2026年高考数学总复习分类汇编：集合11种常见考法归类（解析版）

专题01集合11种有见考此相奏

五年考情•探规律

知识五年考情(2021-2025)命题趋势

考点01判断元素与集合的关系

2022•全国乙卷

考点02根据元素与集合的关系求集合

知识1集合的2023•上海

含义与表示

（5年3考）考点03集合元素互异性的应用

2023•全国乙卷

考点04集合的表示方法

20244匕京2022・」匕京

考点05判断两个集合的关系

知识2集合间2021•上海

的基本关系集合的交并补运算是高考中的重

（5年2考）考点06根据集合的包含关系求参数点高频考点，主要还是以不等式作

2023•新课标11卷为背景，应注重特殊符号，根号，

考点07交集的概念及运算对数，分式不等式。

2025•北京2025•全国二卷

2024.天津2024.全国甲卷2024.新高考全国I卷

2023•北京2023•新课标I卷

2022.新高考全国I卷2022.新高考全国II卷

知识3集合问2022•全国甲卷2022•全国乙卷2022•上海

的基本运算2021.新高考全国I卷2021•全国甲卷2021.全国

（5年5考）乙卷

考点08并集的概念及运算

2024•北京2024•上海

2022•浙江

2021•北京

考点09补集的概念及运算

2025•全国I卷2025•上海2022•北京

考点10集合的交并补混合运算

2025•天津

2024•全国甲卷

2023•全国甲卷2023•全国乙卷2023•天津

2022.天津2022.全国甲卷

2021•天津2021•新高考全国II卷2021•全国乙卷

知识4集合新

考点11集合新定义

定义

2025•北京2025•上海

（5年1考）

分考点•精准练

考点01判断元素与集合的关系

1.（2022・全国乙卷・高考真题）设全集U={123,4,5},集合M满足={1,3},则（）

A.B.C.4任MD.5史M

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】判断元素与集合的关系、补集的概念及运算

【分析】先写出集合M,然后逐项验证即可

【详解】由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误

故选:A

考点02根据元素与集合的关系求集合

2.（2023・上海・高考真题）已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|xeP且xwQ},则M=（）

A.{1}B.{2}C.U，2}D.{1,2,3}

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】根据元素与集合的关系求参数

【分析】根据给定条件，直接求出集合M中的元素作答.

【详解】因为尸={1,2},由xe。，得x=l或x=2,

又。={2,3},且x史Q,即有不=2且xw3,因此X=1,

所以M={1}.

故选:A

考点03集合元素互异性的应用

3.（2023・全国乙卷・高考真题）已知等差数列{凡}的公差为与，集合5=卜。叫/〃£1<},若5={"九则必=

（）

A.-1B.--C.0D.4

22

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、利用定义求等差数列通项公式、数列周期性的应用、集合元

素互异性的应用

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理

作答.

【详解】依题意，等差数列依，中,%=4+（…牛争+皿号）,

JJJ

显然函数丁=cos［与〃+（q-专）］的周期为3,而〃GN'，即cos与最多3个不同取值，又

{cos|AZGN*}={«,/?）,

则在cosa}，cosa2,cos%中,cosa}=cosa2rcosq或cosa}*cosa.=cosa5或cosq=cos4*cos%

27r4兀

于是有cos。=cos（<9+3-）或cos6=cos（。+—）,

即有0+（0+@）=2EMeZ,解得0=E—4《eZ；

33

或者e+（e+竺）=2E/wz,解得e=E-空/ez；

33

所以&eZ,ab=cos（kn--）cos［（An--）+—1=-cos（E--）cosht=-cos2kitcos—=

333332

,2K.,1

ab=COS（KJl---）COSKR=—.

32

故选：B

考点04集合的表示方法

4.（2024・北京•高考真题）己知”={（内，）1），="+/（丁7）,1"<2,（"品1}是平面直角坐标系中的点集.设

d是M中两点间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则（）

A.cl=3,S<\B.d=3,S>\

C.d=S<\D.J=S>\

【答案】C

【难度】0.4

【知识点】描述法表示集合、三角形面积公式及其应用、求平面两点间的距离

y<x2

【分析】先以/为变吊，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域）史工，结合图形分析求解即可.

l<x<2

【详解】对任意给定彳41,2],则f_x=x（xT）N。，且『«0』，

可知+-X）<X+X2-x=x2,即x<y<X2,

y<x2

再结合X的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域卜2X,

l<x<2

如图阴影部分所示,其中4（1,1）,巩2,2）,。（24）,

可知任意两点间距离最大值d=卜。|=7（1-2）2+（1-4）2=710,

阴影部分面积S<SA®=gx1x2=1.

故选：C.

【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，

见数想图，以开拓自己的思维.使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确

把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解.

5.（2022.北京•高考真题）已知正三棱锥P-A8C的六条棱长均为6,S是VA3C及其内部的点构成的集合.设

集合了={QwS|PQK5},则丁表示的区域的面枳为（）

A.—B.乃C.2乃D.3兀

4

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】描述法表示集合、球的截面的性质及计算、立体几何中的轨迹问题

【分析】求出以/）为球心，5为半径的球与底面A8C的截面圆的半径后可求区域的面积.

【详解】

p

设顶点P在底面上的投影为。，连接BO,则。为三角形A8C的中心，

且BO=2x6x立=26，故尸。=：36-12=2疝

32

因为尸Q=5,故OQ=1,

故。的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆，

2x3x36

而三角形A8C内切圆的圆心为。・半径为“丁、,

3x6

故。的轨迹圆在三角形A8C内部.故其面积为江

故选：B

考点05判断两个集合的关系

6.(2021•上海•高考真题)已知集合4=*3-x-2K)},B={x[x>-1},则()

A.AQBB,物qRBC.ACB=(/>D.AU8=R

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】判断两个集合的包含关系、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】先求解集合A中不等式，计算翻，依次判断即可

【详解】由题意,A={x|x2-x-2>0}={x|(x-2)(x+l)>0)={x|x>2gcx^-l}

/.d!f/\={x|-I<x<2}

由B={x|x>7}43={.r|x〈_l}

•••儿5和翔4,RB不存在包含关系,Ac8={x|xN2),不05=/?

故选：D

考点06根据集合的包含关系求参数

7.(2023•新课标H卷•高考真题)设集合A={0,—。},B=—2,2。—2},若则。=().

A.2B.1C.-D.-1

3

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】根据集合的包含关系求参数

【分析】根据包含关系分。-2=0和2。-2=0两种情况讨论，运算求解即可.

【详解】因为则有：

若〃一2=0,解得a=2,此时A={0,-2},8={1,0,2},不符合题意；

若2a—2=0,解得a=l,此时A={0,T},8={1,-1,0},符合题意；

综上所述：a=\.

故选:B.

考点07交集的概念及运算

8.(2024.天津•高考真题)集合A={1,2,3,4},3={2,3,4,5},则4nB=()

A.{123,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{l}

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算

【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.

【详解】因为集合4={1,2,3,4},5={2,3,4,5},

所以AA8={2,3,4},

故选：B

9.(2025•北京•高考真题)已知集合用={xl2x—1>5},N={1,2,3},贝()

A.{1,2,3}B.{2,3}C.⑶D.0

【答案】D

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算

【分析】先求出集合再根据集合的交集运算即可解出.

【详解】因为M={x|2x-l>5}={x|x>3},所以McN=0,

故选：D.

10.(2021・新高考全国I卷•高考真题)设集合A={M-2Vx<4},8={2,3,4,5},则Afi()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算

【分析】利用交集的定义可求Ac/r

【详解】由题设有AC8={2,3},

故选：B.

11.(2022.全国乙卷.高考真题)集合M={2,4,6,8,10},N={x|-lvxv6},则()

A.{2,4}B.{2,4.6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}

【答案】A

【难度】0.94

【知以点】交集的概念及运算

【分析】根据集合的交集运算即可解出.

【详解】因为M={2,4,6,8,10},N={x\-i<x<6},所以"Q'={2,4}.

故选:A.

12.(2022•全国甲卷・高考真题)设集合4={-2,-1,0,1,2},8={加4,«9、则Ap8=()

A.{0,1,2}B.{-2,-1.0}C.{0,1}D.{1,2}

【答案】A

【难度】0.94

【知以点】交集的概念及运算

【分析】根据集合的交集运算即可解出.

【详解】因为A={—B=L|0<X<|1,所以八08={0,1,2}.

故选:A.

13.(2022.上海.高考真题)若集合A=[—1,2),3=Z,则()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{—1}

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算

【分析】由于Z是整数集，结合交集的概念即可求出结果.

【详解】因为A=[—l,2),B=Z,所以人04={-1,04},

故选：B.

14.(2025•全国二卷高考真题)已知集合4={-4,01,2,8},8={况丁=4则4口3=()

A.{0,1,2}B.{1,2,8)

C.{2,8}D.{0,1}

【答案】D

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算

【分析】求出集合8后结合交集的定义可求Ac8.

【详解】«={x|x3=.r}={0,-U},故408={0川，

故选：D.

15.（2024.全国甲卷.高考真题）若集合A={1,2,3,4,5,9},8=卜卜+1€可，则人口8=（）

A.{1,2,3}B.{3,4,9}C.{1,2,3,4}D.{2,3,4,5}

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算

【分析】根据集合8的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.

【详解】依题意得，对F集合8中的元素x,满足x+1=123,4,5,9,

则上可能的取值为0,123,4,8,即8={0』,2,3,4,8},

于是Ac3={l,2,3,4}.

故选：C

16.（2022.新高考全国I卷.高考真题）若集合M={x|«<4},N={x|3xNl},则Mp|N=（）

A.{x|0<x<2}B.-x-<x<2'C.{x|3<x<16}D.-<x<16■

3

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算

【分析】求出集合M,N后可求MCN.

【详解】={x|0<x<I6},;V={x|x>-},故McN=«»,

3>3*

故选：D

17.（2024•广东江苏•高考真题）己知集合人={耳―5</<5},8={-3,-1,0,2,3）,则AA3=（）

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3-10}D.{-1,0,2}

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算、由第函数的单调性解不等式

【分析】化简集合A,由交集的概念即可得解.

【详解】因为A={x|—为vxv%},8={—3,—1,0,2,3},且注意到1〈指<2,

从而408={-1,0}.

故选:A.

18.(2023•北京•高考真题)已知集合M={xlx+220},N={x|x_l<0},则MQN=()

A.{x|-2<x<1)B.{x|-2<x<l}

C.{x|x>-2}D.{x|A<1}

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算

【分析】先化简集合M，N,然后根据交集的定义计算.

【详解】由题意，M={x|x+2>0}={x|%>-2},N={x|x—1<0}={X|X<1},

根据交集的运算可知，MflNig-2Kx<1}.

故选：A

19.(2023•新课标I卷•高考真题)已知集合知={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6>0),则MDN=()

A.B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合M中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为'=卜,27—62()}二(—8,—2]33，+。)，而M={-2,-1,0,1,2},

所以MC)N={-2}.

故选：C.

方法二：因为“={-21,0,1,2},将-2,T,0」,2代入不等式/一一620,只有—2使不等式成立，所以

Mr)N={-2}.

故选：C.

20.(2022・新高考全国II卷•高考真题)已知集合4={—1,1,2,4},8={不卜一1区1},则Ap|8=()

A.{-1,2}B.{1,2}C,{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、公式法解绝对值不等式

【分析】方法一：求出集合8后可求AcA.

【详解】I方法一]:直接法

因为A={x|0KxK2},故ADB={1,2},故选：B.

［方法二］：【最优解】代入排除法

x=_1代入集合八卜卜-1日},可得241,不满足，排除A、D；

x=4代入集合片={“卜-1|工1},可得3W1,不满足，排除C.

故选：B.

【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；

方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解.

21.(2021•全国甲卷・高考真题)设集合例={l,3,5,7,9},N={x|2x>7},则Mp|N=()

A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算

【分析】求出集合N后可求McN.

【详解】N=6,+8),故MCN={5,7,9},

故选：B.

22.(2021.全国甲卷•高考真题)设集合M={x|0vx<4},N=(x；«xK5},则MflN=()

A."x0<x<­>B.<x-<x<4

33

C.{x|4<x<5)D.{x|0<x<5}

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算

【分析】根据交集定义运算即可

【详解】囚为"={大|0<%<4},7={大|,兰丈乂5},所以McN=<，，

313.

故选：B.

【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.

23.(2021・全国乙卷・高考真题)己知集合5={5k=2〃+1,〃£2},7={*=4〃+l,〃eZ},则S?7()

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算

【分析【分析可得T=S,由此可得出结论.

【详解】任取rwT,则1=4〃+1=2(涮+1,其中〃eZ,所以，twS,故T±S,

因此，SC\T=T.

故选：C.

考点08并集的概念及运算

24.(2022・浙江・高考真题)设集合A={1,2},8={2,4,6},则A|J8=()

A.{2}B.出2}C.{2,4,6}D.{1,2,4,6}

【答案】D

【难度】0.94

【知识点】并集的概念及运算

【分析】利用并集的定义可得正确的选项.

【详解】AUA={1,2,4,6},

故选：D.

25.(2021・北京•高考真题)已知集合4={x[-B={.r|0<x<2},则A|JB=()

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<2}

C.{x|0<x<l}D.{x|0<x<2}

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】并集的概念及运算

【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.

【详解】由题意可得：A[)B={x\-\<x<2}.

故选：B.

26.(2024・北京•高考真题)已知集合M=*|-3vxvl},/V={A|-1<x<4},则MuN=()

A.{x|-l<x<l}B.|x|x>-31

C.{x|-3<x<4jD.{x|x<4}

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】并集的概念及运算

【分析】直接根据并集含义即可得到答案.

【详解】由题意得MUN=3—3<XV4}.

故选：c.

27.(2024.上海.高考真题)设全集U={123,4,5},集合A={2,4},则黑.

【答案】{1,3,5}

【难度】0.94

【知识点】补集的概念及运算

【分析】根据补集的定义可求可.

【详解】由题设有么={135},

故答案为：{1,3,5}

考点09补集的概念及运算

28.(2025・全国一卷•高考真题)设全集U={x|x是小于9的正整数},集合A={1,3,5},则4A中元素个数为

()

A.0B.3C.5D.8

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】补集的概念及运算

【分析】根据补集的定义即可求出.

【详解】因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以屯力={2,4,6,7,8},Q.A中的元素个数为5,

故选：C.

29.(2025•上海•高考真题)已知全集。={#2《]45亦£1<},集合A={x|2«xv4,xeR},则耳二.

【答案】(x|4W,xwR)/(4,5)

【难度】0.94

【知识点】补集的概念及运算、区间的定义与表示

【分析】根据补集的含义即可得到答案.

【详解】根据补集的含义知4={工|4WxW5,xwR}.

故答案为；[x|4<x<5,xcR).

30.(2022・北京・高考真题)已知全集U={x|-3<x<3},集合A={x|-2<xW1},则Q,A=()

A.(-2,1]B.(T—2)UU,3)C.(-2,1)D.(—3,—2]U(l,3)

【答案】D

【难度】0.94

【知识点】补集的概念及运算

【分析】利用补集的定义可得正确的选项.

【详解】由补集定义可知：^A={x\-3<x<-2^\<x<3},即①A=（—3,-2]U（l，3）,

故选：D.

考点10集合的交并补混合运算

31.（2021・天津•高考真题）设集合A={-1。1},8={l,3,5},C={024},则（Ac8）uC=（）

A.{0}B.{0,1,3,5}C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】交并补混合运算

【分析】根据交集并集的定义即可求出.

【详解】丁A={-1,0,1）,8={L3,5},C={0,2,4},

:,Ar>B={\},.\（AnB）uC={0,l,2,4}.

故选：C.

32.（2024•全国甲卷・高考真题）已知集合从={1,2,3,4,5,9}.8=k|五€力，则G（Ac8）=（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9；C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算

【分析】由集合笈的定义求出8,结合交集与补集运算即可求解.

【详解】因为A={1,2,3,4,5,9},B=W五£4卜所以8={1,4,9,16,25,81},

则箱"={1,4,9},a（Af!4）={2,3,5}

故选：D

33.（2022.天津.高考真题）设全集U={-2,-l,0,1,2},集合A={0,l,2},B={T,2},则AQ（电石）二（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,—1,1,2}

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算、交并补混合运算

【分析】先求出再根据交集的定义可求An（q：3）.

【详解】={-2,0,1）,故町|（即5）={0,1},

故选：A.

34.（2021•新高考全国n卷•高考真题）设集合。={1,2,3,4,5,6},4={1,3,6},8={2,3,4},则4门（4，町=（）

A.⑶B.(1,6)C.{5,6}D.{1,3}

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算

【分析】根据交集、补集的定义可求AcR用）.

【详解】由题设可得科8={1,5,6},故Ac色8）={1,6},

故选:B.

35.（2023•全国乙卷•高考真题）设全集U={0,124,6,8},集合M={0,4,6},N={0,l,6},则（）

A.{024,6,8}B.{04,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算

【分析】由题意可得“N的值，然后计算即可.

【详解】由题意可得布N={2,4,8},则MUaH={0,2,4,6,8}.

故选:A.

36.（2023•全国甲卷•高考真题）设全集U={123,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则NUQ/M=（）

A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算

【分析】利用集合的交并补运算即可得解.

【详解】因为全集。={123,4,5},集合"={1,4},所以解"={2,3,5},

又3={2,5},所以NU4M={2,3,5},

故选：A.

37.（2025•天津商考真题）已知集合。={1,2,3,4,5}）={1,3}1={2,3,5},则电（4口5）=（）

A.{123,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{4}

【答案】D

【难度】0.94

【知识点】交并补混合运算

【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.

【详解】由4={1,3},8={2,3,5},则Au8={l,2,3,5},

集合U={123,4,5},

故％(A|JB)={4}

故选：D.

38.(2023•全国甲卷•高考真题)设全集U=Z,集合M={dx=3k+I«CZ},N={X|x=3k+2,keZ}t

金(MuN)=()

A.{x\x=3k,kGZ}B.{X|x=3k-\,keZ]

C.{A1x=3k-2,keZ}D.0

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】交并补混合运算

【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出.

【详解】因为整数集Z={x|x=3七,&£Z}U{x|x=3k+l,&cZ}U{x|x=3k+2MeZ},U=Z,所以，

电(A/UN)={x|x=3A«eZ}.

故选：A.

39.(2023•天津•高考真题)已知集合3={1,2,3,4,5},4={1,3},5={1,2,4},则Q*UA=()

A.{1,3,5}B.{1,3}C.{1,2,4}D.{1,2,4,5}

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】交并补混合运算

【分析】对集合8求补集，应用集合的并运算求结果；

【详解】由。出={3,5},而八={1,3},

所以+3UA={1,3,5}.

故选：A

40.(2022•全国甲卷•高考真题)设全集U={-21,0,1,2,3},集合4={-l,2}.B=例/-4x+3=。},则

G(AD4)=()

A.{1,3}B,{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【难度】0.94

【知识点】交并补混合运算

【分析1解方程求出集合A再由集合的运算即可得解..

【详解】由题意，B=(X|X2-4X+3=0}={1,3},所以AU8={-I,123},

所以d(Au3)={-2,0}.

故选：D.

41.(2021・全国乙卷・高考真题)已知全集。={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则金(MuN)=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】交并补混合运算

【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.

【详解】由题意可得:MUN={1,2,3,4},则加(MUN)={5}.

故选：A.

42.(2023•全国乙卷•高考真题)设集合U=R,集合M={x|x<l},7V={^-1<x<2),则{.心？2}=()

A.电(MUN)B.NUQM

C.々(MAN)D.MuQN

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算

【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{幻》22}即可.

【详解】由题意可得MUN={x|x<2},贝lJg(M|jN)={x|x22},选项A正确；

Q,M={x|xNl},则NUQ,，A7={X|X>T},选项B错误；

MnN={x|-则名(McN)={x|xWT或xNl},选项C错误；

Q,W={幻或xN2},则MU4N={X|X<1或xN2},选项D错误；

故选：A.

考点11集合新定义

43.(2025・北京・高考真题)已知集合人={123,4,5,6,7,8},"={«)，)|.丫"广"},从M中选取〃个不同

的元素组成一个序列：(不凹),(々，%)，…，(•％”)，其中称为该序列的第，项。=1，2，…,")，若该序列

|加一耳|=3]除「为|=4,

；(/=1,2,则称该序列为K歹|J.

的相邻项(4yJG+i,x+i)满足:瓜.「必|=4"[|%「引=3

⑴对于第1项为(3,3)的K列，写出它的第2项.

⑵设「为K歹力且「中的项(％,»*=1,2，…,〃)满足：当i为奇数时，x”{l27,8}：当i为偶数时，为£{3,4,5,6}.

判断(3,2),(4,4)能否同时为「中的项，并说明理由；

⑶证明：由W的全部元素组成的序列都不是K歹|J.

【答案】（1）（6,7）或（7,6）

（2）不能，理由见解析

（3）证明过程见解析

【难度】0.4

【知识点】集合新定义

【分析】（1）根据新定义即可得解；

（2）假设（3,2）与（4,4）能同时在「中，导出矛盾，从而得出（3,2）与（4,4）不能同时在「中的结论；

（3）假设全体元素构成一个K歹。通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.

【详解】⑴根据题目定义可知，卜""?或卜尸

±4

lZ+i=Zl）'m=K±3

若第一项为（3,3）,显然与=0或-1不符合题意（不在集合A中），所以下一项是（6,7）或（7,6）：

（2）假设二者同时出现在「中，由于K列取反序后仍是K歹U，故不妨设（3,2）在（4,4）之前.

显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从（3,2）到（4,可必定要向下一项走

奇数次.

但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从（3,2）到（4,4〉必定要向下一项走偶数次.

这导致矛盾，所以二者不能同时出现在「中.

（3）法1：若M中的所有元素构成K歹I」，考虑K列中形如（％,£乂4»«1,2,7,8}）的项，

这样的项共有16个，由题知其下一项为（即,刖＞七讨,坨e{3,4,5,6},共计16个，

而（加，加汁。3）,（6,3）,（3,6）,（6,3）,因为只能6由2来，3只能由7来,

横、纵坐标不能同时相差4,这样下一项只能有12个点，

即对于16个（毛,其），有12个（七+1,»+1）与之相对应，矛盾.

综上，由M的全部元素组成的序列都不是K歹U.

法2：假设全体元素构成•个K列，则〃=64.

设T={（x,y）|xe{l,2,7,8},y€{1,2,3,4,567,8}},4={（x,y）|xw{3,4,5,6},ye{1,2,3,4,567,8}}.

则工和刀都包含32个元素，且十中元素的相邻项必定在4中.

如果存在至少两对相邻的项属于。，那么属于心的项的数目一定多下属于T的项的数目，

所以至多存在一对相邻的项属于

如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如2〃?和2根+1,

否则将导致属于4的项的个数比属于4的项的个数多2,此时初=1,2,3,…,31.

从而这个序列的前2机项中，第奇数项属JR,第偶数项属「心；

这个序列的后64-2/〃项中，第奇数项属于刀，笫偶数项属于几

如果不存在相邻的属于4的项，那么也可以看作上述表示在小=0或〃7=32的特殊情况.

行名吐把“申万19E人先4（%21，m1）£刀，（程，）々）6（，1"后"'〃

这意味着必定存在〃"［0,1,2,...,3/%使得力\"/\「

©21，Hi）e4，（x2GM）C1,加+1工”32

由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故（中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数

的点的数量一定分别是〃?和32-机（不一定对应）.

但容易验证，（和心都包含16个横纵坐标之和为奇数的点和16个横纵坐标之和为偶数的点，所以

m=32—m=16,得〃？=16.

.©几（0，）%）£5,1。K16

dU'［（%."21）包，（—％卜7；,174左432.

这就得到工={（占，"）k=1.3,5,29,31,34,36…62,64}.

再设（={（工，），）卜€{1，2,3,4,5,6,7,8},），£{1,2,7,8}},7；={（工），）上€{1,2,3,4,5,67,8},yc{3,456}}.

fniii=iT田后（AT，％*-］）wn，（”％，必上）w4人416

J'%，必i）e&（曰，％Je4,170心32°

这意味着1={（和兑），=1,3,5,...,29,31,34,36,...,62,64}.

从而得到1=工，但显然它们是不同的集合，矛盾.

所以由M的全部元素组成的序列都不是K歹IJ.

44.（2025•上海・高考真题）已知函数），=/（%）的定义域为R.对于王实数〃，定义集合M“={x"a+，）=/（x）}.

（1）若/（x）=sinx,判断g是否是.丸中的元素，请说明理由；

x+2,x<0

⑵若/（x）=厂求。的取值范围：

Vx,x>0

（3）若y=/（x）是偶函数,当X£（O,1］时，fM=l-x,且对任意ae（0,2）,均有此写出），=/*）,

xe（l,2）解析式，并证明：对任意实数c,函数）=/（%）-。在「3,3］上至多有9个零点.

【答案】（1）不是；

唱4%

（3）证明见解析.

【难度】0.4

【知识点】求函数零点或方程根的个数、集合新定义、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用

【分析】（1）直接代入计算/得和/传+力即可；

I1/IJZ

(2)法•：转化为在实数与使得/(%+。)=/(%),分析得与+2=历不，再计算得〃=，。+斗+工，

<2)4

最后根据小的范围即可得到