2026年高考数学复习热搜题之排列与组合

2026年高考数学复习热搜题速递之排列与组

一,选择题（共9小题）

1.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙

只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式,

那么他们结账方式的可能情况有（）种

A.19B.26C.7D.12

2.A,B,C,石五人并排站成一排，如果B必须站在4的右边（A,8可以不相邻），那么不同的排法

共有（）

A.24种B.60种C.90种D.120种

3.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、

司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜

任四项工作，则不同安排方案的种数是（）

A.152B.126C.90D.54

4.有两排座位，前排11个座位：后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，

并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（）

A.234B.346C.350D.363

5.有4名优秀学生A,B,C,。全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保

送方案共有（）

A.26种B.32种C.36种D.56种

6.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供

选择，则不同的涂色方法种数有（）

B

A.24B.48C.96D.120

7.将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（)

A.24种B.28种C.32种D.36种

8.如图，一环形花坛分成A,8,C,。四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，旦相

邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）

A.96B.84C.60D.48

9.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABC。（边长为2个单位）的顶点

A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为

2,…，6）,则棋子就按逆时针方向行走，•个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又

回到点4处的所有不同走法共有（）

A.22种B.24种C.25种D.27种

二.多选题（共3小题）

（多选）10.4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（）（选项中排列数的计算结果均

正确）

A.若3个女生必须相邻，则不同的排法有心•*=144种

B.若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有川•耳•掰=2880种

C.若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有4-2媒+点=3720种

D.若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有*=840种

（多选）II.如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能

用同一种颜色，则不同的着色方法数为（）

A2XA2

B.34

2

cA2Xp

4(A

c1XA22X2

D.43+c4(A2

（多选）12.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）

A.如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种

B.如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种

C.如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种

D.如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种

三,填空题（共4小题）

13.如果一个正四位数的千位数如百位数〃、十位数c和个位数d满足关系（a-b）（c-d）<0,则称其

为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”.那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数

为_________.（直接用数字作答）

14.某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、4、Bi、0上

各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有种（用数字作

答）.

15.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不

同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）.

16,从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的匹位数的个数

为.（用数字作答）

四.解答题（共4小题）

17.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

（1）选5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；

（3）全体排成一排，女生必须站在一起：

（4）全体排成一排，男生互不相邻；

（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；

（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.

18.设。2，…，4”为1，2,…，〃按任意顺序做成的一个排列,人是集合｛㈤四,〈四，》女｝元素的个数，

而g2是集合｛蜀的抬YA｝元素的个数数=1,2,…，〃）,规定左=g]=0,例如：对于排列3,1,2,

力=2,及=0,力=0

（/）对于排列4,2,5,I,3,求2klfk

（〃）对于项数为2〃・1的一个排列，若要求2〃7为该排列的中间项，试求Z2=i四的最大值，并写

出相应得一个排列

（III）证明2：=/=求=】gk.

19,在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.

（1）当4个舞蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？

（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？

（3）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对

顺序，有多少种不同的节目演出顺序？

20.某条公路上依次有10个车站Ao,4,…，A9,相邻两站（如Ao与Ai、4与A2…）间距离均为1km,

某货车从Ao站出发，跑遍各站，运送货物，且货车在每站只停留一次，最终返回Ao站，由于货运需要，

货车不一定顺次停车.

（如可能从出发到返回依次停车于Ao-A5-*/U-A8-A7fA3fA6fA2-4）fAi—Ao）:

（1）若货车按上述示例送货，其总里程是多少？（写出结果即可）

（2）求该货车可能行驶的最小里程？

（3）求该货车可能行驶的最大里程？并求达到该最大里程的停靠方案数有多少种？

2026年高考数学复习热搜题速递之排列与组合（2025年12月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共9小题）

题号123456789

答案BBBBCCBBD

二,多选题（共3小题）

题号101112

答案BCDACDABD

一,选择题（共9小题）

1.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙

只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式,

那么他们结账方式的可能情况有（）种

A.19B.26C.7D.12

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题；对应思想；转化法；排列组合；运算求解.

【答案】B

【分析】由题意，根据甲丙丁的支付方式进行分类，根据分类计数原理即可求出.

【解答】解：顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，

①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人7^2=2种，

当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故

有1+Qk2・5.

故有2+5=7种，

②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人A2?=2种，

当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有

I,

1+C2C2=5,

故有2+5=7种，

③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则。3/22=6种，

若没有人使用现金，则有。32左2=6种，

故有6+6=12种，

根据分类计数原理可得共有7+7+6+6=26种，

故选:B.

【点评】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题

2.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果8必须站在A的右边（A,8可以不相邻），那么不同的排法

共有（）

A.24种B.60种C.90种D.120种

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】转化思想.

【答案】B

【分析】根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在4的左边与8站在

A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案.

【解答】解：根据题意，使用倍分法，

五人并排站成一排，有A$5种情况，

而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，

则其情况数目是相等的，

5

则B站在八的右边的情况数目为:XA5=60,

故选:B.

【点评】本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可能的.

3.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、

司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜

任四项工作，则不同安排方案的种数是（）

A.152B.126C.90D.54

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题.

【答案】B

【分析】根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，

②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计

算可得答案.

【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：玛又公=18种:

②甲乙不同时参加一项T.作，进而又分为2种小情况；

2

1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有用2=3X2X3X2=36种;

42X仁X6X42

20甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作:32=72种;

由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，

故选：B.

【点评】本题考查排列、组合的综合运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论.

4.有两排座位，前排11个座位：后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，

并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（）

A.234B.346C.350D.363

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题；压轴题.

【答案】B

【分析】前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，当两个人分别在前排和后排做一个时,

前排有8种，后排有12种，两个人之间还有一个排列，当两个人都在前排坐时，因为两个人不相邻，

可以列举出所有情况，当两个人都在后排时，也是用列举得到结果，根据分类计数得到结果.

【解答】解：由题意知本题需要分类讨论

（1）前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，

前排一个，后排一个共有2C8、Ci2i=192.

（2）后排坐两个（不相邻），

2（10+9+8+…+1）=110.

（3）前排坐两个2（6+5+…+1）+2=44个.

・工总共有192+110+44=346个.

故选：B.

【点评】本题考查分类讨论在解排列组合应用题中的运用.这是一道难度较大的小综合题，题FI的分类

要做到不重不漏.

5.有4名优秀学生A,B,C,。全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保

送方案共有（)

A.26种B.32种C.36种D.56种

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】排列组合.

【答案】C

【分析】每所学校至少去一名，那就是有两名一定到同一所学校，先选择这两名同学，再排列问题得以

解决.

【解答】解：第一步从4名优秀学生选出2个组成复合元素共有戏，在把3个元素（包含一个复合元

素）保送到甲、乙、丙3所学校有用，

根据分步计数原理不同保送方案共有以•属=36种.

故选：C.

【点评】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题.

6.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供

选择，则不同的涂色方法种数有（）

A.24B.48C.96D.120

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题；对应思想；转化法；排列组合.

【答案】C

【分析】分两两类，第一类：若A,。相同，第二类，若A,。不同，根据分类计数原理可得

【解答】解：第一类：若A,。相同，先涂E有4种涂法，再涂A,。有3种涂法，再涂4有2种涂法,

。只有1种涂法，

共有4X3X2=24种，

第二类，若A,。不同，先涂E有4种涂法，再涂4有3种涂法，再涂。有2种涂法，

当8和。相同时，。有2种涂法，当B和。不同时，B,。只有1种涂法，

共有4X3X2X（2+1）=72种，

根据分类计数原理可得，共有24+72=96种，

故选：C.

【点评】本题考查了排列组合中的涂色问题，考查了分类计数原理，属于中档题

7.将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）

A.24种B.28种C.32种D.36种

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题：分类讨论；转化法；排列组合.

【答案】B

【分析】分三类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本诗集，有一个人分到两本小说，

根据分类计数原理可得.

【解答】解：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本

诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剩余3个同学，有3种分法，那

共有3X4=12种

第二类，有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先将两本诗集分到一个人手上，有4种情况,

将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法.那共有：4X1=4#,

第三类，有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再

将剩余的两本诗集和一木小说分给剩余的3个人，有3种分法.那共有：4X3=12种，

综上所述：总共有：12+4+12=28种分法，

故选:B.

【点评】本题考查了分类和分步计数原理，关键是分类，属于中档题.

8.如图，一环形花坛分成A,B,C,。四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相

邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）

【考点】排列及排列数公式.

【专题】压轴题.

【答案】B

【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、

三种花、四种花，分这三类来列出结果.

【解答】解：分三类：种两种花有用种种法；

种三种花有2题种种法;

种四种花有川种种法.

共有题+24；+*=84.

故选：B.

【点评】本题也可以这样解：按A・8・C・。顺序种花，可分A、C同色与不同色有4X3义（1X3+2

X2）=84.

9.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形44co（边长为2个单位）的顶点

人处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为Mi=l,

2,…，6）,则棋子就按逆时针方向行走，个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好乂

回到点A处的所有不同走法共有（）

A.22种B.24种C.25种D.27种

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；排列组合；数学抽象；运算求解.

【答案】。

【分析】根据题意，法一：分析可得若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点4处，则三次骰子的点数之

和是8或16,据此列举列分析点数中三个数字为8或16的组合数目，结合排列、组合数公式分析每种

组合的顺序数目，由加法原理计算可得答案.

法二：分析可得若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16,据此分

2种情况讨论，由加法原理计算可得答案.

【解答】解：法一：根据题意，正方形ABC。的边长为2个单位，则其周长是8,

若抛掷三次骰子后棋子恰好乂I可到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16,

若三次骰子的点数之和是8,有1、1、6,1、2、5,1、3、4,2、2、4,2、3、3,共5种组合，

若三次骰子的点数之和是16,有4、6、6,5、5、6,共2种组合，

其中1、1、6,2、2、4,2、3、3,4、6、6,5、5、6,这5种组合有C31=3种顺序，

1、2、5,1、3、4,这2种组合有A33=6种顺序，

则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法3X5+2X6=27和1

法二：同法一：分析可得三次骰子的点数之和是8或16,

2

若三次骰子的点数之和是8,相当于8个点数中用2个隔板，有C7=21种顺序，

若三次骰子的点数之和是16,有4、6、6,5、5、6,共2种组合，每种组合有g1=3种顺序，

则此时有2X3=6种顺序，

抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法21+6=27种，

故选：D.

【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理，关键分析抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点

4处的情况.

二,多选题（共3小题）

（多选）10.4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（）（选项中排列数的计算结果均

正确）

A.若3个女生必须相邻，则不同的排法有力＞力％=144种

B.若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有川•耳•掰二2880种

C.若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有力-2服+福=3720种

D.若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有川二840种

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】BCD

【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法求解.

【解答】解：对于选项4若3个女生必须相邻，

则不同的排法有相福=720种，

即选项4错误；

对于选项B,若3个女生中有且只有2个女生相邻，

则不同的排法有题•&•不=2880种,

即选项8正确：

对于选项C,若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，

则不问的排法共有修-2傕+底=3720种，

即选项C正确；

对于选项。，若3个女生按从左到右的顺序排列，

则不同的排法有&=840种，

即选项D正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题.

（多选）II.如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能

用同一种颜色，则不同的着色方法数为（）

A3XA1

A.42

BA2A2

3X4

2

uA2Xp

4(A

2222

c1XA+cX-z

D.434(A2x

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题：转化思想.：定义法：排列组合：运算求解.

【答案】ACD

【分析】根据题意，分2步讨论4个区域的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解：方法一：根据题意，如图，设四个区域依次为A8CQ,分2步进行分析：

①对于区域4BC,两两互相相邻，有种涂色方法，②区域Q,与区域8、C相邻，有2种涂色方法，

则有43义41种涂色方法，③分两种情况，若A、。同色，口掰种涂色方法；若A、。不同色，先将8、

。涂色有金属种，然后A、。区域有用种，总共有。IxAl+Clx2.

2

方法二：①对于区域5C,有412种涂色方法，②区域A,D,各有2种涂色方法，则有4?X（A2'）

种涂色方法，③分两种情况，若A、。同色，口掰种涂色方法；若A、。不同色，先将B、C涂色有戏题

2

2+C2X42

种，然后A、。区域有兆种，总共有C342

故选：ACD.

【点评】本题考查排列组合的应用，学生的逻辑推理能力，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

（多选）12.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）

A.如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种

B.如果甲，乙都不排两端，QIJ不同的排法共有36种

C.如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种

D.如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】ABD

【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案.

【解答】解析：A.如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有用掰=48种，故A正确：

B.如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有掰心=36种，故3正确；

C.如果甲乙不相邻,则不同排法共有印相=72种,故C错误;

215

D.如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有溪=20种，故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

三.填空题（共4小题）

13.如果一个正四位数的千位数口、百位数。、十位数c和个位数d满足关系（〃-力）（c-d）<0,则称其

为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”.那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为

3645.（直接用数字作答）

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题；压轴题；概率与统计.

【答案】见试题解答内容

【分析】当力时，c>d,。和。有36种组合，c和d有45种组合，共有36X45=1620个.当b〈a

时，d<c,。和Ac和d,都有45种组合，共有45X45=2025个，相加即得所求.

【解答】解：当力时，c>d.

。不能为零，所以。和力有36种组合，C和d有45种组合，共有36X45=1620个.

当b<a时，d>c.

a和4c和d,都有45种组合，共有45X45=2025个.

总共1620+2025=3645个，

故答案为3645.

【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.

14.某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、4、Bi、C上

各安装•个灯泡,要求同•条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有12种（用数字作答）.

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题；压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】本题需要用分步计数原理，先安排底面三个顶点，再安排上底面的三个顶点.由分步计数原理

可知所有的安排方法.本题也可以先安排上底面的三个顶点.

【解答】解：先安排底面三个顶点共有心种不同的安排方法，

再安排上底面的三个顶点共有6种不同的安排方法.

由分步计数原理可知，

共有题・6=12种不同的安排方法.

故答案为：12.

【点评】本小题主要考查排列组合的基本知识.对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并

不都是•步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决.

15.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不

同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）.

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题；压轴题；分类讨论.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据题意，要求相邻的两个格子颜色不同，故用到颜色最少为2种，则分用2种颜色、3种颜

色、4种颜色3种情况讨论，分析计算各种情况下的情况数目，由分类计数原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，分为三类：

第一类是只用两种颜色则为：C62A2?=30种，

第二类是用三种颜色则为：C63c31c21c21=240种，

第三类是用四种颜色则为：G6"44=360种，

由分类计数原理，共计为30+240+360=630种，

故答案为630.

【点评】本题考杳组合、排列的综合应用与分类计数原理的运用，注意分类时，明确分类的标准，做到

不重不漏.

16.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为

180.（用数字作答）

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】从0，1，2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，这六个数字包含0,这是题目

困难的地方，因此在解题时要把带零和不选零分开，既要分类讨论，含。的选择注意。不能放在首位.

【解答】解：从六个数字中任取两个奇数和两个偶数，

当偶数不包含0时有C22c3?44=72,

当偶数中含0时有C21c32c3^33=108,

・••组成没有重复数字的四位数的个数为72+108=180,

故答案为；180.

【点评】题目中出现有限制条件的元素，偶数0若选择时要注意它不能放在首位，解题时要先考虑有限

制条件的元素.

四,解答题（共4小题）

17,有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

（1）选5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；

（3）全体排成一排，女生必须站在一起；

（4）全体排成一排，男生互不相邻；

（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；

（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.

【考点】部分元素不相邻的排列问题.

【专题】分类讨论；综合法；排列组合；运算求解.

【答案】（1）2520,

（2）5040,

（3）576,

（4）1440,

（5）3600,

（6）3720.

【分析】（1）由排列数公式分析可得答案；

（2）根据题意，分2步分析前排、后排的排法，由分步计数原理计算可得答案：

（3）根据题意，先将4名女生看成一个整体，再将这个整体与3名男生全排列，由分步计数原理计算

可得答案；（4）根据题意，先排4名女生，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男

生，由分步计数原理计算可得答案；

（5）根据题意，先分析甲的排法，再分析剩下6人的排法，由分步计数原理计算可得答案：

（6）根据题意，分2种情况讨论：①，甲排在最右边，则乙有6个位置可选，将剩下的5人全排列，

安排在其他5个位置，②，甲不排在最右边，则乙有5个位置可选，将剩下的5人全排列，安排在其他

5个位置，由分类计数原理计算可得答案：

【解答】解：（1）根据题意，有3名男生、4名女生，共7人，从中选出5人排成一排，有475=2520

种排法；

（2）根据题意，前排3人，有用种排法，后排4人，有8种排法，

则有心•用=5040种排法;

（3）根据题意，将4名女生看成一个整体，有A44种排法，

将这个整体与3名男生全排列，有八44种排法，

则有44X44=576种排法；

（4）根据题意，先排4名女生，有A?种排法，

排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，有种排法，

则有A44X43=1440种排法；

（5）根据题意，甲不站排头乜不站排尾，有5种情况，

6

将剩下的6人全排列，有A6种排法，

则有5XA66=3600种排法；

（6）根据题意，分2种情况讨论：

①，甲排在最右边，则乙有6个位置可选，将剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，

5

此时有6XA5=720种排法;

②，甲不排在最右边，则乙有5个位置可选，将剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，

此时有5X5X45=3000种排法;

则一共有720+3000=3720种不同的排法.

【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

18.设s,…，〃”为1,2,…，〃按任意顺序做成的一个排列，力是集合（㈤0〈以，AM元素的个数，

而gk是集合｛4他＞如谆⑻元素的个数a=l,2,…，〃），规定/j=gi=0,例如:对于排列3,1,2,

力=2,及=0,73=0

（/）对于排列4,2,5,1,3,求以1fk

（//）对于项数为2〃-1的一个排列，若要求2〃-1为该排列的中间项，试求££=i四的最大值，并写

出相应得一个排列

（山〉证明2：=1"=a=1取・

【考点】排列组合的综合应用；数列的求和.

【专题】计算题；综合题；压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】（/）直接按定义来操作，根据人是集合｛4%＜似，，＞以元素的个数，看出符合条件的元素的个

数，得到结果.

（〃）（〃）当项数为2〃-1的一个排列,2〃-1为该排列的中间项,前面有〃顶,后面有〃项，要求££=1gk

的最大值，只要使得排列满足〃至I」2〃-2排列到2〃-I的前面，1至IJ〃-1排列到2〃-1的后面，得到

结果.

（〃/）■是集合｛阂卬V%,6元素的个数，而gjt是集合｛啾点*用iV灯元素的个数（%=1,2,…,

〃），规定J“=gi=0，依次得到f】-i=g2，…，得到各项之和相等.

【解答】解：（/）•・•排列4,2,5,1,3,

fk是集合｛劣％＜。公，＞灯元素的个数,

・・・力=3,近=1,力=2,力=0,6=0,

ASk=ifk=3+l+2+0+0=6.

（//）当项数为2〃-I的一个排列，

2〃-1为该排列的中间项，前面有〃项，后面有〃项，

•••要求Xbi版的最大值，只要使得排列满足〃到2〃-2排列到2/7-1的前面，1到〃-1排列到2〃-1

的后面，

*,•.?!=0,g2=l，83=2,…8方-1=2〃-2,

（“2九一"2吁2）=（2〃7）（〃7]

•.Nbi外的最大值是

2

比如举一个包含7项的数列:6,5,4,7,3,2,1；

（///）;A是集合｛㈤四，i＞公元素的个数，

而蒯是集合，＜%｝元素的个数（k=1，2,…，n）,

规定工?=gl=0，

**fn-I=g2

J；】-2=g3

:*fl=gn.

•*•22=1fk—ZIc=i9k-

【点评】本题是一道综合性很强的题，解题时要认真审题，理解定义，并会用新定义来解题，仔细解答，

避免错误.

19.在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.

（1）当4个舞蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安拄顺序？

（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？

（3）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对

顺序，有多少种不同的节目演出顺序？

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】计算题；对应思想；转化法；排列组合；运算求解.

【答案】（1）120960,（2）840,（3）132.

【分析】（1）相邻问题用捆绑法，根据分步乘法计数原理可得，

（2）不相邻问题用插空，先排6个演唱节目，再4个舞蹈节FI插空，根据分步乘法原理可得，

（3）所有节目没有顺序要求，全部排列，则有4杉种排法，再除以顺序数即可求出.

【解答】解：（1）第一步先将4人舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排,有力=5040

种方法，

第二步再松绑，给4个节目排序，有*=24种方法.根据分步乘法计数原理，一共有5040X24=120960

种.

（2）第一步将6个演唱节目排成一列（如图中的“口”），一共有线=720种方法，

xnxaxnxnxnxax

第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间（即图中“x”的位置），这样相当于7个“X”

选4个来排，一共有掰=7x6x5x4=840#,

根据分步乘法计数原理，一共有720X840=604800和L

（3）若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有力杉种排法，但原来的节目」定好顺序，需要消除，所

2112

以节目演出的方式有虚=而2=132种排法.

【点评】本题考查排列、组合的应用，要掌握常见问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，不相邻用插

空，定序法，属于中档题.

20.某条公路上依次有10个车站Ao,4,…，A9,相邻两站（如Ao与Ai、4与A2…）间距离均为1km,

某货车从Ao站出发，跑遍各站，运送货物，且货车在每站只停留一次，最终返回Ao站，由于货运需要，

货车不一定顺次停车.

（如可能从出发到返回依次停车于Ao-A5-*/U-A8-A7fA3fA6fA2-Ai—Ao）:

（1）若货车按上述示例送货，其总里程是多少？（写出结果即可）

（2）求该货车可能行驶的最小里程？

（3）求该货车可能行驶的最大里程？并求达到该最大里程的停靠方案数有多少种？

【考点】排列组合的综合应用.

【专题】应用题；对应思想：转化法；排列组合.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）由题意直接计算即可，

（2）论货车如何依靠，均完成了从Ao站出发，到达加站，并返回至。的过程，故所经过的路程至少

为4o、49间距离的2倍,即522X9=18痴.问题得以解决，

（3）设货车依次停经站点与4）站距离为汨”这里xo=O,加，也，…，刈为I,2,3,…，9的一个排

列，则5=似)-xi1+田-X2|+…+陵~X9\+\xg-xo\=5Okm,再根据排列组合的知识即可求出

【解答】解：(1)5+1+4+1+4+3+4+7+8+1=38,

故货车按上述示例送货，其总里程是38h〃，

(2)不论货车如何依靠，均完成了从4)站出发，到达川站，并返回至Ao的过程，

故所经过的路程至少为4、加间距离的2倍，即S22X9=18%.

另一方面，当货车按照AofA—A2fA3f44fA5f46fA8fA9-*Ao，可取等号，

(3)设货车依次停经站点与Ao站距离为为”这里死=0,xi，4，…，刈为I,2,3,…，9的一个排

列，

则总路程S=ho-X||+|xi-X2|+,*,+|X8-X9\+\X9-xol；

若把上述绝对•值符号去掉，则上述和为10个带正号的数与10个带负号的数的代数和，

故ISIW2(9+8+74-6+5)-2(0+1+2+3+4)=50km；

若要达到这个效果,则每个比-刘+11中的右与刘+i不能同时取｛0,1,2,3,4｝中的值，或同时取｛5,6,

7,8,9｝中的值，其中i=0,I,2,9且认为xio=xo，

・•・货车经过各站必须满足第偶数站是4o,4,A2,A3,A4中的某站，第奇数站是45,4,由，心，A9

中的某站，

特别地，当货车按照A9-Ai-A8fA2fA7fA3fA6f44fA5fAo时，可取到最大值；

・•・达到该最大里程的停靠方案共有5!X4!=2880种

【点评】本题考杳了路线最短和最远问题，考杳了转化能力和分析解决问题的能力，属于难题

考点卡片

1.数列的求和

【知识点的认识】

就是求出这个数列所有项的和，i般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的

方法包括:

(1)公式法:

①等差数列前〃项和公式：+](//-1)d或S尸皿抖

②等比数列前〃项和公式：

力'(9=1)

s—a—/

—：------=­；-----峋*1)

\-q1-q

③几个常用数列的求和公式：

«1

(1)S”=卜=1+2+3+...+〃=2巩九+1)

222

(2)s-y=1+2+3+...+〃2=1〃(九+1)(2九+1)

上=16

«1

3332

(3)Sn=工1=1+2+3+...+九3=[-n(n+1)]

(2)错位相减法：

适用于求数列｛如X仇｝的前〃项和，其中伍〃｝｛尻｝分别是等差数列和等比数列.

(3)裂项相消法：

适用于求数列｛」一｝的前〃项和，其中｛。〃)为各项不为0的等差