2026中考第一轮复习数学第15课时：三角形与全等（学生版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第15课时三角形与全等一、核心知识一、核心知识（一）三角形的基本概念与分类定义：由不在同一直线上的____________首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，有3个顶点、3条边、3个内角。分类：按角分：、、；按边分：、（含，）。三角形的重要线段：中线：连接顶点与对边____________的线段，三条中线交于__________（重心分中线为2:1两段）；角平分线：平分内角且与对边相交的线段，三条角平分线交于___________（到相等）；高：从顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足间的线段，三条高交于____________（直角三角形垂心在）。（二）三角形的基本性质三边关系：三角形任意两边之和___________第三边，任意两边之差____________第三边（判断三条线段能否构成三角形的依据）。内角和定理：三角形的内角和为；直角三角形的两个锐角______。外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的____________；三角形的一个外角___________与它不相邻的任意一个内角；三角形的外角和为__________。等腰三角形性质：等边对等角：两腰所对的底角____________；三线合一：等腰三角形的、、重合；等边三角形性质：三边相等，三个内角都为____________，每条边上都满足“三线合一”。（三）全等三角形的定义与性质定义：能够____________的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。性质：全等三角形的对应边____________，对应角____________；对应边上的、、都相等，周长和面积也相等。（四）全等三角形的判定定理（核心考点）基本判定（通用）：SSS：三边分别____________的两个三角形全等；SAS：两边及其____________分别相等的两个三角形全等；ASA：两角及其____________分别相等的两个三角形全等；AAS：两角及其中一角的____________分别相等的两个三角形全等；特殊判定（仅直角三角形）：HL：斜边和一条___________分别相等的两个直角三角形全等。注意：SSA、AAA不能判定三角形全等。（五）全等三角形的证明思路已知两边：找夹角用→找第三边用→若为直角三角形用；已知一边一角：边为角的夹边用→边为角的对边用→找另一角用；已知两角：找夹边用→找任意一角的对边。二、核心能力二、核心能力（一）三角形的三边关系与角度计算题型1：三边关系应用解题思路根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式，求解第三边的取值范围；若为整数边，需列举所有符合条件的情况。题型2：内角和与外角性质计算解题思路利用内角和定理、外角性质建立角度间的等量关系，若有角平分线、中线，结合其定义拆分角度，设未知数列方程求解。（二）三角形重要线段的应用题型1：中线与面积相关计算解题思路三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，利用此性质可求不规则三角形的面积，或结合重心的2:1比例求解线段长度。题型2：角平分线的性质应用解题思路角平分线上的点到角两边的距离相等，可作垂线构造全等三角形，将线段、角度进行转化。（三）等腰/等边三角形的性质与判定题型1：等腰三角形的性质应用解题思路利用“等边对等角”转化角度，利用“三线合一”作辅助线（如作底边上的高），将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，结合勾股定理计算。题型2：等边三角形的判定解题思路三边相等→三角相等（都为60°）→有一个角是60°的等腰三角形，满足其一即可判定为等边三角形。（四）全等三角形的证明与应用题型1：基础全等证明（无辅助线）解题思路找准已知条件对应的边、角，结合判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）直接证明，注意对应顶点的顺序。题型2：构造辅助线证明全等解题思路常见辅助线：作垂线（构造直角三角形，用HL/SAS）、截长补短（证明线段和差关系）、连接两点（构造公共边，用SSS/SAS）、倍长中线（延长中线至两倍，构造SAS全等）。题型3：全等三角形的性质应用解题思路先证明三角形全等，再利用“对应边相等、对应角相等”转化线段或角度，求解未知边、角，或证明线段平行、垂直。三、易错警示三、易错警示三边关系忽略“任意性”错误：判断3、4、7能否构成三角形，认为3+4=7符合要求；提醒：必须满足任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，3+4=7时不能构成三角形。全等判定混淆“夹角”与“邻角”错误：用SAS判定时，将两边的邻角当作夹角（如AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，直接证△ABC≌△DEF）；提醒：SAS的“角”必须是两边的夹角，否则为SSA，不能判定全等。等腰三角形忽略“分类讨论”错误：已知等腰三角形一个角为80°，直接认为底角为80°；提醒：未说明是顶角还是底角时，需分类讨论（80°为顶角或底角），注意三角形内角和不能超过180°。辅助线构造不当：错误：证明线段和差时，盲目作垂线，未结合题目标注；提醒：截长补短适用于“a+b=c”型线段证明，倍长中线仅适用于有中线的三角形，作垂线需结合角平分线、直角条件。全等对应关系找错错误：将△ABC≌△DEF的对应边写成AB=DF，AC=DE；提醒：全等三角形的对应顶点按顺序写，对应顶点所对的边、角为对应边、角，可通过图形旋转、平移找对应关系。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（2024・浙江杭州中考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A.2，3，5B.3，4，8C.4，5，6D.5，6，12（2024・广东广州中考）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠ACB的外角为（）110°B.120°C.130°D.140°（2023・江苏苏州中考）等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为（）30°B.40°C.50°D.60°（2025・北京中考）如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E对应，则下列结论错误的是（）AB=DEB.∠ACB=∠DFEC.AC=DFD.∠ABC=∠DFE（2024・四川成都中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=3，则点D到AB的距离为（）1B.2C.3D.4（2023・湖南长沙中考）能判定△ABC≌△A'B'C'的条件是（）AB=A'B'，AC=A'C'，∠B=∠B'B.AB=A'B'，∠A=∠A'，BC=B'C'C.∠A=∠A'，∠B=∠B'，AC=A'C'D.∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'（2025・山东青岛中考）如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，则BD的长为（）1B.2C.3D.4（2024・重庆中考）已知三角形的两边长分别为4和9，则第三边的取值范围是（）5<x<13B.5≤x≤13C.4<x<9D.4≤x≤9（2023・陕西中考）如图，AB=CD，AD=BC，下列结论错误的是（）∠A=∠CB.AB∥CDC.AD∥BCD.∠A=∠B10.（2025・湖北武汉中考）Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若AC=DF，BC=EF，则判定两三角形全等的定理是（）SSSB.SASC.ASAD.HL11.（2024・安徽中考）等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则该等腰三角形的腰长为（）4B.6C.4或6D.812.（2023・福建中考）如图，在△ABC中，BD是中线，AB=5，BC=3，则△ABD与△BCD的面积差为（）2B.3C.4D.013.（2025・四川宜宾中考）如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证△ABC≌△DEF的依据是（）SSSB.SASC.ASAD.AAS14.（24-25达州模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC边上一点，△ACD是由△ABP旋转得到的，点B、P的对应点分别是C、A.AP=AC B.BC=PD C.∠PCA=∠DCA D.∠PAC=∠DAC15.（24-25·天津中考）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点B,C的对应点分别为B',C',B'A.125 B.165 C.4（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（24-25·贵州模拟）已知△ABC的边长两边长为2和4，第三边长为偶数，则第三边的值为_____________17.（24-25·四川模拟）如图，点O是△ABC的重心，过O点作直线DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，现随机向△ABC内部掷一枚小针，则针尖落在△ADE区域内的概率为___________18.（23-24·重庆中考）如图，在△ABC中,AB=AC,∠A=36∘,BD平分∠ABC交AC于点D．若BC=2,则AD19.（24-25·山西模拟）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40∘和50∘，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40∘和50∘的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为__________．

20.（24-25·广西中考）如图，点A,D在BC同侧，AB=BC=CA=2,BD=CD=2，则AD=_____________．

21.（24-25·辽宁模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(-4,6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90∘，则点A的对应点A'的坐标为______________．

22.（24-25甘肃模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90∘，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为__________．23.（24-25·江苏模拟）在△ABC中，点D为AB边上一点，连接CD，把△BCD沿着CD翻折，得到△B'CD，AC与B'D交于点E，若∠A=∠ACD，AE=CE，S△ACD=S△24.（24-25·四川中考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP=45∘，点F在射线DP上，且AE:DF=1:2，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论：①sin∠BFE=22；②AE2+CG2=E25.（24-25·内蒙古模拟）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120∘，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论:①OD=OE;②SΔODE=SΔBDE;③四边形ODBE的面积始终等于433;④（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·吉林模拟）如图，在△ABC中，CD为△ABC的中线，延长CD至点E，使得CE=2CD，连接BE．求证：AC=BE．

27.（24-25·云南中考）如图，AB与CD相交于点O，AC=BD,∠C=∠D．求证：△28.（25-26·江苏月考）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE，AC=DF，BC=EF

（1）求证：△ABC（2）若∠A=55∘，∠29.（25-26·贵州模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，延长BC至点F，使CF=DE，连接EF．

（1）求证：△EDC（2）已知∠A=40∘30.（23-24·贵州模拟）综合与实践

问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动．

独立思考：（1）如图①，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A'的位置，则∠A与∠1+∠2（2）如图②，若点A'落在四边形BCDE的边CD下方时，试猜想此时∠A与∠1，∠（3）如图③，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘，E，F分别是AB，CD边上的一点，沿EF将四边形ABCD折叠，点A的对应点G恰好落在BC边上，且∠1=75∘，∠2=15∘．

①∠B的度数为；

②若31.（24-25·山东中考）在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，∠ACB=30∘，∠BAC的平分线AD交BC（1）求∠ADC（2）已知AB=3，分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F．如图2，求32.（23-24·辽宁模拟）（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围．

第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：

①延长AD到E，使得DE=AD；

②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；

③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE，从而得到AD的取值范围是______．

（2）如图2，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，且AC=DC，∠CAD=∠CDA，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______．

①∠CAE=∠DAE（3）如图3，OA=OB，OC=OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是AC的中点，求证：（4）如图4，在(3)的条件下，若∠AOB=90∘，延长EO交BD于点F，OF=2，OE=4，则△33.（25-26·全国模拟）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=CB；△DEF中，∠DEF=90∘，∠EDF=30∘），并提出了相应的问题．

【发现】(1)如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF，垂足为点M，过点C作CN⊥DF，垂足为点N，

①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；

∵∠ABC=90∘，

∴∠ABM+∠CBN=90∘，

∵AM⊥DF，CN⊥DF，

∴∠AMB=90∘，∠CNB=90∘，

∴∠ABM+∠BAM=90​∘，

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠BAM=∠CBN

∠AMB=∠CNB=90​∘