2026中考第一轮复习数学第16课时：特殊三角形（学生版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第16课时特殊三角形一、核心知识一、核心知识（一）等腰三角形的性质与判定基本性质：等边对等角：等腰三角形的两腰所对的底角____________；三线合一：等腰三角形的、、重合（核心性质，常作辅助线依据）；对称性：等腰三角形是____________图形，对称轴为。判定定理：等角对等边：有两个角相等的三角形是____________；定义判定：有相等的三角形是等腰三角形。特殊等腰三角形——等边三角形：性质：三边相等，三个内角均为___________，每条边都满足“三线合一”，有条对称轴；判定：①三边都相等的三角形；②三个角都相等的三角形；③有一个角是60°的____________。（二）直角三角形的性质与判定核心性质：内角关系：直角三角形的两个锐角____________；斜边性质：直角三角形的斜边是最长边，斜边的中线等于斜边的__________；30°角性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的____________；勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即若a、b为直角边，c为斜边，则____________。判定定理：定义判定：有一个角是____________的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：若三角形的三边长a、b、c满足，则该三角形是____________；中线判定：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是。特殊直角三角形：等腰直角三角形：两个锐角均为____________，两直角边相等，斜边=直角边×2；30°/60°直角三角形：三边比为____________（短直角边：长直角边：斜边）。（三）直角三角形全等的特殊判定——HL定理适用范围：仅适用于____________的全等判定；定理内容：斜边和一条____________分别相等的两个直角三角形全等（一般三角形的SSA不成立，直角三角形中HL为专属判定）；补充：直角三角形全等仍可使用SSS、SAS、ASA、AAS判定，HL为特殊补充。（四）常用辅助线作法等腰三角形：作底边上的高（中线/顶角平分线），利用“三线合一”转化线段或角度；直角三角形：①作斜边中线，利用“斜边中线等于斜边一半”转化线段；②遇30°/45°角，构造特殊直角三角形利用边长关系计算；求最短路径：利用轴对称将折线转化为线段，结合“两点之间线段最短”求解（如牧马饮马问题）。二、核心能力二、核心能力（一）等腰三角形的计算与证明题型1：角度计算解题思路利用“等边对等角”“三角形内角和180°”，结合角平分线、外角性质建立角度关系，未说明角的类型时需分类讨论（如已知等腰三角形一个角求另外两角）。题型2：线段证明与计算解题思路利用“三线合一”作辅助线，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，结合勾股定理计算线段长度；证明线段相等时，可通过“等角对等边”转化为角的证明。（二）等边三角形的综合应用题型1：性质直接应用解题思路抓住60°角和“三线合一”，结合全等三角形（SAS/ASA）证明线段或角相等，利用30°角性质计算边长。题型2：判定证明解题思路根据题目条件，选择合适的判定方法（如已知等腰三角形+60°角，直接判定为等边三角形）。（三）直角三角形的勾股定理应用题型1：边长计算解题思路直接套用勾股定理，若遇特殊角（30°/45°），结合特殊直角三角形的边长比简化计算；无直角时可作垂线构造直角三角形。题型2：勾股定理的逆定理应用解题思路先计算三角形三边的平方关系，若满足a²+b²=c²，则判定为直角三角形，常用于证明垂直关系。（四）HL定理的应用与直角三角形全等题型1：HL定理直接证明全等解题思路先明确两个三角形为直角三角形，再找斜边相等和一组直角边相等，直接用HL判定。题型2：HL与其他判定结合解题思路直角三角形全等可灵活选用HL、SAS、AAS，若已知斜边相等优先用HL，已知直角边和夹角优先用SAS。（五）最短路径问题（轴对称+等腰/直角三角形）解题思路作定点关于定直线的对称点，连接对称点与另一个定点，与定直线的交点即为最短路径的点，结合等腰三角形或直角三角形的性质计算路径长度。三、易错警示三、易错警示等腰三角形忽略分类讨论：错误：已知等腰三角形一边长为3，另一边长为7，直接求周长为13或17；提醒：先根据三角形三边关系判断腰长，3+3<7，故腰长只能为7，周长为17，未满足三边关系的情况需舍去。混淆“三线合一”的适用条件：错误：任意三角形的角平分线、中线、高都重合；提醒：“三线合一”仅适用于等腰三角形，且必须是顶角平分线、底边上的中线和高。勾股定理应用忽略直角边与斜边：错误：在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=3，直接认为AB=6（未确认BC是否为30°角对的直角边）；提醒：使用30°角性质和勾股定理时，先明确直角边与斜边的对应关系。HL定理的滥用：错误：用HL判定非直角三角形的全等；提醒：HL定理是直角三角形专属，一般三角形全等判定仍为SSS、SAS、ASA、AAS，SSA始终不成立。斜边中线性质的误用：错误：任意三角形一边的中线等于这边的一半；提醒：该性质仅适用于直角三角形，且中线必须在斜边上。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（23-24·陕西模拟）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，已知AB=5,∠B=70∘,∠C=35A.4 B.5 C.6 D.72.（24-25·陕西模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=20∘，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

3.（24-25·陕西模拟）已知△ABC的三边分别为a、b、c，且a2+b2+c2=ab+bc+acA.等腰三角形 B.等腰直角三角形

C.直角三角形 D.等边三角形4.（24-25·河南模拟）在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（

）

A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C5.（24-25·湖北模拟）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（

）

A.b2+a2=c6.（25-26·全国模拟）如图，已知在△ABC中，∠A=70∘，AC=BC，根据图中尺规作图痕迹，∠ACE=（

A.4∘ B.5∘ C.87.（24-25·安徽模拟）如图，等边三角形ABC中，BC=6，D、E是边BC上的两点，BD=CE=1，P是线段DE上一动点，过点P分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点M、N，连接MN、AP，交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为（

）

A.32 B.332 C.8.（23-24·福建模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB=90∘，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论不正确的是（

）A.AM=CM B.∠AHC=90∘ C.∠9.（24-25·新疆模拟）如图，在△ABC中，∠B=90∘,∠A=30∘,BC=2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且A.1 B.2 C.1或3 D.1或210.（24-25·内蒙古模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B=45∘,AB=6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（

）A.2 B.6-32 C.11.（24-25·福建模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD为直径的圆交BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（

）A.5-1 B.25-12.（24-25·广东模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠CAB=30∘，AD平分∠CAB，BE⊥AD，EA.23 B.733 C.13.（24-25·广西模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=5，过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连结EC，过点E作EF⊥CE，连结CF使tan∠ECF=1A.5 B.4 C.25 D.14.（24-25·四川中考）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A'BE，连接A'C，AA.AB.AC.△A'CDD.四边形A'BED的面积15.（24-25·云南中考）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4，则PE+PF的最小值是（A.4 B.27 C.6 D.（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·达州模拟）如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE=AD，则∠EDC=___________．17.（24-25·河南模拟）如图，∠AOB=90∘，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E．设OC=1，则OE的长是_____________．18.（23-24·西藏中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点P为BC上一个动点，连接AP，将△ACP沿AP折叠得到△ADP，点C的对应点为D，连接BD，若AC=5，BC=12，当△PBD为直角三角形时，线段CP19.（24-25·广西模拟）如图，△ABC≅△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=α，则∠CAF20.（24-25·黑龙江模拟）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=3cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB=30∘，则△PMN周长的最小值是__________．21.（24-25·陕西模拟）如图，分别在三角形纸板ABC的顶点A,B处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线AD和BE，相交于点P，AB=6,AC=8,BC=10．则CP的长度是________________

（23-24·新疆中考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘,∠A=30∘,AB=8．若点D在直线AB上（不与点A，B重合），且23.（24-25·江苏模拟）如图，在△ABC中，AB=6，∠BAC=30∘，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN最小值是__________．24.（24-25·江苏模拟）如图，在菱形ABCD中，点E为BC的中点，将菱形ABCD沿DE翻折，使点C落在AE上的点F处．若AB=2，则折痕DE的长为______________．

25.（24-25·四川中考）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ(a,θ)变换，现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ(1,180∘)变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·江西模拟）如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB=6cm，长AD=10cm，求EC的长．

27.（24-25·河北中考）如图．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC=AD，∠ACB=∠ADB，点F在ED上，∠BAF=∠（1）求证：△ABC（2）若BE=FE，求证：AC⊥28.（24-25·吉林模拟）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、E（1）在图①中，以AB为腰画一个等腰直角三角形ABC；（2）在图②中，画△ABE的高线ED（3）在图③中，在AB边上找一点F，连接HF，使得HF平分△ABH的面积．

29.（24-25·河南模拟）如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90∘，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m．（1）求四边形ABCD的面积；（2）若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？30.（24-25·广东中考）在△ABC中，点D是线段AB上一动点，连接CD．将线段CD绕点C逆时针旋转至CE，记旋转角为α，连接AE．取AE的中点为点G，连接CG．

【特例感知】（1）如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90∘，α=90∘．延长AC至点F，使AC=CF，连接EF．请直接写出EF与BD的数量关系_______，CG（2）如图2，已知△ABC是等腰三角形，AC=BC，∠ACB=120∘，α=60∘（3）如图3，已知在△ABC中，BC=13，AC=7，∠ABC=30∘，∠ACB=18031.（24-25·吉林模拟）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60∘得到线段AE，连接CE．

（1）【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；（2）【探究应用】如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60∘得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分（3）【拓展提升】如图3，若△ABC是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60∘得到线段DE，连接CE．点D在运动过程中，△DEC的周长最小值32.（24-25·湖北模拟）如图1，等边△ABC的边长为4，点D是直线AB上异于A，B的一动点，连接CD，以CD为边长，在CD在侧作等边△CDE，连接BE．

（1）求证：BE∥（2）当点D在直线AB上运动时，

①△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求此时AD的长；若不存在，说明理由；

②△BDE能否形成直角三角