2026中考第一轮复习数学第4课时：数的开方与二次根式（学生版）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第4课时数的开方与二次根式一、核心知识一、核心知识（一）数的开方1.平方根：定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作_________（a≥0）。性质：正数有____________平方根，它们互为相反数；0的平方根是_______；负数____________平方根。开平方：求一个数平方根的运算，与平方互为_________。2.算术平方根：定义：正数a的________的平方根叫做a的算术平方根，记作根号a（a≥0），0的算术平方根是0。性质：。3.立方根：定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，记作________（a为任意实数）。性质：正数的立方根是___________，负数的立方根是__________，0的立方根是；。开立方：。（二）二次根式1.定义：形如（a___________）的式子叫做二次根式，其中a是，二次根号下的数必须是。2.最简二次根式：条件1：被开方数中不含能开得尽方的____________；条件2：被开方数中不含_______；条件3：分母中不含___________。3.核心性质：性质1：；性质2：；性质3：；性质4：。4.运算法则：加减法：先将二次根式化为____________，再合并被开方数相同的二次根式；乘法：；除法：；混合运算：遵循的顺序，可运用整式运算公式（如平方差、完全平方公式）。二、核心能力二、核心能力题型1.平方根、算术平方根与立方根的计算解题思路紧扣定义和性质，注意平方根与算术平方根的区别（算术平方根为非负），立方根符号与原数一致，先化简再计算。题型2.二次根式有意义的条件解题思路根据被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式（组），求解字母取值范围；若含零指数幂，需同时满足底数不等于0。题型3.二次根式的化简解题思路利用性质a2题型4.二次根式的混合运算解题思路先将所有根式化为最简二次根式，乘法运算可巧用公式简化，加减运算只合并同类二次根式，避免非同类根式直接加减。题型5.二次根式的估值解题思路找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定根式的整数部分，再估算小数部分；复杂估值可先化简再判断范围。题型6.二次根式非负性的应用解题思路：多个非负数相加为0时，每个非负数均为0，列方程求解字母的值。三、易错警示三、易错警示混淆平方根与算术平方根错误：认为16的平方根是±4（忽略16=4，实际求4的平方根）；提醒：先化简根式，再区分“平方根”（±a）和“算术平方根”（a二次根式化简忽略符号错误：化简(x-3)²提醒：a2=a运算顺序或法则错误错误：2+3=5（非同类二次根式直接相加）、[(-3)×提醒：非同类二次根式不能直接加减，二次根式乘法需保证被开方数非负。分母有理化不彻底错误：化简12-1时，只给分子乘提醒：分母含a±b时，分子分母同乘a∓四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（23-24·云南模拟）下列等式正确的是（

）A.±9=3 B.6+3=9 C.2.（24-25·福建中考）若x-1在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（

）A.-2 B.-1 C.0 D.23.（25-26·辽宁月考）已知a=2,b=3，用含a,b的代数式表示6，这个代数式是（

A.a+b B.2a C.2b D.ab4.（24-25·陕西模拟）-64的立方根是（

）A.8 B.-8 C.4 D.-45.（21-22·辽宁中考）下列计算正确的是（

）A.2-8=2 B.(-6.（24-25·江苏模拟）若a=12-3，则下列各式正确的是（A.3<a<4 B.2<a<3 C.1<a<2 D.0<a<17.（24-25·江西模拟）若最简二次根式8-3k与8能合并，则k的值可以是（

）A.0 B.1 C.2 D.38.（24-25·湖南模拟）若a=2+3，b=1+6，A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.b>c>a9.（24-25·四川中考）若(3x+2y-19)2+|2x+y-11|=0A.8 B.±8 C.±210.（23-24·河北模拟）已知a-4a+13a=28.28，则A.0.2828 B.2.828 C.±0.2828 D.

11.（23-24·河北模拟）设M=1ab-ab⋅ab，其中a=-3，b=A.2 B.-2 C.1 D.12.（24-25·广东模拟）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（

）

A.2+2 B.22-213.（23-24·河北模拟）若a=2+1,b=2-1，则aA.2 B.5 C.7 D.314.（23-24·湖南模拟）已知|a+1|a+1=-1，则化简a+1A.-2a B.2a C.2a+2a15.（25-26·四川月考）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为a,b,c，三角形的面积为S，则S=14a2b2-a2+bA.112 B.11 C.21111.（23-24·河北模拟）设M=1ab-ab⋅ab，其中a=-A.2 B.-2 C.1 D.12.（24-25·广东模拟）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（

）

A.2+2 B.22-2 C.13.（23-24·河北模拟）若a=2+1,b=2-1A.2 B.5 C.7 D.314.（23-24·湖南模拟）已知|a+1|a+1=-1，则化简A.-2a B.2a C.2a+2a15.（25-26·四川月考）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”．即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积．若设三角形的三条边长分别为a,b,c，三角形的面积为S，则S=14a2b2-a2A.112 B.11 C.211（二）填空题（2023-2025年中考真题/模拟题）16.（25-26·甘肃模拟）48的平方根是________，64的立方根是_______．17.（25-26·甘肃期中）若m-1有意义，则m能取的最小整数值是__________．18.（24-25·黑龙江中考）若式子1x+1有意义，则x的取值范围是__________．19.（24-25·吉林中考）计算：3+12=________20.（24-25·四川模拟）若最简二次根式-2a-3与ba+1可以合并，则-

21.（25-26·全国模拟）已知x=3+2，则x2-4x+1x22.（25-26·浙江模拟）已知16-x2-4-23.（24-25·四川模拟）已知代数式A=1+2x÷x2+4x+4x，其中x为24.（24-25·广东中考）将1、2、3、6按如图所示方式排列，若规定(m,n)表示第m排从左往右第n个数，则(7,6)表示的数是25.（24-25·湖南模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=14a2b2-a2+b2-c

（三）解答题（2023-2025年中考真题/模拟题）

26.（23-24·安徽模拟）计算：3-2727.（24-25·北京中考）计算：|-3|+2728.（23-24·新疆模拟）计算：-1229.（23-24·江苏中考）先化简再求值：1+2x+1⋅x+1x30.（24-25·陕西模拟）先化简，再求值：a-1-3a+131.（24-25·江苏模拟）先化简，再求值：2a+1a-1÷a32.（24-25·福建模拟）定义：若二次根式a+2b可以表式成m+n2的形式（其中a，b，m，n都是整数），则称a+2b为完整根式，m+n是a+2b的完整平方根．例如：因为5+26（1）判断：5+3是否是完整根式（2）若完整根式a+2b的完整平方根是m+n，请用含m，n的代数式分别表示a（3）若a+2b是完整根式，证明：a2-33.（23-24·江苏中考）发现问题小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．

提出问题销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？

分析问题某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d(n，k均为正整数，n>k≥3，d>0)，如图小明设计了如下三种铲籽方案．方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲______行，则铲除全部籽的路径总长为______；方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．解决问题在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．

34.（24-25·山西模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务数形结合解决二次根式求和问题

求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？

下面我们讨论一种新的方法——数形结合法

【例题】求x235.（24-25·四川模拟）阅读理解：对于任意正实数a、b，∵a-b2≥0∴a+b≥2结论：在a+b≥2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值pa=b时，a+b有最小值2p（1）根据上述内容，填空：若m>0，只有当m