2026中考第一轮复习数学第20课时：菱形、矩形、正方形（教师版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第20课时菱形、矩形、正方形一、核心知识一、核心知识（一）菱形的相关概念、性质与判定菱形定义：有一组邻边______相等______的平行四边形叫做菱形（菱形是特殊的平行四边形）。核心性质（边、角、对角线、对称性）边的性质：四条边都______相等______，对边平行；角的性质：对角______相等______，邻角______互补______（同平行四边形）；对角线的性质：对角线______互相垂直且平分______，且每条对角线平分一组对角；对称性：既是______中心对称______图形（对称中心为对角线交点），又是______轴对称______图形（有2条对称轴，为对角线所在直线）。菱形判定定理（中考必考）定义判定：有一组邻边______相等______的平行四边形是菱形；边的判定：______四条边______都相等的四边形是菱形；对角线的判定：对角线______互相垂直且平分______的平行四边形是菱形（或对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，需先满足平行四边形）。菱形的面积公式：常规公式：S=底×$高；对角线公式：S=12d1∙d2（二）矩形的相关概念、性质与判定矩形定义：有一个角是______直角______的平行四边形叫做矩形（矩形是特殊的平行四边形）。核心性质（边、角、对角线、对称性）边的性质：对边______平行且相等______（同平行四边形）；角的性质：四个角都是______直角______；对角线的性质：对角线______相等且互相平分______；对称性：既是______中心对称______图形（对称中心为对角线交点），又是______轴对称______图形（有2条对称轴，为对边中点连线所在直线）。矩形判定定理（中考必考）定义判定：有一个角是______直角______的平行四边形是矩形；角的判定：有______三个______角是直角的四边形是矩形；对角线的判定：对角线______相等且互相平分______的平行四边形是矩形（或对角线相等的四边形不一定是矩形，需先满足平行四边形）。矩形的特殊结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的______一半______（由矩形对角线性质推导）。（三）正方形的相关概念、性质与判定正方形定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的______平行四边形______叫做正方形（正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，是最特殊的平行四边形）。核心性质（边、角、对角线、对称性）边的性质：四条边都______相等______，对边平行；角的性质：四个角都是______直角______；对角线的性质：对角线______相等、互相垂直且平分______，每条对角线平分一组对角，对角线与边的夹角为45°；对称性：既是______中心对称______图形（对称中心为对角线交点），又是______轴对称______图形（有4条对称轴，为对边中点连线和对角线所在直线）。正方形判定定理（中考必考）定义判定：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；矩形判定：有一组______邻边相等______的矩形是正方形；菱形判定：有一个角是______直角______的菱形是正方形；对角线判定：对角线______相等且互相垂直______的平行四边形是正方形。（四）特殊平行四边形的关系平行四边形有一个角是直角矩形有一组邻边相等正方形；平行四边形有一组邻边相等菱形有一个角是直角正方形；矩形对角线互相垂直正方形；菱形对角线相等二、核心能力二、核心能力题型1矩形的性质与判定应用解题思路求线段长：利用“对边相等”“对角线相等且平分”转化线段，结合直角三角形斜边中线定理、勾股定理求解；求角度：利用“四个角为直角”“对角线相等”，结合三角形内角和、平行线性质计算；判定矩形：已知平行四边形，优先证一个角为直角或对角线相等；未知平行四边形，先证为平行四边形，再用矩形判定定理，或直接证三个角为直角。题型2菱形的性质与判定应用解题思路求线段长：利用“四条边相等”“对角线互相垂直平分”，结合勾股定理求解（对角线平分后形成直角三角形为核心）；求面积：优先用对角线乘积的一半（无高时首选），有高时用底×高，注意对角线平分一组对角的角度转化；判定菱形：已知平行四边形，优先证一组邻边相等或对角线互相垂直；未知平行四边形，先证为平行四边形，或直接证四条边相等。题型3正方形的性质与判定应用解题思路性质应用：结合矩形和菱形的所有性质，利用“对角线与边成45∘”“对角线平分直角”进行角度和线段的特殊转化，正方形中常出现等腰直角三角形；判定正方形：三步法（最稳妥）——先证是平行四边形→再证是矩形（或菱形）→最后证是菱形（或矩形）；直接证：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。题型4特殊平行四边形的综合判定解题思路区分判定条件：明确矩形、菱形、正方形的判定定理差异，避免“对角线垂直的矩形是菱形”“对角线相等的菱形是正方形”等表述的逻辑错误；结合平行四边形判定：所有特殊平行四边形的判定都以平行四边形为基础，先判定平行四边形是前提（除直接证矩形/菱形的情况）；借助图形特征：利用边、角、对角线的数量和位置关系，结合全等三角形证明边/角相等、对角线平分/垂直/相等。题型5特殊平行四边形的综合计算（含折叠、最值、面积）解题思路折叠问题：折叠前后图形全等，对应边、角相等，结合矩形/菱形/正方形的性质构造直角三角形，用勾股定理列方程求解；最值问题：利用“垂线段最短”“两点之间线段最短”，结合正方形/菱形的对称性转化线段，求最短距离；面积综合：结合特殊平行四边形的面积公式，利用“对角线平分图形为面积相等的部分”“全等三角形面积相等”进行面积转化，注意多图形组合的面积和差计算。三、易错警示三、易错警示矩形相关公式与判定误用错误：认为矩形的对角线互相垂直（非正方形的矩形无此性质）；忽略“对角线相等的四边形是矩形”的前提是平行四边形；直角三角形斜边中线定理逆用错误（如“一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形”不会用）。提醒：矩形对角线仅相等且互相平分，垂直是正方形的专属性质；判定矩形时，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须先满足平行四边形；牢记直角三角形斜边中线定理的正、逆定理均成立，为中考高频考点。菱形相关公式与判定误用错误：混淆菱形面积公式，忘记对角线面积公式除以2；认为菱形的对角线相等（非正方形的菱形无此性质）；误将“一组邻边相等的四边形是菱形”当作判定定理。提醒：菱形面积的对角线公式为S=12d1∙d正方形判定条件混淆错误：直接证“有一个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形”；将正方形的判定简化为“矩形+邻边相等”但未先证平行四边形。提醒：正方形的定义判定前提是平行四边形，无平行四边形前提时，需先证平行四边形，再证矩形/菱形，最后证正方形；正方形是矩形和菱形的结合体，判定需同时满足两者的核心性质。特殊平行四边形的性质混淆错误：将菱形的对称轴记为对边中点连线，将矩形的对称轴记为对角线所在直线；计算正方形对角线长时，忘记边长与对角线的比例关系（对角线=2×边长）。提醒：菱形的对称轴是对角线所在直线，矩形的对称轴是对边中点连线所在直线，正方形两者都是；正方形为特殊的等腰直角三角形载体，边长a与对角线d的关系为d=2a​，可直接用于计算，无需重复用勾股定理。折叠问题的边长转化错误错误：矩形/正方形折叠后，未找准对应边、角，导致勾股定理列方程时线段长度表示错误；忽略折叠后图形的位置变化，漏解多解情况。提醒：折叠问题的核心是全等，折叠后重合的边、角必相等，解题时先标注对应相等的边和角；构造直角三角形时，设未知线段为x，用含x的式子表示其他线段，再列勾股定理方程；涉及边的折叠时，需考虑折叠方向，避免漏解。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·四川中考）矩形具有而菱形不具有的性质是（

）A.对角线相等 B.对角线互相平分

C.对角线互相垂直 D.对角相等

【答案】A【解析】本题考查了矩形和菱形的性质，特殊四边形的性质要从边、角、对角线三方面入手，并加以考虑它们之间的联系和区别．

根据矩形和菱形的性质判断即可．【解答】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；

B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；

C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；

D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；

故选：A．2.（24-25·山西模拟）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（

）A.∠A=90∘ B.∠B=∠C C.【答案】D【解析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可．【解答】解：如图，

A、∠BAD=90∘,能判定▱ABCD为矩形，本选项不符合题意；

B、∵∠ABC=∠BCD,∠ABC+∠BCD=180∘,∴∠ABC=∠BCD=90∘,能判定▱

3.（24-25·四川中考）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（

）

A.AB∥CD B.AB=BC C.∠【答案】D【解析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形等）是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项，判断哪个条件能使平行四边形ABCD成为矩形．【解答】解：选项A:∵平行四边形本身就有AB∥CD的性质，

∴此条件不能使平行四边形ABCD变为矩形，该选项错误．

选项B:∵AB=BC，平行四边形中邻边相等时是菱形，不是矩形的判定条件，

∴此条件不能使平行四边形ABCD变为矩形，该选项错误．

选项C:∵平行四边形本身就有∠B=∠D的性质，

∴此条件不能使平行四边形ABCD变为矩形，该选项错误．

选项D:∵矩形的判定定理之一是“对角线相等的平行四边形是矩形”，平行四边形ABCD中AC=BD，

∴平行四边形ABCD是矩形，该选项正确．

4.（24-25·山东模拟）如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60∘．动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E,F同时从点O出发，分别向终点B,D运动，且始终保持OE=OF．点E关于AD,AB的对称点为E1,E2；点F关于BC,CD的对称点为F1A.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B.菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形【答案】A【解析】根据题意，分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，即可求解．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴，，

∴，,

∵，，

∴,

∵对称，

∴，，

∴,

∵对称，

∴，，

∴,

同理，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形，

如图1所示，

图1

当E,F,O三点重合时，DO=BO，

∴DE1=DF2=AE1=AE2，

即E1E2=E1F2，

∴四边形E1E2F1F2是菱形，

如图所示，当E,F分别为OD,OB的中点时，

设DB=4，则DF2=DF=1，DE1=DE=3，

在Rt△ABD中，AB=2,AD=23，

如图2，连接AE，AO，

图2

∵∠ABO=60∘，BO=2=AB，

∴△ABO是等边三角形，

∵E为OB的中点，

∴AE⊥OB，BE=1，

∴AE=22-12=3,

根据对称性可得AE1=AE=3，

∴AD2=12,DE12=9,AE12=3，

∴AD25.（23-24·辽宁模拟）如图：点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，如果BD=AC，四边形EFGH的面积为24，且HF=6，则GH=（

）

A.4 B.5 C.8 D.10【答案】B【解析】本题考查中点四边形，熟练掌握中位线定理是解题的关键

利用三角形中位线定理及特殊四边形的判定与性质求解．【解答】如图：连接EG，HF交于点O，

因为E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，

∴EH // BD，EH=12BD；FG // BD，FG=12BD；EF // AC，EF=12AC；GH // AC，GH=12AC．

∵BD=AC，

∴EH=FG=EF=GH，

∴四边形EFGH是菱形．

∴EG⊥HF，OH=12HF=3，OG=12EG

6.（24-25·四川中考）按如下步骤作四边形ABCD：(1)画∠EAF；(2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE、AF于点B、D：(3)分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；(4)连接BC、DC、BD．若∠A=40∘，则∠BDC的度数是（A.64∘ B.66∘ C.68【答案】D【解析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形ABCD是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．【解答】解：根据作图可得AB=AD=BC=CD

∴四边形ABCD是菱形，则AB // CD，∠BDC=∠BDA=12∠ADC

又∵∠A=7.（24-25·广东模拟）如图所示，在矩形中，，与相交于点O，则下列说法正确的是（

）

A.点O为矩形的对称中心B.点O为线段的对称中心C.直线为矩形的对称轴D.直线为线段的对称轴【答案】A【解析】由矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，线段的对称中心是线段的中点，矩形是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，从而可得答案．【解答】矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，故A符合题意；线段的对称中心是线段的中点，故B不符合题意；

矩形是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，

故C，D不符合题意.故选A.8.（24-25·内蒙古中考）如图，ABCD是一个矩形草坪，对角线AC，BD相交于点O，H是BC边的中点，连接OH，且OH=20m，AD=30m，则该草坪的面积为（

）

A.2400m2 B.1800m2【答案】C【解析】此题考查了矩形的性质和三角形中位线定理．根据三角形中位线定理得到AB=2OH=40m，根据矩形的面积公式计算即可．【解答】解：∵ABCD是一个矩形草坪，对角线AC，BD相交于点O，

∴AO=CO，

∵H是BC边的中点，

∴OH是△ABC的中位线，

∴OH=12AB，

∴AB=2OH=40m，

∵AD=30m，

∴矩形ABCD9.（24-25·广西模拟）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A'处，A'D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C'处，下列结论一定正确的是（A.∠1=45∘-α B.∠【答案】D【解析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得AD // BC，∠C=90∘，则∠【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD // BC，∠C=90∘

∴∠ADB=∠1

∵折叠

∴∠ADB=∠A'DB

∴∠1=∠A'DB

∵∠DEC=90∘-α，即2∠1=90∘-α

∴∠1=45∘10.（24-25·贵州模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45∘．若∠BAE=α，则∠FEC一定等于（A.2α B.90∘-2【答案】A【解析】利用三角形逆时针旋转90∘后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．【解答】将△ADF绕点A逆时针旋转90∘至△ABH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=∠C=90∘，

由旋转性质可知：∠DAF=∠BAH，∠D=∠ABH=90∘，AF=AH，

∴∠ABH+∠ABC=180∘，

∴点H,B,C三点共线，

∵∠BAE=α，∠EAF=45∘，∠BAD=∠HAF=90∘，

∴∠DAF=∠BAH=45∘-α，∠EAF=∠EAH=4511.（23-24·山东中考）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF//AD，连接AF,DE．若∠FAC=15∘，则∠AEDA.80∘ B.90∘ C.105∘【答案】C【解析】首先根据正方形的性质得到∠OAD=∠ODA=45∘，AO=DO，然后结合EF//AD得到OE=OF【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAD=∠ODA=45∘，AO=DO,

∵EF//AD，∴∠OEF=∠OAD=45∘，∠OFE=∠ODA=45∘，

∴∠OEF=∠OFE，

∴OE=OF,

又∵∠AOF=∠DOE=9012.（24-25·湖北模拟）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE=22，则CG的长是（

）

A.2 B.2 C.2+1 D.【答案】B【解析】如图，过G作GH⊥BC于H，由对折可得：BC=BF，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90∘=∠DFE，∠FBE=∠CBE，证明∠DEF=∠FDE=45∘【解答】解：如图，过G作GH⊥BC于H，

∵正方形ABCD，

∴BC=CD=AB=AD，∠BCD=∠ADC=90∘，∠DBC=∠BDC=45∘，AC=BD，OA=OC=OB=OD，AC⊥BD，

由对折可得：BC=BF，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90∘=∠DFE，∠FBE=∠CBE，

∴∠DEF=∠FDE=45∘，而DE=22，

∴DF=EF=DE⋅sin45∘=2，

∴CD=BC=22+2=BF，

∴AC=BD=BF+DF=213.（23-24·黑龙江模拟）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A'BE，连接A'C，A.AB.AC.△A'CDD.四边形A'BED的面积【答案】D【解析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点A'作FG // AB，分别交AD、BC于点F、G，由折叠的性质得∠AEB=∠A'EB，求得DE=A'E，推出∠EDA=∠EA'D，由∠AEA'是△A'ED【解答】解：过点A'作FG // AB，分别交AD、BC于点F、G，

由折叠的性质得∠AEB=∠A'EB，AE=A'E，

∵E为边AD的中点，

∴AE=DE，

∴DE=A'E，

∴∠EDA=∠EA'D，

∵∠AEA'是△A'ED的外角，

∴∠AEA'=∠EDA+∠EA'D，

∴∠AEB=∠EDA'，

∴A'D∥BE，故选项A正确，不符合题意；

∵正方形ABCD，

∴AB=BC=CD=DA，∠BAE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=90∘，

设AB=BC=CD=DA=10，

∵E为边AD的中点，

∴AE=DE=5，

由折叠的性质得∠BAE=∠BA'E=90∘，AE=A'E=5，AB=A'B=10，

∵FG // AB，

∴四边形ABGF和DCGF为矩形，

∴FG=AB=10，∠EFA'=∠A'GB=∠EA'B=90∘，

14.（23-24·江苏中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y=1x(x>0)的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论：

①△COM与△CON的面积一定相等；

②△MON与△MCN的面积可能相等；

③△MON一定是锐角三角形；

④A.①③ B.①④ C.②③ D.②④【答案】B【解析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数k的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据M,N是反比例函数图象上的动点，可得∠OMN或∠ONM为钝角，即可判断③，即可求解．【解答】解：∵四边形OACB是矩形，

∴S△OBC=S△AOC

又∵M,N是反比例函数y=1x(x>0)图象上的动点，BN⊥y轴，MA⊥x轴，

∴S△OBN=S△OAM=12

∴S△OBC-S△OBN=S△AOC-S△AOM，即△COM与△CON的面积一定相等；故①正确，

由①可得S△OBN=S△OAM=12

当△MON与△MCN的面积相等时，如图，连接15.（23-24·浙江中考）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE=BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN=AF；②∠EAH=∠EHA；③EN⋅BF=EC⋅HN；④若BF:FC=3:4，则tanA.①②③⑤ B.①②④⑤ C.①②③④ D.①③④⑤【答案】C【解析】本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解三角形等，解题关键是利用垂直证明角的关系，从而证明三角形全等或相似．

容易证明△AEB≅△AFB(SAS)，从而可得∠KBC=∠NEC=∠BAF=∠BAE=α，进而可得∠EAH=∠AHE，从而可得②正确，过点B作BK∥EN，交CD于点K，构造△ABF≅∠BCK(AAS)，结合四边形BMNK是平行四边形可得MN=BK=AF，可得①正确，再利用角关系证明△NEC∽△BAF，△AEC∽△HNC，可得EN⋅BF=CN⋅AF=CN【解答】解：如图1，过点B作BK∥EN，交CD于点K，

∵在正方形ABCD中，

∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=90∘，∠BAC=∠ACB=∠ACD=45∘，AB∥CD，

∴△ABC、△ADC是等腰三角形，

又∵BE=BF，AB=AB，

∴△AEB≅△AFB(SAS)，

∴AE=AF，∠AEF=∠AFE，∠BAE=∠BAF，

∴△AEF是等腰三角形，

∵EG⊥AF，

∴∠NEC+∠AFE=90∘，

又∵∠BAF+∠AFE=90∘，

∴∠NEC=∠BAF，

∵BK∥EN，

∴∠KBC=∠NEC，∠BKC=∠ENC，

∴∠KBC=∠NEC=∠BAF=∠BAE，

设∠KBC=∠NEC=∠BAF=∠BAE=α，

∵∠EAH=∠BAE+∠BAC=α+45∘，∠AHE=∠HEC+∠ACB=α+45∘，

∴∠EAH=∠AHE，故结论②正确；

∴EA=EH，即△AEH是等腰三角形，

∵在△ABF和△BCK中，

AB=BC∠KBC=∠BAF∠ABF=∠BCK ，

∴△ABF≅∠BCK(AAS)，

∴BK=AF，∠CKB=∠AFE=∠AEF=90∘-α

∵BK∥EN（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

16.（24-25·江苏模拟）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：

AD//BC（荅案不唯一）

，使四边形ABCD成为菱形．

【答案】AD//BC（荅案不唯一）【解析】根据题意，先证明四边形ABCD是平行四边形，根据AC⊥BD，可得四边形ABCD成为菱形．【解答】解：添加条件AD//BC∵AD=BC，AD//BC

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD成为菱形．

添加条件AB=CD

∵AD=BC，AB=CD

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD成为菱形．

添加条件OB=OD

∵AC⊥BD，

∴∠AOD=∠COB=90∘

∵AD=BC，OB=OD，

∴Rt△AOD≅Rt△COBHL

∴AD=BC，17.（23-24·江苏模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则∠ADC的度数是____60∘________．

【答案】60∘【解析】根据菱形的性质得到∠AOC=∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC=1【解答】解：∵四边形OABC为菱形，

∴∠AOC=∠ABC，

由圆周角定理得：∠ADC=12∠AOC，

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠ADC+∠ABC=180∘，18.（22-23·山西中考）如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB，DC，AD边上，BE=2CF,FM分别交对角线BD、线段DE于点G，H，且H是DE的中点．若CF=2,∠ABD=30∘，则HG的长为________233【答案】233【解析】如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，求解BE=4，证明HN是△BDE的中位线，可得HN // BE，HN=12BE=2，HQ=12HN=1，证明四边形【解答】解：如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，

∵BE=2CF，CF=2，

∴BE=4，

∵矩形ABCD，

∴AN=CN=BN=DN，AB // CD，

∴∠ABD=∠BAC=30∘，∠BAC=∠NCF=30∘，

∵H是DE的中点，

∴HN是△BDE的中位线，

∴HN // BE，HN=12BE=2，

∴∠ABD=∠HNQ=30∘，

∴HQ=12HN=1，

∵HN //19.（24-25·河北中考）如图，四边形ABCD是矩形，△ADG是正三角形，点F是GD的中点，点P是矩形ABCD内一点，且△PBC是以BC为底的等腰三角形，则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是_____2_______．【答案】2【解析】本题考查矩形的性质，正三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确设出边长表示出两个三角形的面积是解题的关键．

作辅助线如图，设BC=a，CD=b，根据相关图形的性表示出三角形的面积即可得到答案．【解答】解：如图，找BC，AD中点为M，N，连接MN，GN，连接PD，FC，过F作FR⊥CD交CD的延长线于R点，延长RF，与GN交于Q点．

设BC=a，CD=b，

∵△PBC是以BC为底的等腰三角形，

∴P在MN上，

∴P到CD的距离即为12a，

∴S△PCD=12×b×12a=14ab，

在△GQF和△DRF中

20.（24-25·四川中考）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF // BD，把△ECF沿EF翻折，点C恰好落在矩形对角线BD上的点M处．若A、M、E三点共线，则ADDC的值为【答案】22【解析】此题考查矩形与折叠，平行线的性质，勾股定理，等角对等边，根据矩形的性质及平行线的性质得到CE=BE=ME，再根据等角对等边推出AD=AM，设BE=ME=x，则AD=AM=2x，利用勾股定理求出AB=AE2【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC,AB=CD,∠ABC=90∘，

∵EF // BD，

∴∠CEF=∠CBD，∠FEM=∠EMB，

由翻折得∠CEF=∠FEM，MF=CF，

∴∠EMB=∠EBM，

∴CE=BE=ME，

∵AD // BC，

∴∠ADM=∠21.（25-26·山东模拟）如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90∘得到△CBF．若∠ABE=55∘，则∠EGC=_____【答案】80【解析】先求得∠BEF和∠CBE的度数，再利用三角形外角的性质求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90∘，

∵∠ABE=55∘，

∴∠CBE=90∘-55∘=35∘，

∵△ABE绕点B按顺时针方向旋转90∘得到△CBF

∴∠

22.（25-26·山东模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点．连接EF．若∠FEO=45∘，则EFBC的值为____12________【答案】12【解析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到∠OAD=45∘，AD=BC，再证明EF∥AD，进而可证明△OEF∽△【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，

∴∠OAD=45∘，AD=BC，

∵点E是OA的中点，

∴OEOA=12，

∵∠FEO=45∘，

∴EF∥AD，

∴△OEF23.（24-25·山西中考）如图，在四边形ABCD中，AD // BC，∠B=90∘，AB=8，BC=4，点E在边AB上，AE=3，连接CE，且∠DCE=∠BCE．点F在BC的延长线上，连接DF若DF=DC，则线段【答案】185【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90∘，由三线合一性质可得CH=FH=12CF，然后证明四边形ABHD是矩形，所以AB=DH=8，AD=BH，又∠AEG=∠BEC，则可证△AEG∽△BEC，所以AGBC【解答】解：如图，延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90∘，

∵DF=DC，

∴CH=FH=12CF，

∵AD // BC，∠B=90∘，

∴∠B=∠GAE=90∘，∠B+∠BAD=180∘，

∴∠B=∠BAD=∠BHD=90∘，

∴四边形ABHD是矩形，

∴AB=DH=8，AD=BH，

∵∠AEG=∠BEC，

∴△AEG∽△BEC，

∴AGBC=AEBE，

∵AB=8，AE=3，

∴BE=5，

∴AG4=3524.（24-25·吉林中考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E在线段OA上．连接BE，作CF⊥BE于点F，交OB于点P．给出下面四个结论：

①∠OCP=∠OBE；

②OE=OP；

③当CE=CB时，BP=EF；

④点A与点F之间的距离的最小值为25-2．

上述结论中，正确结论的序号有【答案】①②④【解析】根据正方形的性质可得∠COP=90∘=∠BFP，结合∠CPO=∠BPF，可得∠OCP=∠OBE，故①符合题意；证明△COP≅△BOE，可得OP=OE，故②符合题意；当CE=CB时，CF⊥BE，可得EF=BF，∠BFP=90∘，可得BP>BF=EF【解答】解：∵正方形ABCD，

∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90∘，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，

∵CF⊥BE，

∴∠COP=90∘=∠BFP，

∵∠CPO=∠BPF，

∴∠OCP=∠OBE，故①符合题意；

∵∠COP=90∘=∠BOE，OC=OB，

∴△COP≅△BOE，

∴OP=OE，故②符合题意；

当CE=CB时，CF⊥BE，

∴EF=BF，∠BFP=90∘，

∴BP>BF=EF，故③不符合题意；

如图，取BC的中点R，连接AF,RF，

25.（22-23·四川中考）如图，在等边△ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B'处，连接AB'，已知AB=2．给出下列四个结论：①CN+NB'为定值；②当BN=2NC时，四边形BMB'N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB【答案】①②④【解析】根据将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B'处，得NB=NB'，故CN+NB'=CN+NB=BC，判断①正确；由cos∠B'NC=NCB'N=12，得∠B'NC=60∘，可得△BMN是等边三角形，即可得B'M=BM=BN=B'N，判断②正确；当点N与C重合时，可得∠B'AC=∠AB'C=75∘，∠AB'M=∠AB'C-∠【解答】解：∵将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B'处，

∴NB=NB'，

∴CN+NB'=CN+NB=BC，

∵△ABC是等边三角形，AB=2，

∴BC=2，

∴CN+NB'=BC=2，故①正确；

∵BN=2NC，

∴B'N=2NC，

∵CD⊥BC，

∴∠B'CN=90∘，

∴cos∠B'NC=NCB'N=12，

∴∠B'NC=60∘，

∴∠BNB'=120∘，

∵将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B'处，

∴∠BNM=∠MNB'=60∘，BM=B'M，BN=B'N，

∵∠B=60∘，

∴△BMN是等边三角形，

∴BM=BN，

∴B'M=BM=BN=B'N，

∴四边形BMB'N为菱形；故②正确；

当点N与C重合时，如图：

∵∠ACB=60∘，∠DCB=90∘，

∴∠ACD=30∘，

∵将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B'处，

∴AC=BC=B'C，∠MB'C=∠B=60∘，

∴∠B'AC=∠AB'C=(180∘-30∘)÷2=75∘，

∴∠AB'M=∠AB'C-∠MB'

（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（23-24·云南中考）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA=3，BD=8，AB=5．

（1）△AOB（2）求证：四边形ABCD是菱形．【答案】见解答．【解析】（1）由平行四边形的性质得OB=4，再证OA2+O（2）由∠AOB=90∘【解答】（1）解：△AOB是直角三角形，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，BD=8，

∴OB=OD=12BD=4，

∵OA=3，OB=4，AB=5，

∴（2）证明：由（1）可知，∠AOB=90∘，

∴AC⊥BD，

∴27.（24-25·辽宁模拟）如图，在△ABC中，D，E分别为AB,AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG=FC．

（1）求证：四边形DFCG是矩形；（2）若∠B=45∘，DF=3，DG=5，求BC【答案】见解答BC=8,AC=210【解析】（1）由三角形中位线定理可得DE∥CF，即DG∥CF，则可证明四边形DFCG是平行四边形，再由DF⊥（2）求出CF=5，解Rt△BDF得到BD=32，BF=3，则BC=BF+CF=8；由线段中点的定义可得AB=2BD=62；过点A作AH⊥BC于H，解【解答】（1）解：证明：∵D，E分别为AB,AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥CF，即DG∥CF，

∵DG=FC，

∴四边形DFCG是平行四边形，

又（2）解：∵DG=5，

∴CF=DG=5；

∵DF⊥BC，

∴∠DFB=90∘，

在Rt△BDF中，∠B=45∘，DF=3，

∴BD=DFsinB=3sin45∘=32，BF=DFtanB=3tan45∘=3，

∴BC=BF+CF=8；

∵点D28.（24-25·广东模拟）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，AC=EF．

（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）AE=BE，AB=2，tan∠ACB=1【答案】见解答;.【解析】（1）利用平行四边形的性质求出，证明四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论；（2）证明是等腰直角三角形，可得，然后再解直角三角形求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，,

∵，∴，

∴四边形AECF是平行四边形,

∵AC=EF，∴平行四边形AECF是矩形.（2）由(1)知四边形AECF是矩形，∴∠AEC=∠AEB=90∘,

∵AE=BE，AB=2，∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE=BE=22AB=2,

又∵29.（22-23·四川中考）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求证：△ABE∽△ECF．

【答案】见解答【解析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出∠B=∠C=90∘，AB=CB=9【解答】解：∵BE=3，EC=6，

∴BC=9，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CB=9，∠B=∠C=90∘，

∵ABEC=96=32，BE30.（24-25·山东模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，AB=2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N．连接EN,CN（1）求证：EN=CN；（2）求2EN+BN的最小值．【答案】见详解23【解析】（1）根据菱形的性质证明△ABN≅△CBN，再结合MN是AE的垂直平分线，即可证明EN=CN（2）过点N作NF⊥BC于点F，连接NF,AF，∠DBC=30∘，则NF=12【解答】（1）解：证明：连接AN，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30∘，BA=BC，

∵BN=BN，

∴△ABN≅△CBN，

∴AN=CN，（2）解：过点N作NF⊥BC于点F，连接NF,AF，

∵∠DBC=30∘，

∴NF=12BN，

∵AN=EN，

∴2EN+BN=2EN+12BN=2(AN+NF)≥2AF，

当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：

即AF31.（24-25·贵州模拟）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的2倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO．

∴AB2=AO2+BO2．

又∵AC=2AO，BD=2BO，

∴AB（2）如图2．若四边形ABCD是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．

【拓展应用】（3）如图3，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E为AO的中点，点F为BC的中点，连接EF，若AB=8，BD=8，AC=12，直接写出EF的长度．

【答案】14AC2，1AC46【解析】（1）根据菱形的性质及勾股定理补充过程，即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，根据平行四边形的性质得AB=CD，AB // CD，AD=BC，证明△DAE≅△CBFAAS，（3）由(2)可得AC2+BD2=2AB2+2AD2得出AD=210，过点E,O分别作BC的垂线，垂足分别为M,G，连接OF，根据勾股定理以及已知条件，分别求得【解答】（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO．

∴AB2=AO2+BO2．

又∵AC=2AO，BD=2BO，

∴AB2=14AC2+14BD2．

化简整理得AC2+BD2=4AB2

故答案为：14AC2，14BD2，4AB2．

(2)AC2+BD2=2AB2+2AD2，理由如下，

过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，

∴∠DEA=∠DEB=∠CFB=90∘，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB // CD，AD=BC，

∴∠DAE=∠CBF，

在△DAE和△CBF中，

∠DAE=∠CBF∠DEA=∠CFBAD=BC ，

∴△DAE≅△CBFAAS，

∴AE=BF，DE=CF，

在Rt△DBE中，DB2=DE2+BE2=DE2+(AB-AE)2，

在Rt△CAF中，AC2=CF2+AF2=CF2+(AB+BF)2，

∴AC2+BD2=DE2+(AB-AE)2+CF2+(AB+BF)2

=2DE2+A

32.（24-25·河北中考）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE=2，点E，F分别在边AD，CD上，DE=DF(DE≥2)，扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为EMF⌢．

（1）如图1，当AE=3时，求∠EMF（2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；（3）当∠EOF=150∘【答案】45∘65π3【解析】（1）根据题意证明出四边形EOFD是正方形，得到∠EOF=90∘（2）首先证明出△OEM是等边三角形，如图所示，连接EF交BD于点G，求出MG=OG=12EM=1，（3）分两种情况，根据弧长公式求解即可．【解答】（1）解：∵正方形ABCD的边长为∴AD=CD=5

∵当AE=3时

∴ED=DF=2

∵OE=OF=2

∴ED=DF=OE=OF

∴四边形EOFD是菱形

∵∠EDF=90∘

∴四边形EOFD是正方形

（2）∵四边形OEMF为菱形

∴EM=MF=OE=OF

∵扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，

∴OE=OM=EM=2

∴△OEM是等边三角形

如图所示，连接EF交BD于点G

∴EF⊥BD

∴∠MEG=12∠MEO=30∘

∴MG=OG=12EM=1（3）如图所示，当EMF⌢是劣弧时，

∵∠EOF=150∘，半径OE=2

∴EMF⌢=150π×2180=5π3；

如图所示，当EMF⌢是优弧时，

∵∠EOF=150∘，半径OE=233.（23-24·四川中考）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．（1）实践与操作

①任意作两条相交的直线，交点记为O；

②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；

③顺次连结所得的四点得到四边形ABCD．

于是可以直接判定四边形ABCD（2）猜想与证明

通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．

已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD．求证：四边形ABCD是矩形．

【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形证明见解答【解析】（1）由作图结合对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案；（2）先证明∠ABC+∠BCD=180∘【解答】（1）解：由作图可得：OA=OC，OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB // CD，AB=CD，

∴∠ABC+∠BCD=180∘，

∵AC=BD，BC=CB，

∴△ABC34.（24-25·江苏模拟）综合与实践

树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九(5)班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）

初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影▱MNPQ的平面图如图2所示，P在AD上，MN=3m，AN=1m，AP=2m，AB=3m，BC=2.5m，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，▱MNPQ也随之移动（MN始终在AB边所在直线l上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为▱MNPQ移动到P落在BC上的情形．

【问题提出】

西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时▱MNPQ的位置．

设遮阳区的面积为Sm2，▱MNPQ从初始时向右移动的距离为xm．

【直观感知】(1)从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大如何变化？

【初步探究】(2)求图3情形的x与S的值；

【深入研究】(3)从图3情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式；

【答案】S随x的增大而增大；(2)x=3，S=5；(3)S=-2x2【解析】根据矩形的性质得tan∠PNA=APAN=2，根据平行四边形的面积公式得S▱MNPQ=MN⋅AP=6，然后分别求出当0≤x≤1时，当1<x≤3时，S关于x的解析式，即可得出结论；

(2)根据（1）的结论可得答案；

(3)当3<x≤4时，如图，设▱MNPQ向右移动xm后得到▱M'N'P'Q'，设M'Q'交AD于点J，P'N'交BC于点K，P'Q'【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形MNPQ是平行四边形，MN=3，AB=3，BC=2.5，MN在AB边所在直线l上，

∴∠DAB=90∘=∠DAM，∠CBA=90∘，PQ // l，

又∵如图2，P在AD上，AN=1，AP=2，

∴tan∠PNA=APAN=21=2，

MA=MN+AN=3+1=4=NB，S▱MNPQ=MN⋅AP=3×2=6

当0≤x≤1时，如图，设PN交AD于点F，PQ交AD于点E，则PE=x，

此时遮阳区的面积为△PEF的面积，

∵PQ // l，

∴∠P=∠PNA，∠PEF=∠FAN=90∘，

∴EFPE=tanP=tan∠PNA=2，

∴EF=2PE=2x，

∴S=S△PEF=12PE⋅EF=12⋅x⋅2x=x2，

∴当0≤x≤1时，S随x的增大而增大，S的值从0增大到1；

当1<x≤3时，如图，设PQ交AD于点G，则PG=x，AN=x-1，AG=2，

此时遮阳区的面积为四边形ANPG的面积，

∵PQ // l，

∴四边形ANPG为梯形，

∴S=S梯形ANPG=12(AN+PG)⋅AG=12×