2026年高考数学复习热搜题之常用逻辑用语

2026年高考数学复习热搜题速递之常用逻辑用语

一.选择题（共8小题）

1.设xWR,则“OVxV5”是1|V1”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.已知非零向量Z,b,Z,则吗=b・2"是ua=b"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

3.已知。、bER,则“/>从”是“间>依”的（）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

4.已知命题p：Vx>0,总有（x+I）公>1,则为（）

A.B.vo^O,使得（xo+1）ex°<1

B.3AO>O,使得（xo+1）ex°<1

C.Vx>0,总有（x+1）eWl

D.VxWO,总有（x+1）

5.命题“VxW[O,+8）,/+工20”的否定是（）

A.VxG（-«>,0）,?+x<0

B.VxE（-8,o）,/+x20

C.3A（）e（0,+8）,xl+XO<O

D.3.vo6fO,+8）,XQ+xo>O

6.“d+^wo”的含义为（）

A.a和都不为0

B.a和/?至少有一个为0

C.a和〃至少有一个不为0

D.〃不为。且〃为0,或人不为。且a为0

7.命题若“小+）,2=0,则％=）,=（）”的否命题是（）

A.若.d+y2=0,则X，y中至少有一个不为0

B.若.1+）2=0,则%，），都不为0

C.若则x,y都不为0

D.若则—y中至少有一个不为0

8.下列命题中为真命题的是（）

A.B.voGR，AO2+2,VO+2<0B.2xoGR,xo2+xo=-1

2

C.V.reR,x-1X）D.VAER,KO

二.多选题（共4小题）

（多选）9.给出下列四个条件：①♦>/；②③/>），2；®0<i其中能成为的充分条

”y

件的是（）

A.①B.②C.③D.®

（多选）10.下列说法正确的是（）

A.“三是"a<b”的充分不必要条件

ab

B.AD8=0是4=0的必要不充分条件

C.若小h,cGR,则“叱2>加2”的充要条件是“Qb”

D.若a,旄R,则“J+MHO”是“间+|〃|W0”的充要条件

（多选）11.两个等差数列｛“〃｝和出”｝,其公差分别为由和基,其前〃项和分别为S”和7“，则下列命题

中正确的是（）

A.若｛图｝为等差数列，则力=2m

B.若｛S+7M为等差数列，则力+由=0

C.若｛。疝〃｝为等差数列，则>='=0

D.若加6N*,则｛a%｝也为等差数列，且公差为小+为

（多选）12.若'TxoG（0,2）,使得2U）2-Q-o+ivo成立”是假命题，则实数入可能的值是（）

A.1B.2&C.3D.3V2

三.填空题（共4小题）

13.己知函数f(x)=2\g(x)=f+or(其中aWR).对于不相等的实数用、立，设〃口等二嬖

xl~x2

n=9(口)一。(无2).现有如下命题：

xl~x2

①对于任意不相等的实数XI、X2,都有〃?>0:

②对于任意的〃及任意不相等的实数川、X2,都有〃>0：

③对于任意的4,存在不相等的实数XI、X2,使得〃?=〃；

④对于任意的。，存在不相等的实数巾、X2,使得〃

其中的真命题有(写出所有真命题的序号).

14.已知数列｛板｝的各项均为正数，其前〃项和S〃满足a〃・S〃=9(〃=1,2,•••).给出下列四个结论：

①｛〃〃｝的第2项小于3；

②｛m｝为等比数列；

③｛如｝为递减数列；

④｛4〃｝中存在小于的项.

其中所有正确结论的序号是.

15.若命题“三隹R,使/+(«-1)X+1V0”是假命题，则实数〃的取值范围为.

16.在平面直角坐标系中,定义d(P,Q)=|xi-刈+|凹-词为两点P(xi,yi),Q(X2»J2)之间的“折

线距离”.在这个定义下，给出下列命题：

①到原点的“折线距离”等于I的点的集合是一个正方形：

②到原点的“折线距离”等于I的点的集合是一个圆；

③到M(-1,0),N(1,0)两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；

④到M(-1,0),N(1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.

其中正确的命题是.(写出所有正确命题的序号)

四.解答题(共4小题)

17,设命题p：实数x满足/-45+3。2<0,其中。>0,命题〃：实数x满足］"；一：一64.

(I)若。=1,且pAq为真，求实数x的取值范围；

(II)若f〃是的充分不必要条件，求实数〃的取值范围.

18.已知命题P：函数)，=log〃(1-2r)在定义域上单调递增；命题Q：不等式(a-2)』+2(a-2)x-

4<0对任意实数x恒成立.若PVQ是真命题，求实数〃的取值范围.

19.命题“必伯［1,+8),/(x)=/+4+/〃20”是假命题，求实数〃?的取值范围.

20.已知集合A={x|・2<rV6},B={x\m-2<x<m+2}.

(1)若xEB成立的一个必要条件是xEA,求实数m的取值范围;

(2)若408=0,求实数机的取值范围.

2026年高考数学复习热搜题速递之常用逻辑用语（2025年12月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案BBCBCCDD

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案ADBDABAB

一.选择题（共8小题）

1.设底R,则“0VxV5”是“k-1|V1”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件必要条件的判断.

【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑思维.

【答案】B

【分析】解出关于工的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案.

【解答】解：・・・0VxV2,

•・・0VxV5推不出0<x<2,

0<r<?=^0<r<5,

.\0<A<5是0Vx<2的必要不充分条件，

即0Vx<5是|x-1|<1的必要不充分条件

故选：B.

【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题.

2.已知非零向量a,b,c,则是“a=b"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件必要条件的判断；平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑思维.

【答案】B

【分析】分别从充分性和必要性进行判断，由充分条件与必要条件的定义，即可得到答案.

【解答】解：当A1"且b12，则H=b•"=0,但a与b不一定相等，

故a•b=匕•c不能推出a=b,

则=b-c,f是'G=bf,的不充分条件；

TTT—

由a=b,可得a-b=0,

则(a—b)•c=0,即a-b=b-cf

所以］=b可以推出％-b=bc,

故=b-cff是"Z=的必要条件.

综上所述，“筋"=b-cf,是吗=+的必要不充分条件.

故选:B.

【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关健是掌握平面向量的基本概念和基本运算,

属于基础题.

3.已知以旎R,则“曰＞人”是“间＞|臼”的()

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】对应思想；定义法；简易逻辑.

【答案】C

【分析】根据平方和绝对值的关系，结合不等式的性质进行转化，利用充分条件和必要条件的定义进行

判断即可.

【解答】解：等价，⑷2>步]2,得“间>|臼”，

・,・“/>*是“间>步|”的充要条件，

故选：C.

【点评】木题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键.

4.已知命题p：Vx>0,总有（x+1）ev>1,则-〃为（）

A.玉oWO,使得（xo+1）exo<|

B.3AO>O,使得（加+1）靖。<1

C.Vx>0,总有（x+1）eWl

D.VxWO,总有（x+1）

【考点】全称量词命题的否定.

【专题】简易逻辑.

【答案】B

【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题〃的否定.

【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，「〃为Ao>O,使得（刈+1）1。41,

故选：B.

【点评】本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题.

5.命题“DtW[0,+8）,/+x20”的否定是（）

A.VxG（-8,（））,/+/V0

B.VxG（-8,o）,/+工20

C.3AOG[O,+8）,XQ+XO<O

D.BjoefO,+8）,+XO>O

【考点】全称显词命题的否定.

【专题】简易逻辑.

【答案】C

【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项.

【解答】解：•・•命题"Vx曰0,+8）,9+五20”是一个全称命题.

•二其否定命题为:3AT）E[0>+8）,就+xo〈O

故选：C.

【点评】本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键.

6.“c』+庐#0”的含义为()

A.a和〃都不为0

B.〃和〃至少有一个为0

C.a和匕至少有一个不为0

D.。不为0且0为0,或方不为0且〃为。

【考点】逻辑联结词“或”、“且”、“非

【专题】阅读型；探究型；逻辑思维.

【答案】C

【分析】对/+从W0进行解释，找出其等价条件，由此等价条件对照四个选项可得正确选项.

【解答】解：/+户工0的等价条件是〃工0或即两者中至少有一个不为0,对照四个选项，只有

C与此意思同，C正确；

A中〃和人都不为0,是廿+扇#。充分不必要条件；

8中”和。至少有一个为0包括了两个数都是0,故不对；

。中只是两个数仅有一个为0,概括不全面，故不对：

故选：C.

【点评】本题考查逻辑联结词“或”，求解的关键是对K的正确理解与逻辑联结词至少有一个、和、或

的意义的理解.

7.命题若"+)2=0,则x=)，=0"的否命题是()

A.若/+)?=0,则X，y中至少有一个不为0

B.若则x,y都不为0

C.若则K,y都不为0

D.若f+)2W0,则x,y中至少有一个不为0

【考点】四种命题.

【专题】简易逻辑.

【答案】D

【分析】根据四种命题的定义，先写出已知命题的否命题，比照后，可得答案.

【解答】解：命题：“若/+),2=o,则工=),=0"的否命题是：

“若,+)2工0,则xHO或产0"，

即若』+)2工0,则一),中至少有一个不为口,

故选：。.

【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的定义，是解答的关键.

8.下列命题中为真命题的是（）

A.3.ro€R»AO2+ZVO+2<OB.3^O€R»XO2+XO=-1

C.V.rGR,D.VA€R,-?-1<0

【考点】全称星词和全称最词命题.

【专题】定义法；简易逻辑.

【答案】D

【分析】利用命题的真假对每个选项判断，全称特称量词命题定义判断即可.

【解答】解：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，

常见的存在量词还有：“有些”，“有一个”，“对某个”，“有”表示存在量词，

用符号的“三”表示，特称命题的定义.

A、BxoER,AO2+1VO+2<O,A=4-8=-4<0,错误.

B、3AOGR,AO2+.U）=-1,xo2<vo+l=0,△=1-4=-3<0,错误.

C、-x+*>0,x=*时/-=0,错误.

D、VxER,-x2-l<0,Al>0,正确.

故选：D.

【点评】本题考查命题的真假判断，全称特称量词命题判断即可.是基础题.

二.多选题（共4小题）

（多选）9.给出下列四个条件：①xr2〉”2；②③x2,/；©0<i<i.其中能成为的充分条

xy

件的是（）

A.①B.②C.③D.@

【考点】充分条件的判断.

【专题】综合题；转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑思维.

【答案】AD

【分析】首先分清条件与结论，条件是所选答案，结论是x>>，充分性即为所选答案推出

【解答】解：①.由H2〉92可知，r>0,故x>y.故①是.

②.由可知，当rVO时，有x〈y；当/>0时，有x>y.故②不是.

③由,v2〉）？，则推不出故③不是；

®.由ov]q由函数尸g在区间（0,+8）上单调递减，可得x＞），＞0,故④是.

故选：AD.

【点评】本题考查了充分必要关系的判断，还考查「不等式的性质，属于基础题.

（多选）10.下列说法正确的是（）

11

A.“一＞/'是"a〈b"的充分不必要条件

ab

B.AC8=0是4=0的必要不充分条件

C.若a,b,cER,则“讹2＞历2”的充要条件是%＞b”

D.若a,bWR,则“J+"WQ”是“间+依wo”的充要条件

【考点】充分不必要条件的判断.

【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象.

【答案】BD

【分析】结合不等式性质检验选项A,C,D,结合集合交集运算检验选项8.

11

【解答】解：当a=2,b=-2时，有一＞口但44

ab

11

反之当。=-2,人=2时，a＜b,但一V]，所以两者既不充分也不必要，故A错误：

ab

当人=｛1｝,8=｛2｝时，408=0,但AW0,

当A=0时，AQB=0,故8正确；

当加2＞反2时，可得

反之，4＞力时，若C=0,贝lj=

所以两者不是充要条件，故C错误；

若/+〃2#（）=〃，/;不同时为。=同+网W0,。正确.

故选：BD.

【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题.

（多选）11.两个等差数列｛〃〃｝和｛加｝,其公差分别为力和基,其前〃项和分别为S”和乙，则下列命题

中正确的是（）

A.若｛底｝为等差数列，则di=2m

B.若｛S+力1｝为等差数列，则力+曲=0

C.若｛如仇｝为等差数列,则a=4=0

D.若加6N*,则｛a%｝也为等差数列，且公差为小+为

【考点】命题的真假判断与应用；等差数列的性质；等差数列的前n项和.

【专题】转化思想：转化法；等差数列与等比数列；逻辑思维.

【答案】AB

【分析】对于4利用2店=6+底，化简即可得出答案.

对于3：利用26+乃)=SI+TI+S3+4化简即可得出答案.

对于C:利用2〃2力2=〃仍1+。3加，化简即可得出答案.

对于。：根据。乐+1-。坛=dld2,即可得出答案.

【解答】解：对于A：因为｛离｝为等差数列，所以2医=店+医，

即27al+g=+J%+a2+%，

所以2d2al+乙=+J3al+3di，

化简得(di・2m)2=0,所以力=2m,故A正确：

对于"因为｛S〃+T〃｝为等差数列，

所以2(52+72)=SI+TI+S3+73,

所以2(2。1+4+2加+&)=ai+4+3。1+34+3历+3公，

所以由+〃2=0,故B正确；

对于C：因为｛.加｝为等差数列,

所以2a2。2=4仍【+。3加，

所以2Ca\+d\)(bi+d2)=a\b\+(a\+2d\)(81+2小)，

化简得dl〃2=0,所以力=0或42=0,故C不正确：

对于£>：因为a〃=ai+(w-1)d\,且加€N*,

所a坛=m+(Z?i-1)d\+Cn-1)d\d2,

所以。砥+1-abn=a\+(b\-1)d\+nd\di-a\-(Z>i-1)d\-(n-1)d\di=d\d2,

所以｛ag｝也为等差数列，且公差为did2,故。不正确.

故选；AI3.

【点评】本题考查等差数列的定义以及等差中项求解是解题关健.

(多选)12.若'勺加6(0,2),使得Zu?-Qo+lVO成立”是假命题，则实数人可能的值是()

A.1B.2衣C.3D.3V2

【考点】存在量词和存在量词命题；命题的真假判断与应用.

【专题】计算题；函数思想；转化法；简易逻辑；逻辑思维.

【答案】AB

【分析】直接利用不等式的基本性质和函数的恒成立问题的应用求出参数人的范围.

【解答】解：XOE（0,2）,使得2XO2-QT）+1<O成立是假命题，

故：对V%£（0,2）,2?-衣+120恒成立.

即2x+,之人对任意的（0,2）恒成立.

即（2x+1）〃“力2入，

故2X+1N2&，（当且仅当x二孝）等号成立.

故人W2J1

故选：AB.

【点评】本题以命题的真假的应用为载体考查了不等式恒成立问题的求解，解题的关键是将存在性问题

转化成全称命题.

三.填空题（共4小题）

13.已知函数f（x）=2\g（x）（其中〃ER）.对于不相等的实数M、4，设〃尸等二瞥^

xl~x2

〃=以平警2.现有如下命题：

①对于任意不相等的实数不、X2,都有〃?>0；

②对于任意的。及任意不相等的实数XI、X2,都有〃>0；

③对于任意的〃，存在不相等的实数制、X2,使得〃?=〃：

④对于任意的。，存在不相等的实数XI、X2,使得小=-〃.

其中的真命题有①@（写出所有真命题的序号）.

【考点】命题的真假判断与应用.

【专题】创新题型；开放型；函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；

通过函数"（x）=，+ar-2\求出导数判断单调性，即可判断③；

通过函数/?（x）=,+ar+2\求出导数判断单调性，即可判断④.

【解答】解：对于①，由于2>1,由指数函数的单调性可得/（外在R上递增，即有机>0,则①正确；

对于②，由二次函数的单调性可得g（工）在（-8,-1）递减，在（一/+8）递增，则/:>（）不恒

成立，

则②错误；

对于③，由〃?=〃，可得/（川）-/（X2）=g（XI）-g（A-2）,即为g（Xl）-/（XI）=g（J2）-fCx2）,

考查函数〃（x）=/+〃氏-2工，h'（x）=2x+a-2xln2,

当l-8,»（x）小于0,h（x）单调递减，则③错误；

对于④，由m=-〃，可得f（xi）-f（X2）=-［j?（AI）・g（.V2）］,考查函数h（x）=x24-ar+2A,

h'（x）=2x+a+2"n2,对于任意的a,h'（x）不恒大于0或小于0,则④正确.

故答案为：①④.

【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性

是解题的关键.

14.已知数列伍〃｝的各项均为正数，其前〃项和S〃满足q〃・S“=9（〃=1,2,…）.给出下列四个结论：

①｛a〃｝的第2项小于3；

②｛雨｝为等比数列;

③｛〃〃｝为递减数列：

④｛a”｝中存在小于的项.

其中所有正确结论的序号是①③④.

【考点】命题的真假判断与应用.

【专题】转化思想；反证法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解.

【答案】①③④.

【分析】对于①，求出42即可得出结论；对于②，假设｛"“｝为等比数列，推出矛盾即可得出结论；对

于③，容易推得〃〃<“〃」；对于④，假设所有项均大于等于总，推出矛盾即可判断.

（解答］解：对于①〃=1时，可得41=3,当〃=2时，由（12-82=9,可得42（e+。2）=9,可得02=3（与1）

<3,故①正确；

对于②，当〃22时，由又=■得Sn_i=丁2一,于是可得”一，即即=97,

aaa

n（*n-lnn-lan-l9

若仅“｝为等比数列，则〃22时，a”+i=a”，即从第二项起为常数，可检验〃=3不成立，故②错误；

对于③，因为a“・S〃=9,a〃>。，ai=3,

当〃22时，Sn=

qq

所以an=Sn-Sn-\=-----------X）,

an%i-l

广…9911

月r以——>----=>——>----=>an<an-I,

anan-lanan-l

所以｛〃〃｝为递减数列，故③正确；

对于④，假设所有项均大于等于总，取〃>90000,则。吐之焉，Sn>900,则a〃S〃>9与已知矛盾，

故④正确；

故答案为：①③④.

【点评】本题考杳命题的真假判断，考查数列的递推关系，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于较

难题目.

15.若命题“awR,使(a・1)x+lVO”是假命题，则实数。的取值范围为-1,31.

【考点】存在量词命题真假的应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】先求出命题的否定，再用恒成立来求解

【解答】解：命题“mxWR,使/+(a-1)x+l<0”的否定是：“VxER,使f+(a-1)六120”

UP：△=(a-l)2-4W0,

/.-WW3.

故答案为：[-1,3].

【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题.

16.在平面宜角坐标系中，定义d(P,Q)=阳-刈+|N-间为两点P(xi,)，i),Q(必")之间的"折

线距离”.在这个定义下，给出下列命题：

①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；

②到原点的“折线距离”等于I的点的集合是一个圆；

③到M(-1,0),N八，0)两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；

④到M(-1,0),N(1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.

其中正确的命题是①®@.(写出所有正确命题的序号)

【考点】命题的真假判断与应川.

【专题】压轴题；阅读型.

【答案】见试题解答内容

【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可.

【解答】解：到原点的“折线距离”等于1的点的集合｛Q,y)||x|+M=l｝,是一个正方形故①正确,

②错误；

到M(-1,0),N(1,0)两点的“折线距离”之和为4的点的集合是｛(斯y)lk+H+M+|x-l|+|y|=

4},故集合是面积为6的六边形，则③正确；

到M（-1,0）,N（1,0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合{（x,y）||A+I|+|>1-|A-1|

・IY=i}=（a，y）lk+i|-lx-i|=i}»集合是两条平行线,故④正确;

故答案为：①③④

【点评】本题主要考查了“折线距离”的定义，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.

四.解答题（共4小题）

17.设命题p：实数x满足%2・4°"3〃2<0,其中。>0,命题实数x满足6f.

（I）若〃=1,且为真，求实数x的取值范围；

（II）若「〃是一9的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【考点】充分条件与必要条件；命题的真假判断与应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）为其，即〃和q均为其，分别解出〃和q中的不等式，求交集即可；

（2）「〃是的充分不必要条件oq是〃的充分不必要条件，即,/=〃，反之不成立.

即q中的不等式的解集是〃中的不等式解集的子集.

【解答】解：（1）。=1时，命题p：/-4x+3V00lVxV3

人噌fx2-x-6<0（-2<%<3_

命题q：o-4f2VxW3,

"x2+2x-8>0lx<-4^x>2

pNq为、真,即〃和夕均为真，故实数x的取值范围是2VxV3

（2）「〃是的充分不必要条件=夕是〃的充分不必要条件，即g=p,反之不成立.

即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集.

由（1）知命题42VxW3,

命题p：实数x满足7-4ax+3Mv0=（x-a）（x-3a）<0

由题意4>0,所以命题p：a<x<3a,

（a<2

所以所以1V〃W2

（3Q"3

【点评】本题考查复合命题的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识，考查知识点较多，但难度

不大.

18.已知命题P：函数），=k）g〃（I-2.V）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（4-2）/+2（4-2）x-

4Vo对任意实数x恒成立.若PV。是真命题，求实数a的取值范围.

【考点】复合命题及其真假.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据对数函数的函数性，复合函数的单调性，我们可以可以得到命题P为真时，实数〃的取

值范围；根据二次不等式恒成立的条件，我们可以得到命题Q成立时，实数〃的取值范围；再根据尸

VQ是真命题时，两个命题中至少一个为真，进而可以求出实数。的取值范围.

【解答】解：•・•命题P函数)，=log”(I-2.r)在定义域上单调递增：

/.0<«<1(3分)

又•••命题Q不等式(a-2)/+2(a-2)尸4<0对任意实数尸恒成立；

・"=2(2分)

或f一2<°2，(3分)

匕=4(Q-2)2+16(Q-2)<0

即-2VaW2(1分)

,•*P7Q是真命题，

・•.〃的取值范围是0<aW2,且aWl(5分)

【点评】本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据对数函数的函数性，复合函数的单调性，

及二次不等式恒成立的条件，判断命题P与Q的真假是解答本题的关键.

19.命题“八日1,+8),/(x)=x2+x+^n^0,,是假命题，求实数，〃的取值范围.

【考点】全称量词和全称量词命题.

【专题】计算题：转化思想.：综合法：简易逻辑.

【答案】见试题解答内容

【分析】全称命题改为特称命题，根据不等式的性质求出机的范围即可.

【解答】解：由题意得：命题ut+°°)»f(x)=/+x+"?<0"是真命题，

因为/(x)=X2+A+//Z>0对称袖为x=—

所以要使“玉日1,+8),f(x)=，+3+用<0成立，

只要/(I)V0即2+m<0,解得机V・2；

所以实数机的取值范围是(-8,-2).

【点评】本题考查了全称命题和特称命题，考查二次不等式能成立问题；属广中档题.

20.已知集合A=3-2<rV6),B=(^m-2<x<m+2}.

(1)若在B成立的一个必要条件是.隹A,求实数机的取值范围；

(2)若AOB=0,求实数机的取值范围.

【考点】必要条件的判断；求集合的交集.

【专题】转化思想：转化法；集合：运算求解•.

【答案】见试题解答内容

【分析】(I)大用成立的一个必要条件是在4,则随4,求解即可;

(2)由An§=0,则加+2W・2或〃l226,求解即可.

【解答】解：(1)若在8成立的一个必要条件是工£4,所以8GA,

因为集合A=3-2<x<6},B={x\m-2<x<m+2].

M(m+2<62,所以OW〃忘4,

故实数〃?的取值范围[0,41.

(2)若An8=0,贝JI〃?+2W・2或〃？-226,

所以〃忘・4或〃?28,

故实数机的取值范围(-8,-4JU18,+8).

【点评】本题主要考查必要条件的应用，属于基础题.

考点卡片

1.求集合的交集

【知识点的认识】

由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与8的交集，记作AOB.

符号语言：AHB=(x\xeAf且.诧用.

八实际理解为：人是A且是6中的相同的所有元素.

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.

运算性质：

®AC\B=BOA.②AG0=0.®AQA=A.@AQBQA,AOBQB.

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混

用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图.

【命题方向】

掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.

已知集合A={xWZ|x+l20},^={4^^-6<0},则4nB=()

解：因为A={x€Z|x+120}={.隹Z|x2-1},^={4?-x-6<0}={A|-2<A<3},

所以AGB={-1,0,1,2}.

故选：D.

2.充分条件与必要条件

【知识点的认识】

I、判断：当命题“若〃则，/”为真时，可表示为〃=q,称〃为q的充分条件，，/是〃的必要条件.事实上，

与“p=q”等价的逆否命题是它的意义是：若g不成立，则〃一定不成立.这就是说，q对

于〃是必不可少的，所以说g是p的必要条件.例如：p：x>2；q：x>0.显然xWp,则.tWg.等价于xWg,

则.惶〃一定成立.

2、充要条件：如果既有“p=g”，又有“q=〃”，则称条件〃是q成立的充要条件，或称条件g是〃成立的

充要条件，记作“po/'.〃与q互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一

不可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学

生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若pnq为真命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若pnq为假命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若pnq为真命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若pnq为假命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题〃与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，选小谁充分”的原则，判断命题〃与命题,

的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内

容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

3.充分条件必要条件的判断

【知识点的认识】

I、判断：当命题“若〃则9”为真时，可表示为〃=/称〃为q的充分条件，q是〃的必要条件.

2、充要条件：如果既有“〃=夕”，又有则称条件0是4成立的充要条件，或称条件q是〃成立的

充要条件，记作〃与互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不

可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生

答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若pnq为真命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若pnq为假命题且q0P为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若p=q为真命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若〃=夕为假命题且qnp为假命题，则命题〃是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题〃与命题q所表示的范围，再根据“谁人谁必要，选小谁充分”的原则，判断命题〃与命题q

的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，

多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广.

4.充分条件的判断

【知识点的认识】

充分条件是指如果条件尸成立，则条件Q必然成立.在数学上，通常记作尸=Q.充分条件的概念在逻辑

推理和数学证明中非常重要，常用于判断某些结论是否成立.例如，在三角形中，如果一个三角形是等边

三角形，那么它必然是等腰三角形，这就是等边三角形是等腰三角形的充分条件.

【解题方法点拨】

要判断一个条件是否为充分条件，可以通过验证当条件夕成立时，条件。是否也必然成立.通常可以通过

具体实例或逻辑推理来验证.例如，假设尸成立，通过推理或计算验证Q是否成立.如果可以找到反例，

即P成立但。不成立，则P不是Q的充分条件.

【命题方向】

在高考和其他数学考试中，常见的充分条件的命题方向包括几何图形的性质、函数的性质、数列的性质

等.例如，三角形全等判定条件中的SAS、SSS等都是充分条件.函数的单调性和极值之间的关系也是常

见的命题方向.

下列选项中，满足〃是的充分条件的是()

A.p：x>\[2,q：x>1

B.p：/n=0,q：〃?〃=0

C.pi7WO,q：xWO

2,2

D.p：x>yfq：x>>

解:对TA,由鱼可推出人>1,所以是人>1的充分条件，A正确，

对于B,由m=()可推出""?=0,所以m=()是""?=()的充分条件，B正确，

对于C,由/WO可推出xWO,所以/HO是xH()的充分条件，C正确，

对于。，当x=2,)，=-2时，x>y,但是/=)?,所以不是X2〉)？的充分条件，。错误.

故选：ABC.

5.必要条件的判断

【知识点的认识】

必要条件是指如果条件Q成立，那么条件尸必然成立.用符号表示为Q=P.必要条件是判断一个结论是

否必须具备的条件.例如，如果一个数是偶数，那么它必然能被2整除，能被2整除是偶数的必要条件.在

解决数学问题时，确定必要条件可以帮助我们缩小可能的解答范围.

【解题方法点拨】

要判断一个条件是否为必要条件，可以通过假设条件。成立，然后验证条件尸是否也必然成立.可以使用

反证法，即假设P不成立，看看。是否也不成立.如果。不成立，那么P是Q的必要条件.此外，可以

通过逻辑推理和实例验证来进行判断.

【命题方向】

必要条件的命题方向通常包括数列的收敛性判定、几何图形的判定等.例如，判断一个四边形是否是平行

四边形，可以利用对角线互相平分这个必要条件.

若关于x的方程«+（〃?・1）x+l=O至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（）

4.-\<m<3

B.-2<w<4

C.<4

D.

解：因为方程（〃L1）.1+1=0至多有一个实数根，

所以方程/+（/«-1）x+l=0的判别式△W0,

即：（"？-1）2・4W0,解得・1

利用必要条件的定义，结合选项可知，-IW〃?W3成立的必要条件可以是选项8和选项C.

故选：BC.

6.充分不必要条件的判断

【知识点的认识】

充分不必要条件是指如果条件夕成立，则条件。必然成立，但条件。成立时，条件。不一定成立.用符

号表示为〃=Q，但这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件.

【解题方法点拨】

要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P=Q,然后找反例验证Q成立但P不成立.举反例

是关犍步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是。的必要条件.例如，可以通过几何图

形性质验证某些充分不必要条件.

【命题方向】

充分不必要条件的命题方向包括;L何图形的特殊性质、函数的特定性质等.

已知命题p：x2-4x+3V0,那么命题〃成立的一个充分不必要条件是()

A.xWl

B.l<x<2

C.x23

D.2<x<3

解:由.1-4.叶3<0,解得1VXV3,

则1VxV2和2Vx<3都是l<x<3的充分不必要条件.

故选：BD.

7.全称量词和全称量词命题

【知识点的认识】

全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.符号：V

应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法

I.全称量词与存在量词

(I)全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，

用符号“V”表示.

(2)存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个“、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等

词,用符号司”表示.

全称命题

含有全称量词的命题.“对任意一个在M,有〃(A)成立”简记成“匕诧M,p(x)”.

同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下

命题全称命题VxEM：p(x)特称命题入oWM,p(AO)

表述方①所有的xWM,使〃(x)成立①存在使〃(.vo)成立

法②对一切xWM,使〃(x)成立②至少有一个X0EM,使〃(xo)成立

③对每一个在"，使〃(x)成立③某些xWM,使〃(”)成立

④对任给一个使〃(x)成立④存在某一个xoWM,使〃(AO)成立

⑤若则〃(x)成立⑤有一个xoWM,使p(xo)成立

【解题方法点拨】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和

一个量词的特称命题的真假：正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称

命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示.应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法.

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎色年都考，涉及知识点多而且全，多以小题

形式出现.

8.存在量词和存在量词命题

【知识点的认识】

存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词.符号：3

特称命题：含有存在量词的命题.符号："才’.

存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个“、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用

符号表示.

特称命题：含有存在量词的命题.“九O0W,有〃(刈)成立”简记成“土布”，p(刈)”.

“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词.

命题全称命题VxEM：p(x)特称命题MoWM,p(io)

表述方①所有的xWM,使〃(x)成立①存在.ro€M,使〃(AO)成立

法②对一切xWM,使〃(x)成立②至少有