2026中考第一轮复习数学第18课时：相似三角形及其应用（学生版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第18课时相似三角形及其应用一、核心知识一、核心知识（一）相似三角形的基本概念相似图形：相同，不一定相同的图形称为相似图形，其对应角，对应边。相似三角形：对应角，对应边的两个三角形叫做相似三角形，用符号∽表示，书写时对应顶点需依次排列（如△ABC∽△DEF，A与D、B与E、C与F为对应顶点）。相似比：相似三角形的比叫做相似比，若△ABC∽△DEF的相似比为k，则△DEF∽△ABC的相似比为；相似比为1时，两个三角形全等（全等是相似的特殊情况）。（二）相似三角形的核心性质角的性质：；边的性质：；线段性质：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于；周长与面积性质：周长比等于，面积比等于；延伸性质：相似三角形的一切对应线段的比均等于，对应图形的面积比为。（三）相似三角形的判定定理（中考必考）基本判定（通用三角形）平行线判定：平行于，所构成的三角形与原三角形相似（A型、X型相似，最基础判定）；两角判定（AA）：两角分别的两个三角形相似（中考最常用，优先找公共角、对顶角、同位角）；两边夹角判定（SAS）：两边且夹角的两个三角形相似（注意：角必须是两边的夹角，非夹角不成立）；三边判定（SSS）：三边的两个三角形相似。特殊判定（直角三角形，除通用判定外新增）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形，与原三角形都相似（双垂直模型）；一个锐角的两个直角三角形相似；斜边和一条直角边的两个直角三角形相似。注意：SSA、AAA不能判定一般三角形相似。（四）相似三角形的常见基本模型（中考高频）A型（正A/斜A）：公共角在顶点，一边平行于底边（DE∥BC→△ADE∽△ABC/△ADE∽△ACB）；X型（八字型）：对顶角为公共角，两边互相平行（AB∥CD→△AOB∽△DOC）；K型（一线三等角）：同一直线上有三个相等角，常为直角（∠A=∠DCE=∠B=90°→△ACD∽△BEC）；双垂直模型：Rt△ABC中，CD⊥AB→△ABC∽△ACD∽△CBD；（五）位似图形（与相似结合考查）定义：两个图形不仅，且对应顶点的交于一点，对应边（或），这个点叫做，位似图形是的特殊形式；性质：位似比等于，对应点到位似中心的距离比等于；作图：分内位似（位似中心在图形内部）和外位似（位似中心在图形外部），按位似比截取对应边即可。（六）相似三角形的实际应用核心思路将实际问题转化为数学相似模型，通过找相等角构建相似三角形，利用列方程求解，常见场景：测量物体高度、河宽、航海测距、影子问题、平面镜反射问题。二、核心能力二、核心能力（一）相似三角形的判定题型1：相似三角形的判定解题思路先找角，再看边有平行线→直接用平行线判定定理（A型/X型）；有公共角/对顶角/已知等角→优先找另一组等角，用AA判定；有两边成比例→验证夹角是否相等，用SAS判定；无角相等→计算三边比例，用SSS判定；直角三角形→优先用锐角相等或双垂直模型，再考虑HL型相似。相似三角形的性质应用题型2：利用相似三角形的性质计算解题思路线段/边长计算：找准对应边，列比例式，设未知数求解（关键：标注对应顶点，避免对应边找错）；周长/面积计算：周长比直接等于相似比；面积比先转化为相似比的平方，已知面积比则开方求相似比；高/中线/角平分线计算：直接利用“对应线段比=相似比”列比例式求解。（三）相似三角形的综合证明题型3：相似三角形的综合证明解题思路证明线段成比例：将比例式转化为三角形相似，证出相似后直接得对应边成比例；证明线段相等：先证三角形相似，得对应边成比例，再结合已知相等线段，推导出所求线段相等；证明垂直/平行：通过相似得对应角相等，再结合角的关系（如同位角相等、内错角相等、互余）证明垂直/平行。(四)相似三角形的实际应用题型题型4：相似三角形的综合证明常见模型及解题步骤：标杆测量物体高度：构建A型相似，标杆高/物体高=观测者到标杆距离/观测者到物体距离；影子测量物体高度：同一时刻，物体高度/影长=参照物高度/参照物影长（相似三角形的对应边成比例）；平面镜反射测量高度：利用“反射角=入射角”构建相等角，形成相似三角形；测量河宽：构建X型/A型相似，将河宽转化为相似三角形的对应边，列比例求解。通用步骤：①审题，画出几何图形；②找相等角，构建相似三角形；③设未知数，列比例式；④解方程，检验并作答。三、易错警示三、易错警示对应点错误错误：未按对应顶点找对应边，如将△ABC∽△DEF的对应边写成DF/AB=DE/BC；提醒：根据相等角的对边确定对应边，或严格按照书写顺序找对应边。误用相似判定错误：两边成比例，但夹角不是对应角，直接证相似；提醒：SAS判定的“角”必须是两边的夹角，非夹角则为SSA，不能判定相似。面积比与相似比混淆错误:面积比与相似比混淆：认为相似三角形的面积比等于相似比；提醒：牢记周长比=相似比，面积比=相似比的平方，反向求解时面积比开方得相似比。忽略多解情况错误:等腰三角形、直角三角形相似时，未考虑边的不同对应关系；提醒：遇等腰/直角三角形相似，分类讨论不同的对应方式，避免漏解。位似与相似混淆错误:认为所有相似图形都是位似图形；提醒：位似图形必须满足对应顶点连线交于一点，相似图形不一定是位似图形。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·广东模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）

A. B. C. D.2.（24-25·内蒙古中考）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0,0)，A(2,1)，B(1,2)，以原点O为位似中心，在第三象限画△OA'B'与△OAB位似，若△OA'B'与△OAB的相似比为2:1，则点AA.(-2,-1) B.(3.（24-25·贵州模拟）如图，B、A、E三点共线，C、A、D三点共线，在下列四个条件中：①∠ADE=∠ABC；②∠AED=∠ACB③AD．AC=AB．AE；④DEBC=ADA.① B.② C.③ D.④

4.（23-24·广西中考）如图，在五边形ABCDE中，AE // BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（A.∠B+∠4=180∘ B.5.（24-25·浙江中考）如图，五边形ABCDE,A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0)．若DE的长为3，则A.72 B.4 C.92 6.（24-25·全国模拟）在Rt△ABC中，∠C=90∘,AB=13,BC=5，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段AQ的长为（A.213 B.215 C.6 D.120137.（24-25·浙江模拟）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（

）

A.92 B.6 C.1638.（23-24·云南中考）如图，在△ABC中，已知D,E分别是AB,AC边上的点，且DE // BC．若ADAB=12，则A.12 B.13 C.14 D.159.（24-25·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E,F在坐标轴上．若∠A=90∘,tanB=12,A(A.(11,-4) B.(10,-3)10.（23-24山东模拟）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA=150cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm，则AC的长度是（

）

A.80cm B.60cm C.50cm D.40cm11.（23-24·广东中考）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB=50cm，则CD的长是（

）

A.30cm B.1003cm C.20cm12.（24-25·内蒙古中考）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0,0)，A(2,1)，B(1,2)，以原点O为位似中心，在第三象限画△OA'B'与△OAB位似，若△OA'B'与△OAB的相似比为A.(-2,-1) B.(13.（24-25·浙江中考）如图，五边形ABCDE,A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0)．若DEA.72 B.4 C.9214.（24-25·全国模拟）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG．若AB=8，BC=12，则tan∠GCF的值是（

）

A.1010 B.13 C.3101015.（23-24·江苏中考）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE=BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN=AF；②∠EAH=∠EHA；③EN⋅BF=EC⋅HN；④若BF:FC=3:4，则tan∠A.①②③⑤ B.①②④⑤ C.①②③④ D.①③④⑤（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（25·四川模拟）（3分）如图，若ABBC=BCBD=m，请再添加一个条件，使得△ABC∽△17.（25·福建模拟）（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为6,32，△ABC的顶点A的坐标为(4,3)．以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中心作△A2B2C2与18.（24·山东模拟）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO=5m，树影AC=3m，树AB与路灯O的水平距离AP=4.5m，则树的高度AB长是

米．

19.（24·湖北模拟）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是

．

20.（25·江苏模拟）如图，在△ABC中，AC=2，AB=3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP=2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ=x，PQ=y．当x=y时，CD=________；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为_______21.（25·达州模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为______________；当CG取最小值时，CE的长为_______________

22.（23·浙江中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BC=6．将射线CA绕点C顺时针旋转90∘到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，使得△ACD面积为2423.（25·山东模拟）如图，已知△ABC中，∠ACB=90∘，AC=7，BC=9，点M是△ABC内部一点，连接AM、BM、CM，若CM=3，则AM+13BM24.（25·四川模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-12x+3交x轴于点A，交y轴于点B．四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4，⋯都是正方形，顶点A1，A2，A3，A4，⋯都在x轴上，顶点B1，B2，B3，B4，⋯都在直线y=-12x+3上，连接BA1，B1A2，B2A325.（24·河南中考）如图，在矩形ABCD中，AD=23，CD=6，E是AB的中点，F是线段BC上的一点，连接EF，把△BEF沿EF折叠，使点B落在点G处，连接DG，BG的延长线交线段CD于点H．给出下列判断：①∠BAC=30∘；②△EBF∽△BCH；③当∠EGD=90∘时，DG的长度是23④线段DG长度的最小值是21-3；⑤当点G落在矩形ABCD（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（25江苏模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为(-1,-（1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；（2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C127.（23·云南中考）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求证：△ABE∽△ECF．

28.（25·贵州模拟）如图，已知∠B=∠E=90∘,AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25．求证：29.（25·吉林模拟）如图，已知△ABC中，点D是边AB上一点，点E是△ABC外一点，∠ACD=∠BCE,∠A=∠CDE.

（1）求证：△CDE∼△CAB;

（230.（24·湖南模拟）为测量水平操场上旗杆的高度，九(2)班各学习小组运用了多种测量方法．

（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为________m；（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到镜面距离EC=2m，镜面到旗杆的距离CB=16m．求旗杆高度；（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．

如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．

如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG=1.8m，DG=1.5m．将观测点D后移24m到D'处，采用同样方法，测得C'G'=1.2m，D'G31.（25·四川模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90∘，BC=4，AD=aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点．

（1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a