2026中考第一轮复习数学第17课时：图形的相似（学生版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第17课时图形的相似一、核心知识一、核心知识（一）比例的基本性质若四条线段a、b、c、d满足ab=cd（b、d≠0），则称这四条线段基本性质：ab=cd​⇔合比性质ab=cd⇒等比性质：若ab=cd=…mn​（b+d+…+n≠0），则比例中项：若ab=bc（b、c≠0），则b2=ac，b叫做a、c的（二）平行线分线段成比例定理基本定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；若l1∥l2∥l3，截直线m于A、B、C，截直线n于D、E三角形推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得对应线段成比例；逆定理：若一条直线截三角形的两边（或延长线）所得对应线段成比例，则这条直线平行于三角形第三边。（三）图形的相似与相似图形的性质相似图形：形状相同，大小不一定相同的图形称为相似图形，是相似多边形的基础；相似多边形定义：两个边数相同的多边形，若对应角相等，且对应边成比例，则这两个多边形为相似多边形，若四边形ABCD与四边形EFGH相似,记作四边形ABCD∽四边形EFGGH（对应顶点必须按顺序书写）；相似比：相似多边形对应边的比称为相似比，若相似比为k，则k>0，相似比为1时，两个多边形全等（全等是相似的特殊情况）相似图形的性质：对应角相等，对应边成比例；相似比：相似图形对应边的比，叫做相似比。线段性质：对应高、中线、角平分线的比等于相似比；周长性质：周长比等于相似比；面积性质：面积比等于相似比的平方（反向求解时，相似比为面积比的算术平方根）。（四）黄金分割（相似关联考点）定义：把线段AB分成AC、BC（AC>BC），使AC2=AB∙BC，则称点C为AB的黄金分割点，此分割方式为黄金分割；黄金比：ACAB=BCAC=5-12≈0.618二、核心能力黄金三角形：顶角36°、底角72°的等腰三角形（底与腰的比为黄金比），或顶角108°、底角36°的等腰三角形（腰与底的比为黄金比），可分割出相似的小黄金三角形。二、核心能力（一）比例性质的应用解题思路基本性质用于比例式与等积式互化；合比性质凑线段和/差；等比性质设“k”法求解多比例问题（切记检验分母和不为0）；4.比例中项直接套用b2=ac（线段长度为正）。（二）平行线分线段成比例解题思路找准截线（平行线）和被截线；按“上下对应、全段对应”找比例线段；3.结合比例性质变形求解，可利用逆定理证明线线平行。（三）黄金分割的计算解题思路牢记黄金比5-12直接套用AC=5-12AB若已知较短线段，设未知数结合AC2=AB∙BC列方程。真题典例（2023・四川达州中考）：乐器上的弦AB=80cm，支撑点C是靠近B的黄金分割点，D是靠近A的黄金分割点，求CD的长。解答：∵C、D为黄金分割点，∴AC=BD=80×25​−1​=40(5​−1)，∴CD=AC+BD−AB=80(5​−1)−80=805​−160（cm）。三、易错警示三、易错警示三、中考易错点警示（2023-2025真题高频丢分点）比例性质使用误区：错误:等比性质忽略分母和不为0的条件；合比性质变形时漏加/减分母。提醒:遇多比例问题，优先用“设k法”，避免直接用等比性质出错。平行线分线段找错对应边：错误:未按“上下对应、全段对应”找线段​。提醒:在图中标注已知线段，按“截线分被截线，分段对应成比例”梳理。相似多边形形对应边找错：错误:未按对应顶点书写顺序找对应边​。提醒:根据相等角的对边确定对应边，标注对应顶点符号。面积比与相似比混淆：错误:认为相似多边形的面积比等于相似比。提醒:牢记周长比=相似比，面积比=相似比的平方，反向求解时面积比开方得相似比。黄金分割比例记混：错误:把黄金比记为5-提醒:黄金比是较长线段：整条线段，且一条线段有两个黄金分割点（线段两侧）。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·甘肃模拟）已知ab=23，则A.52 B.53 C.32 D.22.（24-25·河南模拟）已知2ab+c=2ba+c=2ca+bA.1 B.±1 C.1或-23.（23-24·四川模拟）已知abc=bac=cabA.2 B.3 C.4 D.64.（24-25·上海模拟）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（

）

A.B.C.D.5.（23-24·湖南中考）生活中到处可见黄金分割的美，如上图,在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（

）．

A.1.52米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.24米6.（24-25·全国模拟）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小明的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为108cm，则小明的身高约为（

）

A.155cm B.165cm C.175cm D.185cm7.（24-25·广东模拟）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，则下列结论中正确的是（

）

①AB2=AP2+BP2；②BA.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.（24-25·福建模拟）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和4cm，笔的实际长度为14cm，则该化石的实际长度为（

）

A.2cm B.6cm C.8cm D.10cm9.（24-25·北京模拟）如图，△ABC中，若DE // BC，EF // ABA.ADDB=DEBC B.BF10.（24-25·河南模拟）如图，边长为10的正方形ABCD，E,F,G,H分别为各边中点，连接AG,BH,CE,DF，交点分别为M,N,P,Q，那么四边形MNPQ的周长为（

）

A.15 B.20 C.45 D.11.（24-25·广东模拟）如图，某历史博物馆以“青铜文化”为主题，设计了一款边长为2cm的正方形文创纪念徽章ABCD．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徽章AB'C'D'．若以顶点A为位似中心进行位似变换，对应边的比AB:AB'=3:5，则纪念徽章A.203cm2 B.8912.（24-25·广东模拟）如图，老师利用复印机将一张长为20cm，宽为8cm的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为10cm，则缩小后的矩形面积为（

）

A.100cm2 B.80cm213.（24-25·河北模拟）如图所示为一测量电路，Ry为待测电阻，Rx为可调电阻，R，R1，R2为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节Rx的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有RyR1=R2Rx，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过Rx的电阻求得Ry的电阻，现已知R1=2Ω，RA.增大12Ω B.增大8Ω C.减小3Ω D.减小1Ω14.（24-25·河南模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为OB的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．若AB=2，则CF的长度为（

）

A.4 B.5 C.6 D.815.（24-25·安徽中考）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点A作AF⊥AC，交CE的延长线于点F，在AO上截取AG=AF，连接DG并延长，分别交CE，AB于点M，N．下列结论：①AG=DP；②CE⊥DN；③DG=2EF；④S△ADG=3SA.①②④ B.①③④ C.①②③ D.②③④（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·四川中考）若ab=3，则a+bb的值为______________．17.（24-25·全国模拟）已知a3=b2≠0，且a+3b=518.（25-26·云南模拟）在生物研究当中，植物学家发现：某些植物在抽枝吐叶时，如果从这些植物的顶端往下看，当相邻两片叶子之间的夹角恰好将水平面360∘分成1:0.618的两部分时．植物的这种生长已被证实对于叶片的通风和采光最为有利（如图所示）．则相邻两片叶子之间的夹角是_________________．（结果保留一位小数）

19.（24-25·全国模拟）如图，已知AB∥CD∥EF，AD:DF=3:4，BE=28，那么CE的长为___________．

20.（24-25·甘肃中考）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD．已知大、小风筝的对应边之比为3:1，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为_____________cm．

21.（23-24·江苏模拟）如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为

cm．（结果保留根号）

22.（23-24·上海模拟）《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载的“赵爽弦图”巧妙地证明了勾股定理，彰显了我国古代数学家的智慧．如图所示，“赵爽弦图”由四个全等的矩形与两个正方形拼接而成，已知大正方形的面积是小正方形面积的25倍，设AB→=a→，AD→=b→，那么AF→=________________23.（24-25·四川模拟）手机拍照构图，让照片从“随手拍”升级为“摄影作品”最直接、有效的方法，就是利用手机自带的“网格线”功能，将画面中的重要元素放置在黄金分割点上．在拍照前开启手机相机的网格功能，相机取景框会显示出两条水平线和两条垂直线，将画面分成九个部分，这四条线的四个交叉点，就是大家所说的“黄金分割点”或“兴趣点”（黄金比为5-12）．如图，点E、F、G、H为矩形ABCD取景框内的四个交叉点，将拍摄物主体的核心部分放在E、F、G、H任意一个交叉点上，这样可以使拍摄物成为画面的视觉焦点，若矩形ABCD取景框的画面约为120cm2，则矩形EFGH的面积为____________cm24.（25-25·成都模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=1，CB=2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1相似于矩形ABCD；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B225.（24-25·湖南模拟）如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：

①四边形ACBE是菱形；

②∠ACD=∠BAE；

③AF:BE=2:3；

④S四边形AFOE:S△解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·安徽模拟）已知线段a、b、c满足a3=b2=c6，且a+2b+c=2627.（24-25·浙江模拟）已知线段a,b满足ba=14（1）求线段a,b的长．（2）若线段c是线段a,b的比例中项，求线段c的长．28.（24-25·吉林模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与CA的延长线交于点E，AB=AC，DF⊥AC，垂足为点F．

（1）求证：DF为⊙O（2）若CF=2AF，AE=2，求⊙O29.（24-25·河北中考）如图，在Rt△ABC中，点D是BC的中点，点E在AB上，将△BDE沿DE翻折至△FDE，使点F落在AC上，延长EF与BC的延长线交于点G．（1）求证：DE//AC；（2）若BC=10，EFFG=530.（24-25·达州模拟）已知在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，以AB为直径的⊙O交于AC点D，过圆心O作AC的平行经OE，交BC于点E，连接DE并延长交AB的延长线于点F（1）求证：DF是⊙O（2）若BF=4,DF=6，求DE．31.（24-25·河北模拟）把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是5-12，称之为“黄金比”．如图，点A、C是反比例函数y=kx(k>0)在第一象限内图象上的任意点，AB⊥x轴于点B（1）若k=3，OB=m+2，AB=m，试求m的值；（2）在(1)的条件下，在x轴上取一点P，使ABOP的值为“黄金比”，求点P32.（24-25·山东模拟）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．

如图①，点C把线段AB分成两部分，如果CBAC=5-12≈0.618，那么称点C（1）特例感知：在图①中，若AB=100，求AC的长；（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形：

①作两条相互垂直的直径MN、AI；

②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；

③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AQ，连接AE；

则五边形ABCDE为正五边形．

在该正五边形作法中，点Q是否为线段（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．

延长题(2)中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos7233.（24-25·全国模拟）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．（1）如图，点P是线段MN的中外比点，MP>PN，MN=2，求PN的长．

（2）如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法）

（3）如图，动点B在第一象限内，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F．当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别为AB，BC，34.（24-25·甘肃中考）四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外），△EFG是直角三角形，EG=EF，点G在CD的延长线上．

（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出