2026中考第一轮复习数学第4课时：数的开方与二次根式（教师版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第4课时数的开方与二次根式一、核心知识一、核心知识（一）数的开方1.平方根：定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作______a______（a≥0）。性质：正数有______两个______平方根，它们互为相反数；0的平方根是______0______；负数______没有______平方根。开平方：求一个数平方根的运算，与平方互为______逆运算______。2.算术平方根：定义：正数a的______正______的平方根叫做a的算术平方根，记作根号a（a≥0），0的算术平方根是0。性质：算术平方根的结果一定是非负数，a≥0（a≥0）。3.立方根：定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，记作______3a______（a性质：正数的立方根是______正数______，负数的立方根是______负数______，0的立方根是0；3-a=-开立方：求一个数立方根的运算，与立方互为逆运算。（二）二次根式1.定义：形如a（a______≥0______）的式子叫做二次根式，其中a是被开方数，二次根号下的数必须是非负数。2.最简二次根式：条件1：被开方数中不含能开得尽方的______因数或因式______；条件2：被开方数中不含_______分母_____；条件3：分母中不含______根号______。3.核心性质：性质1：a2=a（a≥0）性质2：a2=a性质3：ab=a∙b（a≥0，b≥0性质4：ab=ab（a≥0，b>04.运算法则：加减法：先将二次根式化为______最简二次根式______，再合并被开方数相同的二次根式；乘法：a∙b=ab（a≥0，b≥除法：ab=ab（a≥0，混合运算：遵循先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的顺序，可运用整式运算公式（如平方差、完全平方公式）。二、核心能力二、核心能力题型1.平方根、算术平方根与立方根的计算解题思路紧扣定义和性质，注意平方根与算术平方根的区别（算术平方根为非负），立方根符号与原数一致，先化简再计算。题型2.二次根式有意义的条件解题思路根据被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式（组），求解字母取值范围；若含零指数幂，需同时满足底数不等于0。题型3.二次根式的化简解题思路利用性质a2题型4.二次根式的混合运算解题思路先将所有根式化为最简二次根式，乘法运算可巧用公式简化，加减运算只合并同类二次根式，避免非同类根式直接加减。题型5.二次根式的估值解题思路找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定根式的整数部分，再估算小数部分；复杂估值可先化简再判断范围。题型6.二次根式非负性的应用解题思路：多个非负数相加为0时，每个非负数均为0，列方程求解字母的值。三、易错警示三、易错警示混淆平方根与算术平方根错误：认为16的平方根是±4（忽略16=4，实际求4的平方根）；提醒：先化简根式，再区分“平方根”（±a）和“算术平方根”（a二次根式化简忽略符号错误：化简(x-3)²提醒：a2=a运算顺序或法则错误错误：2+3=5（非同类二次根式直接相加）、[(-3)×提醒：非同类二次根式不能直接加减，二次根式乘法需保证被开方数非负。分母有理化不彻底错误：化简12-1时，只给分子乘提醒：分母含a±b时，分子分母同乘a∓四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（23-24·云南模拟）下列等式正确的是（

）A.±9=3 B.6+3=9 C.【答案】C【解析】根据算术平方根，平方根，二次根式的加减计算选择即可，本题考查了平方根，算术平方根，二次根式的加减，熟练掌握定义个性质是解题的关键．【解答】A.±9=±B.6,3C.(-D.9=3，错误，不符合题意；故选C．

2.（24-25·福建中考）若x-1在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（

A.-2 B.-1 C.0【答案】D【解析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即x-1≥0，解不等式即可确定【解答】解：要使x-1在实数范围内有意义，需满足被开方数x-解得x≥∴x=2故选：D．3.（25-26·辽宁月考）已知a=2,b=3，用含a,b的代数式表示6，这个代数式是（

A.a+b B.2a C.2b D.ab【答案】D【解析】根据题意可知6正好是2和3的积，因此可得6=2×【解答】∵a=2,b=∴6=2×3=2×34.（24-25·陕西模拟）-64的立方根是（

）A.8 B.-8 C.4 D.【答案】D【解析】根据立方根进行求解即可．【解答】-64的立方根是-4，故选D．

5.（21-22·辽宁中考）下列计算正确的是（

）A.2-8=2 B.(-【答案】C【解析】分别化简二次根式判断即可．【解答】A、2-8无解，故该项错误，不符合题意；B、(-C、25D、(2故选：C．

6.（24-25·江苏模拟）若a=12-3A.3<a<4 B.2<a<3 C.1<a<2 D.0<a<1【答案】A【解析】此题考查了二次根式的分母有理化和无理数的估算．先利用分母有理化化简二次根式，再进行无理数估算即可．【解答】解：a=12∵1<∴3<2+即3<a<4；故选：A．7.（24-25·江西模拟）若最简二次根式8-3k与8能合并，则k的值可以是（

A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．

根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可．【解答】解：∵最简二次根式8-3k与8=2∴8解得：k=2．故选：C

8.（24-25·湖南模拟）若a=2+3，b=1+6A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.b>c>a【答案】B【解析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出a2、b2【解答】解：∵a2=2+32=5+26，∴b>a>c故选：B．9.（24-25·四川中考）若(3x+2y-19)2+|2x+y-A.8 B.±8 C.±2【答案】C【解析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于x,y的二元一次方程组，两个方程相减后求出x+y的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键．【解答】解：∵(3x+2y∴3x+2y①-②，得：x+y=8，∴x+y的平方根是±故选：C．10.（23-24·河北模拟）已知a-4a+13a=28.28A.0.2828 B.2.828 C.±0.2828 D.【答案】D【解析】本题考查了二次根式的加减，算术平方根，平方根；

根据二次根式的加减求出a=2.828，然后根据算术平方根和平方根的关系得出答案．【解答】解：∵a-4a∴a∴a的平方根为±故选：D．

11.（23-24·河北模拟）设M=1ab-ab⋅ab，其中a=-3，b=A.2 B.-2 C.1 D.【答案】D【解析】本题考查了二次根式乘法运算；先利用乘法分配律展开，再利用二次根式乘法法则进行运算，代值运算即可求解；掌握a⋅b=【解答】解：M=1ab1-a=1-当a=-3，=1=-故选：D．12.（24-25·广东模拟）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（

）

A.2+2 B.22-2【答案】B【解析】根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为2，大正方形的边长为4=2，故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即2×2+2-【解答】解：根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为2，大正方形的边长为4=2，

故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即2×2+2-2-4=22-213.（23-24·河北模拟）若a=2+1,b=2-1，则A.2 B.5 C.7 D.3【答案】D【解析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式混合运算，熟练掌握完全平方公式及化简求值是解题的关键．根据完全平方公式将a2+3ab+b2变形为(a+b)2+ab【解答】解：∵a=2+1，b=∴a+b=ab=2=∴=(a+b=222+1

=8+1

=3，

故选：D14.（23-24·湖南模拟）已知|a+1|a+1=-1，则化简a+A.-2a B.2a C.2a+2a【答案】A【解析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得a+1<0，即a<-1，所以a-1a【解答】解∵|a+1|a+1=∴a+1<0∴a<∴a-1∴a+1a2-4+a-1a2+4

=a2+2+1a2-4+a15.（25-26·四川月考）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为a,b,c，三角形的面积为S，则S=14a2b2-a2+A.112 B.11 C.211【答案】B【解析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得AB=10=c，【解答】解：由题意得：AB=10=c∴S=故选：B．11.（23-24·河北模拟）设M=1ab-ab⋅ab，其中a=A.2 B.-2 C.1 D.【答案】D【解析】本题考查了二次根式乘法运算；先利用乘法分配律展开，再利用二次根式乘法法则进行运算，代值运算即可求解；掌握a⋅【解答】解：M=1-a=1-当a=-3，=1=-故选：D．（24-25·广东模拟）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（

）

A.2+2 B.22-2【答案】B【解析】根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为2，大正方形的边长为4=2，故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即2×2+【解答】解：根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为2，大正方形的边长为4=2，

故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即2×2+2-213.（23-24·河北模拟）若a=2+1,b=2-1A.2 B.5 C.7 D.3【答案】D【解析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式混合运算，熟练掌握完全平方公式及化简求值是解题的关键．根据完全平方公式将a2+3ab+b2变形为(a+b)【解答】解：∵a=2+1∴a+b=ab=2=∴=(a+b=222+1

=8+1

=3，14.（23-24·湖南模拟）已知|a+1|a+1=-1，则化简A.-2a B.2a C.2a+2a【答案】A【解析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得a+1<0，即a<-1，所以a-【解答】解∵|a+1|∴a+1<0∴a<∴a-1∴a+1a2-4+a-1a2+4

=a2+2+1a2-15.（25-26·四川月考）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为a,b,c，三角形的面积为S，则S=14a2b2-a2A.112 B.11 C.211【答案】B【解析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得AB=10【解答】解：由题意得：AB=10=c∴S=故选：B．

（二）填空题（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（25-26·甘肃模拟）48的平方根是___±43_____，64的立方根是__2【答案】±43,2【解析】根据平方根及立方根的定义计算即可得到结果．【解答】解：∵(±43∴48的平方根为±4∵64=8，8的立方根为2则64的立方根为2．故答案为：±43；2．17.（25-26·甘肃期中）若m-1有意义，则m能取的最小整数值是____1__________【答案】1【解析】根据二次根式有意义的条件得到m-1≥【解答】解：∵m-1∴m∴m∴m故答案为：118.（24-25·黑龙江中考）若式子1x+1有意义，则x的取值范围是____x>-1【答案】x>-1【解析】本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为零．根据二次根式以及分式有意义，得出关于x的不等式，解出即可得出x的取值范围．【解答】解：要使式子1x+1有意义，即x+1≥∴x>故答案为：x>-1．19.（24-25·吉林中考）计算：3+12=____3【答案】33【解析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式即可．【解答】解：3+12=故答案为：33．

20.（24-25·四川模拟）若最简二次根式-2a-3与ba+1可以合并，则-ab=【答案】-16【解析】根据最简二次根式-2a-3与ba+1可以合并，判定二式是同类二次根式，得到b=2,a+1=2a-【解答】解：∵最简二次根式-2a-3与b∴最简二次根式-2a-3∴b=2,a+1=2a解得b=2,a=4，∴-a故答案为：-16

21.（25-26·全国模拟）已知x=3+2，则x2-4x+1x-2=【答案】0【解析】本题考查二次根式的运算，分式的求值，将分式变形后，代值计算即可．【解答】解：∵=(x=x-∵x=∴x∴原式=3故答案为：0

22.（25-26·浙江模拟）已知16-x2-4-x【答案】32【解析】设原式中的4-x2=a，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形即可求得【解答】设4-x2=a，则16-x∴12+a两边同时平方得：12+a=8+a+42a，即：4=4∴32a=16，解得：a=∴16-x2+4-23.（24-25·四川模拟）已知代数式A=1+2x÷x2+4x+4x，其中x为7【答案】77【解析】本题考查分式的化简求值，无理数的估算，二次根式性质，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先化简分式，再估算7求出x，再代入求值即可．【解答】解：A=1+2=x+2=x+2=1∵2<7<3，x∴x=∴A=故答案为：77．24.（24-25·广东中考）将1、2、3、6按如图所示方式排列，若规定(m,n)表示第m排从左往右第n个数，则(7,6)表示的数是________【答案】3【解析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有(m-1)个数，从第一排到(m-1)排共有：1+2+3+4+...+(m-【解答】解：(7,6)表示第7排从左向右第6个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，1+2+3+4+5+6+6=27，27÷则(7,6)所表示的数是3，故答案为3．25.（24-25·湖南模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=14a2b2-a2+b2-c2

【答案】32【解析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，7的ΔABC的面积，从而可以解答本题．【解答】∵如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=14a2b2-a2+b

∴ΔABC的面积为：故答案为3

（三）解答题（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（23-24·安徽模拟）计算：3-【答案】-5【解析】原式利用立方根定义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：3-27=-=-5．27.（24-25·北京中考）计算：|-3|+【答案】4+33【解析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可．【解答】解：|-3|+=3+33=4+33．28.（23-24·新疆模拟）计算：-1【答案】-3【解析】分别利用负整指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简，再进行计算即可．【解答】解：-12-=-=-2+3-2+3+129.（23-24·江苏中考）先化简再求值：1+2x+1⋅x+1【答案】1x-3，【解析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然后再代入x的值代入计算，并利用二次根式的性质化简．【解答】解：1+2x+1=x+1+2x+1=x+3=1x-3，

当x=3+3时，原式30.（24-25·陕西模拟）先化简，再求值：a-1-3【答案】a-2；-【解析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给数值代入计算．【解答】解：a-1=(a=(a=a-当a=2-2时，原式=2-2-31.（24-25·江苏模拟）先化简，再求值：2a+1a-1÷【答案】1a+1，22【解析】本题考查的是分式的化简求值及二次根式的化简，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=2a+1-aa=a+1=1当a=2原式=12-1+1=232.（24-25·福建模拟）定义：若二次根式a+2b可以表式成m+n2的形式（其中a，b，m，n都是整数），则称a+2b为完整根式，m+n是a+2b的完整平方根．例如：因为5+2（1）判断：5+3是否是完整根式（2）若完整根式a+2b的完整平方根是m+n，请用含m，n的代数式分别表示a（3）若a+2b是完整根式，证明：a2-【答案】5+3是a=m+n，b=mn见解答【解析】（1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；（2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；（3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；【解答】（1）解：（1）5+3是8+215

理由如下：5+即8+215∴5+3（2）∵a+2b的完整平方根是∴a+2∴a+2∵a，b，m，n∴a=m+n，b=mn（3）∵a+2∴不妨设a+2b=m+n由(2)得，a=m+n，b=mn．∴a∵m，n∴(m∴a2-4b（23-24·江苏中考）小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．

提出问题销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？

分析问题某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d(n，k均为正整数，n>k≥3，d>0)，如图小明设计了如下三种铲籽方案．方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为_____(n-1)d___，共铲___2k部籽的路径总长为____2(n-1)dk方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为__2(k-1)dn方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．解决问题在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．

【答案】分析问题：方案1：(n-1)d；2k；2(n-1)dk；方案2:2(k-1)dn；方案【解析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为d2+d22=2d2，根据题意得一共有2n列，2k行，斜着铲相当于有n【解答】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，∴每行铲的路径长为(n-∵每列有k个籽，呈交错规律排列，∴相当于有2k行，∴铲除全部籽的路径总长为2(n-故答案为：(n-1)d；2k；方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，∴每列铲的路径长为(k-∵每行有n个籽，呈交错规律排列，，∴相当于有2n列，∴铲除全部籽的路径总长为2(k-故答案为：2(k-方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为d2根据题意得一共有2n列，2k行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有2k-∴铲除全部籽的路径总长为：22解决问题由上得：2(n-∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；2(k-∵n>k当k=3时，2-2(k-∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．

34.（24-25·山西模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务数形结合解决二次根式求和问题

求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？

下面我们讨论一种新的方法——数形结合法

【例题】求x2【答案】两点之间线段最短(2)72

(3)5【解析】本题考查了两点之间线段最短、矩形的判定与性质、勾股定理，二次根式的运算；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．(1)根据两点之间线段最短即可得解；(2)作DG⊥AC交AC的延长线于G，则四边形DGCE为矩形，得出CG=DE=4，出AG=AC+CG=7，GD=CE=7，再由勾股定理计算即可得解；(3)仿照材料给出的方法计算即可得解．【解答】解：材料中的依据为：两点之间线段最短；(2)解：如图：作DG⊥AC交AC的延长线于

则∠G=∠∴四边形DGCE为矩形，∴CG=DE=4，∵EF=7-x，AC=3∴AG=AC+CG=7，GD=CE=7∴AD=(3)解：x2+4=x2+22，将AC=2，BC=x，AB=xx2-6x+13=(x-3直角边，如图2所示，EF=3-x，DE=2，则将Rt△ABC与R