2026中考第一轮复习数学第11课时：一次函数及应用（学生版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第11课时一次函数及应用一、核心知识一、核心知识（一）一次函数的定义与表达式定义：形如____________（k、b为常数，且____________）的函数叫做一次函数。特殊情况：当____________时，函数化为y=kx（k≠0），叫做____________，是一次函数的特殊形式。表达式类型：一般式：。（二）一次函数的图象与性质图象形状：一次函数y=kx+b的图象是一条___________，正比例函数y=kx的图象是经过____________的直线。图象性质（k、b的作用）：系数k：决定直线的___________和倾斜程度：k>0：y随x的增大而____________，直线从左到右上升；k<0：y随x的增大而___________，直线从左到右下降；|k|越大，直线越____________；|k|越小，直线越。常数b：决定直线与y轴的交点坐标：直线与y轴交于点___________：b>0：交点在y轴___________；b=0：交点在；b<0：交点在y轴___________。直线平移规律（针对y=kx+b）：向上平移m个单位：；向下平移m个单位：；向左平移m个单位：；向右平移m个单位：。（三）一次函数的求解方法（待定系数法）步骤：设：设一次函数表达式为，正比例函数设为；代：将图象上__________已知点的坐标代入表达式，列二元一次方程组；解：解方程组求出k、b的值；写：写出一次函数的最终表达式。（四）一次函数的应用核心关联：一次函数与一元一次方程：kx+b=0的解是直线与____________交点的横坐标；一次函数与一元一次不等式：kx+b>0（或<0）的解集是直线在x轴____________对应的x的取值范围；一次函数与二元一次方程组：两个一次函数图象的___________是对应方程组的解。常见应用场景：行程问题：路程（v为速度，s0为初始路程）；利润问题：总利润；方案设计问题：根据函数增减性选择最优方案（如最低成本、最高利润）；分段函数问题：根据不同区间的计费标准、折扣规则列分段函数，再求解。二、核心能力二、核心能力（一）一次函数图象与性质分析题型1：由k、b判断图象或由图象求k、b的范围解题思路紧扣k的增减性、b的截距意义，结合选项排除错误答案；若图象过特定象限，列关于k、b的不等式组求解。题型2：直线平移与对称解题思路根据平移规律“上加下减、左加右减”直接变形表达式；关于x轴对称时，x不变、y变号；关于y轴对称时，y不变、x变号。（二）待定系数法求一次函数解析式题型1：已知两点求解析式解题思路直接代入两点坐标，解二元一次方程组求k、b，注意正比例函数需验证b=0。题型2：结合图象特征求解析式（如过原点、与坐标轴交点）解题思路先确定特殊点坐标（如与x轴交点(a,0)、与y轴交点(0,b)），再代入表达式求解。（三）一次函数与方程、不等式综合题型1：由函数图象解方程、不等式解题思路：找到直线与x轴、y轴的交点，结合图象上下位置关系确定解集；方程的解对应交点横坐标。题型2：由方程、不等式求函数参数解题思路：将方程的解、不等式的解集转化为函数图象上的点或范围，列关于k、b的方程（组）或不等式求解。（四）一次函数实际应用题型1：行程、利润等单一情境应用解题思路找准等量关系，设自变量（如时间、销量），列一次函数表达式，再根据题意求解（如求时间、最大利润）。题型2：方案设计与分段函数解题思路分段函数需明确分界点，分区间列表达式；方案设计需根据函数增减性，在自变量取值范围内找最优解（k>0取最大值，k<0取最小值）。三、易错警示三、易错警示混淆k、b的意义错误：认为k>0时直线过第二象限（实际k>0仅决定上升，过象限还需看b）；提醒：直线过象限由k和b共同决定，可画图辅助判断（如k>0、b>0过一、二、三象限）。待定系数法漏条件错误：仅用一个点求一次函数解析式（需两个独立条件）；提醒：一次函数有k、b两个参数，必须代入两个点的坐标列方程组。平移规律应用错误错误：将y=2x+1向右平移2个单位化为y=2x+3（正确为y=2(x-2)+1=2x-3）；提醒：“左加右减”针对自变量x，不是常数项b。实际应用忽略自变量取值范围错误：利润问题中解得销量为负数未舍去；提醒：实际问题中自变量（如人数、销量、时间）需为非负数或正整数，需筛选符合题意的解。分段函数分界点处理错误错误：计费问题中忽略分界点是否含等号（如“不超过3km收费10元”，x≤3时y=10）；提醒：分界点的等号只能归属于一个区间，避免重复或遗漏。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·上海中考）下列函数中，为正比例函数的是（

）A.y=3x+1 B.y=3x2 C.y=3x D.2.（24-25·青海模拟）图中表示一次函数y=ax+a与正比例函数y=-ax(a是常数，且a≠0)图象的是（A. B.

C. D.

3.（25-26·全国模拟）已知一次函数y=-x+b的图象经过点P(4,3)，则b=（

）A.3 B.4 C.6 D.74.（24-25·山东中考）一次函数y=kx+2(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，当x=-1时y的值可以是（A.3 B.2 C.1 D.-5.（24-25·陕西模拟）在平面直角坐标系中，直线l1:y=-2x+2与直线l2:y=kx-1交点的横坐标为A.2 B.1 C.-126.（24-25·内蒙古模拟）已知实数x，y满足x+1+(y-3)2=0，则经过点A.y=x+4 B.y=x-4 C.y=2x+17.（24-25·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=kx交于点C(4, n)，则tan∠OCB的值为（A.13 B.57 C.558.（24-25·陕西中考）在平面直角坐标系中，过点(1,0)，(0,2)的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（

）A.(1,-3) B.(1,3) C.(9.（24-25·全国模拟）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t​∘C温度t-01030声音传播的速度v(m/s)324330336348

研究发现v,t满足公式v=at+b(a,b为常数，且a≠0)．当温度t为15∘C时，声音传播的速度A.333m/s B.339m/s C.341m/s D.342m/s10.（24-25·河北模拟）若点A-2,y1，B3,y2，C1,y3在一次函数y=-2x+b（A.y3<y2<y11.（24-25·福建模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y1=mx+1+1m≠0和y2=ax-A.m<0 B.m>12 C.m<1212.（24-25·宁夏模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)与y=mx+n(m≠0)的图象如图所示，则下结论错误的是（

）

A.由图象可知b<n；B.方程组y-ax=byC.方程mx+n=0的解为x=2；D.当x>-3时13.（24-25·陕西模拟）如图，已知直线l1:y=32x与直线l2:y=kx+1(k≠0)在第一象限交于点P(m,3)，直线l2与x轴交于点AA.2 B.32 C.1 D.14.（24-25·河北中考）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（

）

A.75,115 B.85,2315.（25-26·全国期中）关于函数y=kx+k-2，给出下列说法正确的是：（

）

①当k≠0时，该函数是一次函数；

②若点Am-1,y1,Bm+3,y2在该函数图像上，且A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）16.一次函数y=kx+2，当x=3时，y=-7，则k的值等于_______；当x=______时，y=517.（25-26·广东月考）点Ax1,y1和点Bx2,y2是一次函数y=kx(k≠0)图象上两点，当x118.（25-26·青海模拟）如表1给出了直线l1上部分点(x, y)的坐标值，表2给出了直线l2上部分点(x, y)的坐标值．那么直线l1和l2直线交点坐标为x-024y31--表2：x-02y---19.（24-25·江苏模拟）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点(2,0)、点(0,3)．则关于x的方程kx+b=3的解为___________．

20.（25-26·四川模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A(-2,3)，点B(1,1)，若将直线y=12x向上平移c个单位长度后与线段AB有交点，则c的取值范围是_____________．21.（24-25·四川模拟）已知y是关于x的函数，若该函数的图象经过点P(t,t)，则称点P为函数图象上的“不动点”，例如：直线y=2x-3，上存在“不动点”P(3,3)．若函数y=(m-1)x222.（25-26·江苏模拟）直线l1:y=43x+6与y轴交于A点，将直线l1绕着A点逆时针旋转45∘至23.（24-25·安徽期末）如图，直线l1:y=x+3与直线l2:y=ax+b相交于点A(m,4)，则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是

24.（24-25·江苏模拟）设直线y=kx+k-1和直线y=(k+1)x+k（k是正整数）与x轴围成的三角形面积为Sk，则S125.（25-26·河北开学）电信公司手机的收费标准有A,B两类，已知每月应缴费用S（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示．当通话时间为180分钟时，按这两类收费标准缴费的差为______________元．

（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）26.（24-25·广东模拟）已知函数y=m（1）当m为何值时，y是x的一次函数？（2）当m为何值时，y是x的正比例函数？【答案】解：(1)由题意得：m-1≠0，解得：m≠1，

所以当m≠由题意得：m-1≠0且m2-1=0，解得：m=-127.（24-25·陕西模拟）为加强劳动教育，落实五育并举，实验中学在校园内建立了一处劳动教育基地，用来种植菜苗．从种植开始，每隔2天记录一次数据，数据记录如下：已种菜苗天数x/天02468．．．菜苗高度y2.44.87.29.612．．．

（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若菜苗高度ycm与已种菜苗天数x（天）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是____（2）根据以上判断，求y关于x的函数表达式；（3）根据实践经验可知，这种菜苗在高度达到44.4cm时成熟，求菜苗成熟时28.（24-25·湖北期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+bk≠0的图象与反比例函数y=mxm（1）求一次函数、反比例函数的表达式：（2）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b<m29.（24-25·北京模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象过点(0,2)和（1）求k，b的值；（2）当x>1时，对于x的每一个值，函数y1=kx+b的值与函数y2=mx(m≠30.（25-26·甘肃模拟）如图，点A在x轴上，点B和点C都在y轴上．

（1）直线AC的表达式是_____________________（2）在直线AC上且位于y轴右侧的所有点的纵坐标的取值范围是_________（3）当x的取值范围是________时，直线AC在直线AB的上方（4）直线AC向右平移______个单位后经过点B31.（24-25·新疆模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，A-2,2，B6,6，连接AB．

（1）求AB所在直线的表达式；（2）从点C3,0处发射激光CP．①当激光CP⊥x轴时，CP与AB交于点Q，求线段CQ的长度；

②已知CP所在直线的表达式为y=mx+nm≠0，请直接写出激光32.（24-25·新疆期中）已知两直线y=x+2与y=-2x+5相交于点P，y=x+2与y轴交于点A，y=-2x+5与x轴交于点B（如图）．（1）求P点坐标．（2）求两直线与坐标轴所围成的四边形PAOB的面积．33.（25-26·吉林模拟）数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息：信息1如图1，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，y=y1+y2，弹簧A拉力y1(N)与长度x(cm)之间有关系式y1弹簧长度x/cm10152025拉力y5101520信息2在弹性限度内，弹簧A,B伸长后最大长度均为30cm．弹簧A每根6元，弹簧B每根3元．

如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：（1）在图2中，描出对弹簧B测得数据的各对x与y2（2）求y2关于x的函数表达式，并求出弹簧B（3）如何购买A,B两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力．34.（25-26·广东模拟）【阅读理解】

点P在平面直角坐标系中，记点P到x轴的距离为d1，到y轴的