高三数学一轮试题 第1课时 三角函数的图象和性质

第23讲三角函数的图象和性质

链教材夯基固本

▲

激活思维

1.（人A必一P213习题T7改）函数y=2tan（3x+g的定义域是（）

兀71

A.7IxW^+E，kGZ、B.川工*万+々兀,kGZ'

I___,Ihr.__ait।kit1—

C.1卜金5十^",左D.卉zg+3,Z£Z>

、J

2.（人A必一P214习题T12）下列四个函数中，以兀为最小正周期，且在区

间俘兀）上单调递减的是（）

A.y=|siru|B.y=cosx

—-X

C.y=tanxD.y=cos]

3.将函数於）=sin（2x—郭勺图象向左平移处单位长度，再将图象上各点的

横坐标变为原来的上纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）

A.y=siiu-B.y=sin（4x+2

C.y=sin（4x-手）D.y=sin^x+^

4.（2021•北京卷）函数段）=cosx—cos2K是（）

A.奇函数，且最大值为2B.偶函数，且最大值为2

99

C-a-

88

5.（人A必一P241习题T4）右函数y=Asin（ox+9）（A>0,0V°V兀）在一个周

期内的图象如图所示，则此函数的解析式为一.

聚焦知识

1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中攵UZ)

函数y=siruy=cosxy=tartK

yy9

1/

图象

onO.2，

-\"2,|打

定义域RR—

值域——R

周期性———

奇偶性——奇函数

单调递

———

增区间

单调递

——无

减区间

对称修。

中心——)

对称轴

无

方程——

注意：)，=tanx在其定义域内不单调.

2.函数y=Asin(Q*+9)的图象

(l))，=Asin(cox+°)表示一个振动量的有关概念

y=Asin(cox+9)(A>0,①>0),x£R

振幅周期频率相位初相

Aa)x-\-(p

(0/一厂2兀(P

(2)函数y=sinx的图象经变换得到)，=4sin(①x+e)(A>0,/>0)的图象的步

骤如下:

3.三角函数的对祢性与周期7的关系

(1)相邻的两条对称轴(或两个对称中心)之间的距离为,；

T

(2)相邻的对称中心与对称轴之间的距离为东

(3)相邻的两个最低点(或最高点)之间的距离为T.

4.与三角函数奇偶性有关的结论

(1)若函数y=Asin3x+p)(x£R)是奇函数,则9=E(A£Z)；若为偶函数,

则s=E+^(A£Z).

(2)若函数y=Acos(ox+9)(x£R)是奇函数，则e=E+，(Z£Z)；若为偶函

数，则e=Z^(〃fZ).

kn

(3)若y=4an(①x+力)为奇函数，则夕=g(%£Z).

第1课时三角函数的图象和性质

研题型能力养成

▲

举题说法

目帧II三角函数的周期性、对称性

例1(1)(2023・天津卷)已知函数,/U)的一条对称轴为直线x=2,一个周期

为4,则的解析式可能为()

7171

A.H»=sin/B.H»=cos/x

C.於)=sin+D.fix)=co^x

(2)(2024•邵阳二联)(多选)己知函数./U)=sin3,E+SCOS31+也，则下列结

论正确的有()

A./U)的最小正周期为争B.火x)关于点(一会0)对称

C.段)关于直线x/对称D.段)在区间已，制上单调递减

・总结提炼A

(1)周期的计算方法：利用函数)；=击皿5+夕)，y=Acos(3+p)(G>())的周

期为潦函数y=Atan(5+8)3>0)的周期为需求解.

(2)对称轴和对称中心的计笄，本质是解方程，计算时要注意：①对称中心

是点，最终要写成坐标的形式；②相邻对称轴或对称中心之间的距离是:个周

期.(详见“聚焦知识”)

变式1(2022•新高考I卷)记函数41)=5仙(公丫+§+伙口>0)的最小正周

期为T,若用VTV兀，且函数产心)的图象关于点侍2)中心对称，则局=

3

-

B2

C.]D.3

目帧日三角函数的单调性

视角1求单调区间

例2—1(1)函数y=，sinx+坐cos1的单调递增区间是____

(2)函数y=3tan(；-2A)的单调区间为.

(3)函数於)=COS(2L§的单调递减区间为一.

<总结提炼A

已知三角函数解析式求单调区间：求形如y=Asin(s+8)或y=Acos®x+

8)(s>0)的单调区间时，要视“s+g”为一个整体，通过解不等式求解.如果

⑷V0,可借助诱导公式将切化为正数，防止把单调性弄错.

视角2根据单调性求参数

例2—2(1)(2024•唐J二模)已知函数yU)=sin(2x-9)(ldW'在(0,§上

为增函数，则9的取值范围为一.

(2)若函数於)=2sin(2x+；)在［一小句上单调递增，则实数a的最大值是

()

A工B-

126

C匹D-

J312

变式2—2已知函数凡r)=sin(c*+9)(①＞0)在区间管，明上单调，且满足

局=f痣)=&则°=-----

目帧目三角函数的最值

例3(1)(2017•全国甲卷)函数/U)=sin2x+q5cosx一芥仁0,引的最大

值是一.

(2)若函数,及¥)=布5布2.(+2852戈+〃2在区间10，］上的最大值为6,则实数

m的值为()

A.1B.2

C.3D.4

＜总结提炼a

求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：

(1)形如y=tzsinwx+/?coswx+c的三角函数化为y=Asin(①x+e)+c的形

式，再求值域(最值)；

(2)形如y=asin2;i+Z?sinx+c的三角函数，可先设sinx=f,化为关于，的二

次函数求值域(最值).

变式3(2024•益.阳5月模拟)已知函数＜x)=W§sinx+cosx)cosx一若

府)在区间一；，，〃上的值域为一坐，1,则实数机的取值范围是.

随堂内化

1.(2024•上饶一模)函数,«x)=2sin(2x一目的对称中心有()

A.你())R.修。)

C.d0)D.V，0)

2.(2024•北京卷)设函数")=sincox(①>0),已知“n)=—1,兀⑵=1,且

除一刈的最小值为彳，则①=()

A.1B.2

C.3D.4

3.（2024•新高考I卷）当［0,2兀］时，曲线y=sinx与y=2sin（3x—专）的交

点个数为（）

A.3B.4

C.6D.8

4.（2022・新高考II卷）（多选）若函数/）=sin（2x+，（0V8V7r）的图象关于

侍0）中心对称，则（）

A.y=/（x）在（0，符）上单调递减

B.>=危）在（一专，聘）上有2个极值点

C.直线尸金是一条对称轴

D.直线>=坐一、是一条切线

配套热练

A组夯基精练

一、单项选择题

1.（2024•上海卷）下列函数的最小正周期是2兀的是（)

A.sinr+cosxB.siurcosx

C.sin2x+cos2xD.sin2x—cos2x

2.（2024-苏锡常镇一调）函数於）=4］（21旬在区间（0,2兀）内的零点个数为

（）

A.2B.3

C.4D.5

3.（2024•天津卷）已知函数«¥）=§加9加+1）（/>0）的最小正周期为兀，

则人丫）在［一五7T，7T上的最小值是（）

3

A--

Ba.2

3

-

co2

4.（2023•全国乙卷理）已知函数./U）=sin（s+0）在区间弓，皇）上单调递增,

直线尸押尸专为函数尸於）的图象的两条对称轴，则（一尚=（）

A.-亭B.4

C.\D.坐

二、多项选择题

5.（2024•苏州期中）若儿t）=tan（2x—3，则（）

A.7U）的一个周期转

B./U）是增函数

C.段）的图象关于点停0）对称

D.将函数y=tan2x的图象向右平移彳个单位长度可得到«r）的图象

6.（2024•新高考II卷）对于函数危尸sinZt和g（x尸sin（2r-；）,下列说法

中正确的有（）

A./U）与gj）有相同的零点

B.yu）与或x）有相同的最大值

c./U）与双X）有相同的最小正周期

D・./U）与g（x）的图象有相同的对称轴

7.（2020•全国丙卷改）关于函数抬尸sinx+上，下列说法正确的是（）

A.段）的图象关于y轴对称

B.凡r）的图象关于原点对称

C.«r）的图象关于直线对称

D.«x）的最小值为2

三、填空题

8.（2024•洪江二模）函数,/U）=4sin（5x一看）在0,方上的值域为.

9.（2024•深圳一调）若函数/U）=sin（car+s）”>0,191V胃的最小正周期为

花，其图象关于点停，（））中心对称，则9=—.

1（）.（2024・合肥一检）己知函数"r）=2sin（31+s）（一兀VQVO）的一条对称轴

为尸全当工引0,时，段）的最小值为一啦，则/的最大值为.

四、解答题

11.（2024•台州一模）己矢口/（©usincox+sinx+cosXGeR）.

（1）当①=0时，求人x）的最小正周期以及单调递减区间；

（2）当①=2时，求凡¥）的值域.

12.（2023•北京卷）已知函数/（x）=sin①xcosp+cosssinQco>0,\（p\<^.

（1）若《0）=一零求3的值.

（2）若在区间［一?专］上单调递增，且j停）=1,再从①②③这三个条

件中选择一个作为己知，使函数/（/）存在，求①，9的值.

条件①：局=隹条件②：“*一1;条件③：府）在［甘，一外上单调

递减.

B组创新题体验

13.在平面直角坐标系中，我们把函数)，=/U),工£。上满足xWN",yEN*

的点P(x,y)称为函数产危)的“正格点”.

(1)写出当机=3时，函数7(x)=sin〃aQWR)图象上所有“正格点”的坐标；

(2)若函数段)=sinmx,x£R,加£(1,2)与函数g(%)=lgx的图象有“正格点”

交点，求，〃的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由；

(3)对于(2)中的"?值和函数1x)=sinm,若当x£((),5时，不等式logd>

取x)恒成立，求实数。的取值范围.

乙

第23讲三角函数的图象和性质

激活思维

1.D【解析】由3厂吟刖+方，kGZ,得若+号，&£Z,所以函数的定义域是

｛中奇净女词.

2.A【解析】y=|sinx|的最小正周期为兀，且在区间国兀)上单调递减，y=cosx的

最小正周期为2电)，=tanx在区间e，兀)上单调递增，y=cos；的最小正周期为4兀

3.B【解析】将函数凡r)=sin(到一⑥的图象向左平移三个单位长度后，得到函数)，

=sin氏+升引=sin(2.r+f)的图象，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的(纵

坐标不变)，得到函数)，=sin(必+方的图象.

4.D【解析】由题意知定义域为R,Ky(-x)=cos(-x)-cos(-2v)=cosx-cos2x

=fix),所以该函数为偶函数.又/(x)=cosx—cos2x=—2COS2X+COSX+1=—2(cos1一

Q19

+g,所以当cosx=a时，/U)取得最大值为g.

5.y=2sin(2x+巧【解析】由题图知A=2,？=75+台=?，所以丁=兀，所以

3二2、所以三角函数的解析式是y=2sin(2x+°).因为函数的图象过(一有2)这一点，把点

的坐标代入三角函数的解析式，得2=2sin12x(一*)+),所以夕一季=2kit+j,&EZ,

即夕=m+2E小£Z.因为0<»<兀,所以夕=,，所以三角函数的解析式是y=2sin(2x4•争).

聚焦知识

1.{4rGR且[-1,11[-1,1]2n27r

n奇函数偶函数2E—与，2E+与[2kn-7i-2kn]

（E一宗E+?[2E+],2E+4[2E,2&兀+兀]

（标，0）（履+$0）入,=£兀+]x=kn

第I课时三角函数的图象和性质

举题说法

例1（1）B【解析】A中，T=—=4,B中，T=—=4,C中，T=—=8,D中，

7T7[n

224

T=Y=8,排除C,D；对于A,当尸2时，函数值为sin仅2）=0,故（2,0）是函数图

4

象的一个对称中心，排除A；对于B,当x=2时，函数值为cos（，x2）=-],故x=2是

函数图象的一条对称轴.

（2）ACD【解析】£r）=sin3x+小cos=2sin（3x+1）+啦.对于A,J（x）的

最小正周期为专，故A正确；对于B,《一3=2sin（兰+2+&=木，故B错误：

对于C,6）=2sin6+习+r=2+A/2，为函数最大值,故C正确；对于D,若

司,则3若£愕，T]，故人丫）在区间总，司上单调递减，故D正确.

变式1A【解析】①=军£（2,3）,函数），=叱）的图象关于点停2）中心对称，

则有0=2,且（苧）=2,所以sin（率①+彳）+2=2,则竽G+于=kn,k^Z,解得①=

"与।.由切£（2,3）得〃=4,，故居）=sin住或+；）+2=—1+2=1.

例21（1）0,2【解析】因为y=：sinx+坐cosx=sin（x+全），令2版苦力

+?W2E+3aez）,解得如一个人2E+会依WZ）.乂x£10,外，所以所求函数的单调

uoL4.

递增区间为[。，1].

（2）（一]+竽，y+y）,kQZ【解析】y=3tan（；-Zv）=-3tan（ZL：）,由一宗

+EV2x-；+E,kGZ,得-W+空«,+g,kS,所以y=3lan(卜可

的单调递减区间为(一/竽，y+y),kez.

(例21(3))

⑶［鸿，75+T］，kCZ【解析】画出尸cos（2xj）的图象，位于x轴下方的

部分关于x轴对称向上翻折，如图所示，可观察得«r）的单调递减区间.

例22（1）^【解析】由x£（0,§,可得例一*（-81一°），又忸I<5，

’271兀

则袭<y翌,且他在（o,上为增函数，所以<兀解得春酒.

〔一走冶，

（2）A【解析】由函数外）=2千［在［一“，a］上单调递增，则函数尸sin,抬）

在［一ma］上单调递增.由题意得〃>0,令2E—与<2x^女E+与，正Z,则〃兀一鸨

夕必兀+古，kSZ,所以府）在［攵兀一招，E+自（*£Z）上单调递增.易知k=0,有一招

<r<75,所以0<〃靖，所以实数〃的最大值为盍.

变式221【解析】依题意，曲面=阅=T，而函数段）在像令上单调,

则函数段）的最小正周期S借一窃=y.又痣）=0,华-1=居〈7,因此！=§,

解得r=§，所以6>=竿=号•

3।

例3(1)I【解析】J[x)=1—cos2x+y{3cosx-4=—cos2x4-A/3cosor+w=—

(osx-嗡~+1,由闻0,于,可得cosx£［0,1］,当cosx=坐时，函数/（x）取得最

大值1.

危)=小sin2V+2COS2X+//I=-\/3sin2x+cos2A+/〃+I=2sin(2x+

⑵C【解析】

+m+1,当03号时，I<2x+^琛，则函数於）的最大值为尼）=2sin与+〃?+1=机

+3=6,解得〃?=3.

II

变式3E12」【解析】4。=小sinxcosx+cos2、一]=sin2x+]cos2x=

sin（2x+看），当一；,〃？时$2川+套，显然sin（一=siny=

,£-

oL

一坐，sin=1,且正弦函数y=sinx在任，y]上单调递减.由火x）在区间一；，切上

的值域为一半，1,得方<y,解得专9空，所以实数机的取值范围是

[7177fl

L6,V2_-

随堂内化

I.C【解析】令2x*=E,k《Z,解得x=§+£，A",故段）的对称中心为

修吟，0），&£Z,经检验只有仁0时，徐0）符合题意.

2.B【解析】由题意可知足为危）的最小值点，Q为危）的最大值点，则|XL*min=

亨=],即7=兀，又①>0,所以①=爷=2.

3.C【解析】因为函数尸sinx的最小正周期为7=2兀，函数y=2sin（3x一§的最

小正周期为7=李，在平面直角坐标系中结合五点法画出函数尸sinx与）=2sin（3x—

在[0,2用上的图象如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.

（第3题）

4.AD【解析】由题得娼^=sin（与+。）=0，所以华+（p=kit,kGZ,即©=一

与+E,A£Z.又0<9<兀,所以k=2,9=斗，故."）=sin（2x+离.对于A,当x£（0,驾）

时，2x-+y£仔y）,由y=sinu的图象知>=%）单调递减，故A正确；对于B,当

（一有77）时，2x+y仁住y）,由尸sin〃的图象知）=兀丫）在（一专，借）上只

有1个极值点，故B错误；对于C,当尸专时，2A-+J=3冗，彳亲）=0,贝恒线尸专

不是对称轴，故C错误；对于D,由尸2cos（2v+y）=-1,得COS（2X+E）=得，解

得2i+号=专+2E或2x+号=专+2E,k《Z,从而％=%兀或X=号+E,&WZ,所

以函数产公）在点（0,坐）处的切线斜率为一1,切线方程为厂当=—（x—0）,即尸当

—x,故D正确.

配套精炼

第23讲三角函数的图象和性质

第1课时三角函数的图象和性质

1.A【解析】对于A,sinx+cosx=gsin（x+j）,最小正周期7=2兀，故A正确；

对于B,sinxcosx~sin2x,最小正周期7=4=兀，故B错误；对于C,sin2.r4-cos2x=

1,是常数函数，不存在最小正周期，故C错误；对于D,sin2x-cos2x=-cosZr,最小正周

期7=苧=71,故D错误.

2.C【解析】令yir)=sin(2x+§=0,得2x+^=E,k£Z,则x=一5+与，

%£Z.因为(0,2兀)，故火=I,；k=2,x=_^~；k=3,x=-^-；k=4,x—,所

以风丫)在(0,2冗)内共有4个零点.

3.A【解析】fix)=sinpftox+?^]=sin(3S+TC)=—sin3©x,由T=薨=几得QJ=

1,即7U)=-sin2A-.当[—张/时，2xw[一/，：，又《r)=-sin2t在[―占专

上单调递减，所以当时，,Ax)min=—sin=一乎•

4.D【解析】由题意可呜若~1.,不妨取8。,则iT=2.当x

=[时，段）取得最小值，则2X1+p=2E—胃,kez,即8=2E一普,kGZ,则贝幻=

sin（2x-y）.故人一相）=sin（一号）=坐.

5.AC【解析】对于A,«r）=tan（女一习的最小正周期为],故A正确：对于B,

令E号<2x—<E+：,kWZ,得空—<r<y+华，&£Z,即大幻的单调递增区间为

得一鼻，自+患），%—，故B错误；对于C,令ZL：=与，kRZ,得x弋+,，

kGZ,即以）的对称中心为仁+甘，0），&£Z,故C正确；对于D,将函数尸tan2A•的图

象向右平移;个单位长度可得到y=lan[2（x—生）]的图象,y=tan[2（彳一5]#lan（2i—：）,

故D错误.

6.BC【解析】对于A,令_/（x）=sin2x=0,解得尸亨，k《Z,即为."）零点；令

g(x)=sin(〃一；)=0,解得犬=”十个，kGZ，即为g(x)零点，显然府)，g(x)零点不同，

故A错误.对于B,显然/U)max=ga)max=1，故B正确.对于C,根据周期公式，凡1),g。)

的最小正周期均为半=兀，故C正确.对于D,根据正弦函数的性质，7U)的对称轴满足2x

=E+5=.r=§+：,A《Z,g(x)的对称轴满足2,r—£=〃兀01=与+",k®Z,显

然人x),g(x)图象的对称轴不同，故D错误.

7.BC【解析】对于A,因为(5)=1+2=|，乂一袭)=—1—2=—|,则7(一袭)

壬(割，所以函数式X)的图象不关于丁轴对称，故A错误；对于B,函数火x)的定义域为

{MxWE,女WZ},定义域关于原点对称，7(—x)=sin(―,v)+.?_.=­sinx—=

sin\x)sinx

一(sin=~/U)，所以函数7U)的图象关于原点点■称,故B正确；对于C,因为■/(4一，)

=sin(2-幻+4、=esx+表，艰+')=si时+R+(；、=8S'+上

sinI2-A-Isin+xI

则府—x)=痣+£)，所以函数,/u)的图象关于直线对称，故C正确；对于D,当一

兀V工<0时，sinA<0,则/(x)=sinX+——<0<2,故D错误.

sinx

8.(—2,4]【解析】因为工£10，耳，所以5x—,£[一1胡，所以sin(5.L*)

0[T1]，故y(x)=4sin(5x—力在0,个上的值域为[-2,4].

9.一1【解析】由7=育=兀(“>0)得3=2,所以y(x)=sin(2丫+力).又7U)=sin(2x

+9)的图象关于点管，0J中心对称，所以与+(p=kit,kGZ,解得9=—与+E,七Z.

TTTT

又IWq，所以々=1,9=一§.

(第1()题)

10.【解析】因为函数/(x)=2sin(3x+e)(-7c<g<0)的一条对称轴为,所以

3x1~^~(P=2+"(k£Z),得8=—彳+&兀(左£2).又一兀<夕<0,所以9=一々，所以火x)=2sin

(3x—.令3x—彳=〃?，则y=2sin加.由x£[0,t],知阳£一：,