2026年高考数学复习讲义：集合与逻辑（解析版）

专题01集合与逻辑

目录

01析•考情精解......................................

02构•知能框架......................................................2

03破•题型攻坚......................................................3

考点一集合初步...................................................3

真题动向

知识1有限集的子集个数确定

必备知识知识2根据两集合的关系求参数的方法

知识3集合的运算性质

题型1元素与集合的关系题型2根据集合的包含关系求参数

命题预测

题型3集合的交、并、补运算及求参问题题型4集合中的新定义问题

考点二常用逻辑用语..............................................9

真题动向

知识1命题真假判定

必备知识知识2集合判断法判断充分条件、必要条件

知识3根据充分、必要条件求解参数

命题预测题型1命题真假判定题型2充分条件与必要条件

析•考情精解

命题轨从近三年高考试题来看，集合与常用逻辑用语均属基础考点，多以4分选择题形式呈现。集合部

分重点考查交、并、补等基本运算，常与一元一次、二次不等式或指数、对数不等式解法交汇，

迹透视

需通过集合表示方法的转化与化简求解，数轴法和特殊值法是常用技巧。常用逻辑用语核心考点

为充分条件与必要条件的判断，常与其他知识结合，兼具基础性与综合性。此外，全称量词与存

在量词命题的真假判断偶有考查。整体侧重考查考生的逻辑思维能力与转化能力，注重逻辑推理

素养的体现。

考点2025年2024年2023年

考点频

集合上海卷T1,4分上海卷T1,4分上海卷T13,4分

次总结

常用逻辑用语上海卷T16,4分

预计在2026年高考中，集合仍为必考基础考点，大概率以5分单选题形式出现，侧重交、并、

2026命

补运算，多与一元一次、二次不等式交汇，需用数轴法辅助求解，偶涉含参问题或空集特例。

题预测

常川逻辑用语与其他知识交汇，判断命题真假，整体难度不高。

^^SNO.2

构•知能框架

元素椅征

元事与集合的关系

元素与集合

集合的双示方法

常见效集

集合同的关系子集、真子一、相等、空，

要木运x交第、并第、林缜

值合的运算

集合与常用运辑用语常用的运■慢JR

0r.如是g的充分条

充分条件与必件.g♦的必要条件

要条件〈判定方法

命期

命踵与反证法

反证法

•题型攻坚

考点一集合

1.（2023•上海•高考真题）已知尸={1,2},。={23},若知={幻"“且”'。）,则加=（）

A.{1}B.{2）C.U，2}D.{1,2,3}

【答案】A

【分析】根据给定条件，直接求出集合M中的元素作答.

【详解】因为尸={1,2},由％",得x=l或x=2,

又。={2,3},且x£。,即有x/2且x工3,因此x=l,

所以"={1}.故选:A

2.（2025•全国二卷•高考真题，3,5分）己知集合人={-4,0』,2,8}1={川/=可,则408=（）

A.{0,1,2}B.{128}

C.{2,8}D.{0,1}

【答案】D

【详解】8={X|V=X}={0,—1,1},故AQ8={0」},故选：D.

3.（2025・全国一卷•高考真题，2,5分）已知集合U=,k是小于90勺正整数},A={l,3,5},则々A中元素

个数为（）

A.0B.3C.5D.8

【答案】C

【详解】因为U={L2,3,4,5,6,7,8},所以。人={2,4,6,7,8},«A中的元素个数为5,故选：C.

4.（2024・上海.高考真题）设全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,%则入=.

【答案】{1,3,5}

【分析】根据补集的定义可求久.

【详解】由题设有/={1,3,5},故答案为:{1,3,5}

5.（2025・上海♦高考真题）已知全集〃={324入《5,工£1<},集合A={%|2«xv4»wR},则彳=.

【答案】（-r|4<x<5,Jte/?）/（4,5）

【分析】根据补集的含义即可得到答案.

【详解】根据补集的含义知Z={x|4WxW5,xeR}.故答案为：{x|4WxR}.

命QQ❸

知识1有限集的子集个数确定

若有限集A中有〃个元素，则4H勺子集有2"个，真子集有2"-1个，非空子集有2〃-1个，非空真子集有

2〃一2个.

知识2根据两集合的关系求参数的方法

已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考

虑交集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的

关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

知识3集合的运算性质

(1)=箱。=0，=

(2)AlM=A,A\J0=A,AUB=8LM；

(3)Ar\(CuA)=0tA\J(CuA)=UtCU(CUA)=A-

(4)Aq3u>3=Au>A=3u>QA；

【易错提醒】

①一定要清楚符号“{x|x的属性}”表示的是具有某种属性的x的全体，而不是部分;

②一定要从代表元素入手，弄清代表元素是什么

③根据A=B或Ac5=A求参数取值范围，忽略A=0的情况

题型1元素与集合的关系

（2025・上海黄浦•二模）已知全集。={5,），）口£凡丁£/?},集合S±U,若S中的点在直角坐标

平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线丁=》均对称，且（2,3）wS,则s中的元素个数至少有

A.4个B.6个C.8个D.10个

【答案】C

【解析】因为(2,3)wS、s中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线x对称，所以

(-2,-3)€5,(-2,3)e5,(2,-3)€S,(3,2)eS,(-3,-2)wS,(3,-2)eS,(-3,2)eS,所以S中的元素个数至少有8

个，

故选:C.

2.(2025・贵州贵阳•模拟预测)若集合A={x|2〃“-3>(),/〃eR),其中2tA且1",则实数用的取值范围

是()

(33][33、八(33、「33一

<42][42)(42)142」

【答案】A

【解析】由题意可得。2mx21-°3>/八0，解得3;</〃工3~故选：A.

2/zzxl-3<042

3.(2025・四川乐山•三模)已知集合4={&,刈/+)，2«10/6z,”^},则集合A的元素个数为()

A.9B.8C.6D.5

【答案】C

【解析】A={(U),(L2),(L3),(2,1),(2,2),(3,1)},共6个元素.故选:C.

4.(2025•河北沧州•阶段练习)己知集合八二"€用04.1<叫有16个子集，则实数〃，的取值范围为()

A.{词3</"K4}B.{〃?|3w〃？<4}

C.{/??|3</7?<4}D.{/〃|3v〃？v4}

【答案】A

【解析】因为集合4=口€204彳<〃?}有16个子集，

所以集合力={xeN|0Kx<M中有4个元素，分别为0,1,2,3,所以3Vm44.故选:A

题型2根据集合的包含关系求参数

5.12025•上海崇明一模)若集合P满足{2}uPu{2,3,5},则，可以是()

A.{2,5}B.{3}C.{3,5}D.{2,3,5}

【答案】A

【解析】由{2}uPu{2,3,5},则2={2,3}或「={2,5}.故选：A

6.(2025•上海金山•模拟)已知集合/?={(乂)，)112+1)1,1},Q={(x,y)|/+y\i},则有()

A.…B.P^QC.PUQ=PD.PcQ=Q

【答案】B

【解析】因为尸={（乂刈"|+|），|”1}表示四个顶点分别为（1,0）,（0,1）,（-1,0）,（0,-1）的正方形围成的区域（包括

边界），而Q={（x,y）|f+）匕+表示的圆心为原点，半径为1的圆围成的区域（包括边界），所以

故选:B

7.（2025•上海浦东模拟）已知集合M={x\x=fn+^ymeZ},A^=|x|x=^-^,/?eZ）,P={x|x=4+，,p6Z},

62326

则M、MP的关系满足（）

A.MqN=PB.M=NqPC.MjN鼻PD.NqPqM

【答案】A

【解析】依题意，N={x|x=g-]〃£Z}={x[x=^^^,〃£Z}={x[x=^^,〃£Z},

2366

P={X\X=-+-，PEZ]=[X\X=+\peZ},则N=P,

266

M={x|x=/〃+.,加wZ}={x|x=326+1,:2},则“£尸，

66

所以M,MP的关系满足M$N=P.故选：A

x+3

8.（2025•全国•模拟预测）已知集合A=卜020卜8=何3〃一2"<2〃-1},8=条4,则P的取值范围

是（）

A.[——,1）B.["?i]

（一；,+00）

【答案】D

【解析】因为卓之0,所以上乎「2）20.

所以xW—3或火＞2,

x-2[x-2^0

所以A={RxW-3或x>2},所以a4={x|-3vx«2},

当8时，3P-2>2p-l,解得〃>1,满足B

3p-2<2p-1

当3工。时，要使3口为从，贝I卜2p—142,解得

3^-2>-3

综上，P>~\,即P的取值范围是故选：D

JJ

31

9.（2025・河南•二模）已知集合A=«xX-]rB={x|avxva+2},若AqA,则〃的取值范围为（）

A.（1,2]B.（0,1）C.[1,2]D.[0,1]

【答案】B

【解析】由题意可得4={x|lKxW2},又8={x|"x<a+2},AqB,

1>a

所以心c，解得Owl,故选：B.

2<a+2

10.（2025•河南•模拟预测）已知集合4={.丫|1<%<2},B={x\l<x<m}t若8qA,则实数加的取值范围

是（）

A.（2,+oo）B.（1,2]C.（口,2]D.[2,-KO）

【答案】C

【解析】当B=0时，/〃WI,

m>1

当8工0时，则八，解得1<加<2,

m<2

综上所述，实数”的取值范围是（―,2].故选C

题型3集合的交、井、补运算及求参问题

11.’犷新考却（2025・上海宝山•阶段练习）设全集为自然数集N,

E={.r|jc=2w,A?GN},F={x|x=4/?,/7GN}.那么集合N可以表示成（）

A.EuFB.E（JFC.EURD.FflF

【答案】C

【解析】集合左一同工-2〃―用是所有偶数的集合，{"L4〃,"N}是所有4的倍数的集介.

A选项，由于后。尸=石，所以A选项错误.

B选项，由于2圮巧U尸），所以B选项错误.

C选项，由于尸所以（EU7）=N,所以C选项正确.

D选项，由于五口干=豆了=云，所以D选项错误.

故选:C

12.（2025•山东泰安・模拟预测）已知集合人={工|/-3工<0},8="|唾2]>1},则（）

A.（0,2）B.（2,3）C.（0,3）D.（1,3）

【答案】B

【解析】由题设4={幻/-3%<0}=（0,3）1=何10比切}=（2,+力），所以AcB=（2,3）.

故选：B

13.(2025・陕西榆林•模拟预测)设全集U={0,123,4,5},集合人={X料<3},4={x[l<x<5},则A|jq*二

()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{0,1,5}D.{0,1,2,5}

【答案】D

【解析】全集析={0423,4,5},则4={MN〈3}={H-3Vx<3}={0J2},

因为全集^={0,1,2,3,4,5},集合八{x[l<x<5}={2,3,4},所以令8={0,1,5},

所以4UQI={0,125}.故选：D

14.(2025••湖南长沙•阶段练习)已知集合=N={x\-\<x<2},则()

A.[―1,-K©)B.[-1,-2]C.(-1,-2)D.(-1,2]

【答案】A

【解析】由x-120=xNl,所以M={x[y=>/^T}=[l,+oo),

又N={x|-1W2}=[T,2],所以MUN=[T,2]31,”)=卜1,心).故选：A

15.(2025.广东肇庆•一模)已知集合4=卜|2«工<6},集合8={xwN|x«9},贝IJ(%A)C8=()

A.{03,6,7,8,9}B.{1,6,7,8,9)

C.{x|6<x<9{D.{x[6<x«9始<2}

【答案】A

【解析】因为集合4=k|2《1<6},所以％4=卜归<2或大26},

又8=卜£用X49}，所以(4A)n3={0,l,6,7,8,9}.

故选:A

16.(2025•河南•开学考试)设集合4=口0。42}},8=忖炉-4工+3«0},贝iJAc&8)=()

A.{A|-1<2}B.1A|O<X<1J

C.{A|0<X<2}D.{X\\<X<2}

【答案】B

【解析】由f-4x+3=(x—])(x—3)«0得|KXK3,即8={.申4xW3}&8={乂4>3或x<l),

所以Ac也8)=何0<4<1}.故选：B

17.(2025.上海.阶段练习)已知全集U—R,集合A={x|，v—1或x>4},8={.r|—2Vx«3},那么阴影部

分表示的集合为（）

A.{x|x<3ngx>4）B.{x|-l<x<3}

C.D.{x|-2<x<4）

【答案】C

【解析】因为全集"=&集合4={小<-1或x>4},B={x|-2<x<3},

在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素x，则x任A,xcB,

因此阴影部分区域所表示的集合为

（eA）c5={x|-l4x44}c{x|-24xM3}={止14冗43}.故选:C.

题型4集合中的新定义问题

18.（2025•安徽蚌埠•二模）对于数集A,B,定义4+8=如工=。+4。€A,Z?e8},

=力€力，若集合A={1,2},则集合（A+A）+4中所有元素之和为（）

A.5B."C.&D.乌

222

【答案】D

【解析】根据新定义，集合A={L2},则A+A={2,3,4},

则（A+A）+A=1,2,3,4,5,则可知所有元素之和为彳.故选：D

ZJL

19.’/丽丽|（2025•贵州黔东南•二模）若对任意-cA,则称A为“影子关系”集合，下列集合为

“影子关系”集合的是（）

A.{1,3}B.{-1,0,1）

C.{x|x>l}D.{x|x>0}

【答案】D

【解析】对于选项A：因为3w{l,3},但;史{1,3},不符合题意，故A错误；

对于选项B：因为但5无意义，不符合题意，故B错误；

对于选项C：例如2e{Rx〉l},但g白卜|耳1},不符合题意，故C错误，

对于选项D：对任意㈤0},均有，£3*0},符合题意，故D正确；

A

故选：D.

20.（2025•黑龙江•二模）已知集合4={1,2},8={3,4},定义集合：4*E={（x,y）|xw4ye4，则集合

的非空子集的个数是（）个.

A.16B.15C.14D.13

【答案】B

【解析】根据题意，A*8={«y归Ai}={（l,3）,（l,4）,（2,3）,（2,4）},

则集合的非空子集的个数是24-1=15.

故选：B

21.宿境]（2025•・河北•开学考试）德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出止交集合的定义：若

集合A和8是全集U的子集，且无公共元素，则称集合A5互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集

合.若全集U={dl<log2（x+l）K3,x£N},A={x|x2-7x+i（）<0,XGN},则集合A关于集合U的正交集合8

的个数为（）

A.8B.16C.32D.64

【答案】B

【解析】结合题意：因为1<嘎式》+1）43,所以log22<log2（x-1）Gog28,

解得2VX+1W8,即W,

所以全集^/={疝<log2（x+l）W3,RwN}={234,5,6,7},

由/一74+10〈0可得2<1<5,所以A={RX2-7A+10<0,X€N}={3,4},

则集合A关于集合U的正交集合B的个数为2,=16.

故选：B.

22.（2025•广东•二模）若集合八=卜|3/_8*-3《0},B={x|x>l},定义集合=A且x史司，

则A-3=（）

A.卜;3]B.-|jJC.总1D.（1,3]

【答案】C

【解析】由3/-8%-340得T0W3,则A=

3o

又=A且x/8},则4一区=-1,1,故选C

23.〜新1青境］（2025••上海宝山•阶段练习）新定义：若一个〃位正整数的所有数位上数字的〃次方和等于

这个数本身，则称这个数是自恋数已知所有一位正整数的自恋数组成集合A,集合8=卜|2/-17%+21<0},

则Acb的子集个数为（）

A.8B.16C.32D.64

【答案】C

【解析】由自恋数的定义可知一位正整数的自恋数组成集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},

解不等式2丁-174+21<0得彳</<7,所以8=<入；<%<7},

22

所以Ac3={2,3,4,5,6},故其子集个数为2$=32,

故选：C

24.'P新考湖（2025••上海浦东新•阶段练习）设集合/={1,3,5,7},若非空集合A同时满足：①4q/；②

cwd（A）Wmin（A）（其中c〃d（A）表示A中元素的个数，min（人）表示集合A中最小的元素），称集合人为/的

一个“好子集”，贝IJ/的所有“好子集”的个数为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】当card（A）=l,即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1},{3},{5},{7}；

当cmd（A）=2,即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3,5},{3,7},{5,7}；

当c〃d（A）=3,即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3,5,7},

综上所述，/的所有“好子集”的个数为8.

故选：B

25.’湎总朝（2025••上海・期中）已知全集U为无理数集，将U划分为两个非空的了集M与衣，且满足

MuN=U、McN=0,若"中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M,N）为优分割.对于任一

优分割（M,N）,下列选项中一定不成立的是（）

A.M没有最大元素，N有一个最小元素B.M没有最大元素，N也没有最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素D.例有一个最大元素，N没有最小元素

【答案】C

【解析】由题意，将无理数集划分为两个非空的子集M与N,

且满足MuN=U,McN=0,,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素,

对于A中，若集合M={xcU|x<a},N={xcU|xN&},

则集合“没有最大元素，N中有一个最小元素，所以A正确；

对于B中，若集合M={xeU|x<2},N={xeU|x22},

则集合M没有最大元素，N中也没有最小元素，所以B正确；

对卜D中，若集合/W={xuU|x40},N={xuU|x〉0},

则集合〃中有一个最大元素，N中没有最小元素，所以D正确：

对于C中，无论怎样“优分割”，都不可能使得集合M中有最大元素，且N中有最小元素，所以C不正确.

故选：C.

26.（2025・湖南长沙•阶段练习）设A是整数集的一个非空子集，对于AeA,若左一1壬A且攵+124,则女是

人的一个“孤立元”，给定S={1,2,3,4,5,6,7,8.9},由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合

共有个.

【答案】7

【解析】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合S不含“孤立元”，

则集合S中的三个数必须连在一起,所以符合题意的集合是{123},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},

{6,7,8},{7,8,9},共7个.

考点二常用逻辑用语

1.（2025・北京•高考真题,7,5分）已知函数的定义域为。，则”了⑶的值域为R”是“对任意MeR,

存在/c。，使得|〃/）|>"”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】若函数/（刈的值域为R.则对任意MeR,一定存在占£。，使得/（%）=|M+1，

取飞=K，则+充分性成立；

取/（2=21O=R,则对任意MwR,一定存在使得F（X）=|"|+1,

取/=内，则但此时函数/a）的值域为（0,+力），必要性不成立；

所以“/（X）的值域为R”是“对任意MeR,存在而€。，使得|/&）|>M”的充分不必要条件.

故选：A.

2.（2025・天津•高考真题，2,5分）设xeR,则。=0”是“sin2x=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由x=0=sin2x=sin0=0,则“x=0”是“sin2x=0”的充分条件；

又当x=兀时，sin2x=sin27r=0,可知sin2x=0Rx=0,

故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件，

综上可知，“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件.

故选：A.

3.（2023・上海・高考真题）在平面上，若曲线「具有如下性质：存在点M,使得对于任意点都有Qe「

使得=则称这条曲线为“自相关曲线判断下列两个命题的真假（）

①所有椭圆都是“自相关曲线”.②存在是“自相关曲线”的双曲线.

A.①假命题；②真命题B.①真命题；②假命题

C.①真命题；②真命题D.①假命题；②恨命题

【答案】B

【解析】对于①，不妨设椭圆方程为=1（67>/?>0）,

则椭圆上•点尸到M距离为

IPM|=y）（x-m）2+y2=^（x-fn）2-^b2-^-x2=^（1-^~r）x2-2nix-ni2+b~,-a<x<a

in

当川时，对称轴，"丁卢>"，可得|PM|€[〃?-a,〃?+a],

总存在卅使得（机-。）（加+。）=1,此时满足题意，故任意椭网都是“自相关曲线”，故①正确，

对于②，对于给定的双曲线和点P,显然|PM|存在最小值，而M横坐标趋近于无穷大时，|PM|趋近于无

穷大，|PM|河肛+00）,故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”故②错误，

故选：B

知识1集合判断法判断充分条件、必要条件

若P以集合A的形式出现，9以集合B的形式出现，即〃：c,q：B={x\q(x)},则

(1)若AqB,则〃是4的充分条件;

若bqA,则〃是4的必要条件;

(3)若则〃是^的充分不必要条件:

(4)若3会A,则〃是4的必要不充分条件;

(5)若A=8,则〃是4的充要条件;

(6)若AN8且A卫B,则〃是9的既不充分也不必要条件.

知识2根据充分、必要条件求解参数

①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不

等式(或不等式组)求解;

②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取

等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

知识3四种命题的关系及真假判

1.四种命题间的关系

原命题互逆逆命题

若P，则4若q,则p

7为

互互

否互为逆否否

否命题互逆逆号命题

若则“若则不

2.四种命题间的真假关系

原命题逆命题否命题逆否命题

真真宴

真假假真

假真真假

假假假假

【易错提醒】正难则反的解题策略

1.求解此类含有“至少"'‘至多"等命题，常利用反证法来证明.用反证法证明命题的•般步骤：①假设命

题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾.；③由矛盾得出

假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

2.常见的一些词语和它们的否定话语对照如下;

等于至多有至少有

原词大于（>）小于（V）是都是至多有n个

（=）一个一个

否定不等于不大于不小于至少有至少有一个也

不是不都是

词^吾（W）（W）（2）两个（n+1）个没有

题型1充分条件与必要条件

1.（2025・上海虹口•一模）已知。«0,兀），则“sin（*a）=g”是“cosa=*”的（）条件.

A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分又非必要

【答案】C

【解析】充分性：

根据诱导公式sin（兀-a）=：=>sina=g,因为&<0,兀），所以a=弓或a=登，

当a=g时,cosa=—；当2=年时，cost?=--：

6262

所以由sin（7r-a）=!不能必然推出cosa=立，充分性不成立；

必要性：

因为。«0,兀），cosa=*所以Q=',此时sin（兀一a）=sina=si4，

所以由COS6Z=正可以推出sin（兀-a）=！，必要性成、〉：；

综上，sinS-a）=!；^cosa=走的必要非充分条件；

故选：C.

2.（2025・上海青浦•一模）已知a,bwR,则“a>6”是“/>户的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【蟀析】因为累函数），=炉的定义域为R,且在（0,”）上单调递增，又为奇函数，

故y=V在R上单调递增，则由〃“可推出片》/,故充分性成立；

由标>"也可推出”>〃，故必要性成立，所以是"/>产的充要条件.

故选:C.

3.（2025•上海杨浦•三模）"tana=tan£”是“。=夕”的（）条件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分也非必要

【答案】D

【解析】当tana=tan/时，a=y?+A7i.a^|+A^/7^|+WeZ,不能得出。二/，不具备充分性，

当。=〃=]+时，正切值不存在，所以不能得出tana=lan/?,也不具备必要性.

故选：D.

4.（2025•上海杨浦•模拟预测）设实数。力wR,则不等式|。+可引。|+网的等号成立的一个充分不必要条件

为（）.

A.ab>0B.ab<0C.«/?>（）D.a〃W0

【答案】A

【解析】当等号成立时|。+方|=向+可，可知|a+立0,同+|心（），两边同时平方得成+a）2=刎+蹄2,

化简得|/+加力+留=/+2同网+火可得必"时等号成k则一个充分不必要条件可以是必>0.

故选:A.

5.（2025・上海・三模）设。为实数,直线"+y=l,直线与"+砂=2%则“〃=1”是“//平行''的（）

条件

A.充分不必要B,必要不充分

C.充分必要D.既不充分又不必要

【答案】A

【解析】若。=1,则直线4"+y=i,直线4：x+y=2,此时/"2平行，

若4,4平行，则/=1即。=±1，

当。=1时，平行，

当。=_1时，直线4：—x+y=i,直线/2：工一丁=一2,此时44也平行，

故4,4平行时推不出〃=1,故"。=1”是F4平行”的充分不必要条件，

故选：A.

6.（2025•上海浦东新•三模）a,beR,请从以下选项中选出％>〃”的充分条件（）

A.3a>4bB.a2>b2C.u-^b\D.2">3”

【答案】C

【解析】A.若a=-4,8=-3.5,满足3。>48,不满足故A不是充分条件；

B.当。=-2力=1满足/>〃，不满足〃>2，所以B不是充分条件；

C.若回，又因为网口,所以“>〃，所以C是充分条件；

D.a=-3,〃=-2,满足2">3"，不满足故D不是充分条件.

故选：C

7.（2025•山东莉泽•一模）“x>0”是“21+£>2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若x>。，则2、>1，所以2、+*22口^=2,

由2'=/得x=0,因为x>0,所以取不到等号，即2、*>2,

所以。>0”是“2、£>2”的充分条件；

又x=T时，2-'+p-=|>2,所以“x>0”不是“2、吴2”的必要条件.

综上，“x>0''是“2,+£>2”的充分不必要条件.

故选:A

8.（2025•上海静安•一模）设a,bwR,则“a+b>0”是“a>0且b>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】令。=3,/?=-1,满足〃+〃>（）,但。>0,/?<0；

当〃>011人>0时，能得到•+〃>（）,

所以“〃+力>0”是“〃>0口〃>0”的必要不充分条件.

故选：B.

题型3命题真假判断

9.（2025•上海青浦期末）下列匹个命题：

①没有•个无理数不是实数；

②交集是任何•个非空集合的真子集；

③1+1W2；

④至少存在一个整数X,使得f-X+］是整数.

其中是真命题的为（）.

A.①②③④B.（5X2X3）C.①②④D.②④

【答案】A

【解析】因为实数由无理数和有理数构成，故所有无理数都是实数，故①正确；

因为空集是任何非空集合的真子集，故②正确；

因为1+1=2,故③正确；

取31,则dr+Ji是整数，故④正确.

故选:A.

10.（2025•上海闵行•期中）下列命题中：

①关于x的方程"言-2x+3=0是一元二次方程；

②空集是任意非空集合的真子集；

③如果x>3,那么xNO；

④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（）

A.①②③B.②@