；

方案少按40人分组，并把同组的40人血样分成两份，把其中的一份血样混合一起化验，若发现混合血液

含X病毒，再分别对该组的40人的另一份血样逐份化验；

方案C：将方案8中的40人一组改为4人一组，其他步骤与方案6相同.

如果用样本频率估计总体频率，且每次化验需要不少的费用.试通过计算回答：选用哪一种方案更合算？（可

供参考数据：O.940®0.014,0.94'=0.013,0.9、0.656,0.9、0.5905）

27.根据相关研究报告显示，预计2025年电商交易额突破18亿元，网购用户规模接近9亿.下表为某网店

统计的近5个月的利润丁（单位：万元），其中1为月份代号.

月份2024年12月2025年1月2025年2月2025年3月2025年4月

月份代号X12345

利河y/万

86.35.13.22.4

元

⑴依据表中的统计数据，计算样本相关系数精确到0.01）,判断是否可以用线性回归模型拟合》与八・的

关系；若可用，求出了关于x的经验回归方程，并估计2025年5月该网店利润：若不可用，请说明理由；

（2）该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案.方案一：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖

的概率均为且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折，其余情况不打

折.方案二：从装有8个形状大小、完全相同的小球（其中红球3个，白球1个，黑球4个）的抽奖盒中，一

次性摸出2个球，其中奖规则为：若摸出1个红球和1一个白球打六折，摸出2个黑球打八折，其余情况不打

折.某顾客计划在此网店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.

£(一)(—)

参考：b=J----------------

£(%一『

r=l

题型09概率中的赛制问题

28.（2025•安徽蚌埠•模拟预测）某市举行中学生排球比赛，甲、乙两所学校代表队争夺比赛的冠军，比赛采

用三局两胜制.根据以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为0.6,0.4,且每局比赛的结果

相互独立.

⑴求甲代表队夺冠的概率；

⑵比赛开始前，工作人员采购了5个新球作为比赛用球放在袋子中，新球一经使用就变成“旧球”，“旧球”

可绊续使用.每局比赛前，裁判员从袋中的5个球中随机取出一个球用于比赛，且局中不换球.每局比赛

结束后，将本局使用的球放回袋中，与袋中原有的球混合.记甲、乙两校代表队决出冠军后，袋中新球数

量为X，求随机变量X的分布列与数学期望.

29.甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，