函数的单调性与导数高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第1章

导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数①对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当<

时，都有<

,则称函数在区间D上是增函数.②对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当<

时，都有>

,则称函数在区间D上是减函数.你还记得函数的单调性的定义吗用定义判断函数的单调性的步骤：（1）取值；（2）作差；（3）变形；（4）定号；（5）结论

是否还有其他判断方法呢？图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数图象.thabO(1)tvabO(2)图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.说一说：结合两个函数图象，你能分析运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别吗？h(t)＝－4.9t

2＋6.5t

＋10

v(t)＝－9.8t

＋6.5

v(t)＝h'(t)=0(一)函数单调性与导数的关系①运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即

h(t)是增函数.

相应地，v(t)＝h'(t)>0.②从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函数.

相应地，v(t)＝h'(t)<0.thabO(1)tvabO(2)

h(t)＝－4.9t

2＋6.5t

＋10

v(t)＝－9.8t

＋6.5v(t)＝h'(t)=0试一试：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.单调性导数的正负函数及图象xyoyoxyox在

上

递增在

上

递减函数单调性与导数的关系再观察下面一些函数的单调性与其导函数正负的关系.函数f

(x)=sinx和它的导函数

f′(x)=cosx在

的图象如下．

如图，过这段导函数曲线和x轴的两个交点分别作平行于y轴的直线，则这两条直线把f

(x)=sinx及其导函数的图象分成了左、中、右三部分．分别观察每部分中的两段曲线，可以发现函数和它的导函数的符号之间有如下关联：左边，函数单调递增，导数为正中间，函数单调递减，导数为负右边，函数单调递增，导数还是为正继续观察以下两个函数及它们的导函数.

函数的单调性与其导函数的正负有什么关系？aby=f(x)xoyy=f(x)xoyab

一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：

在某个区间(a,b)内，

①如果f'(x)>0，那么函数

y=f(x)在这个区间内单调递增；②如果f'(x)<0，那么函数

y=f(x)在这个区间内单调递减；③特别地，如果在某个区间内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.正增,负减.【例1】

利用导数研究二次函数的f

(x)=ax2＋bx＋c单调性．

【例2】判断函数f(x)＝3x－x3

的单调性，并求出单调区间.解：f'(x)＝3－3x2＝－3(x2－1)＝－3(x－1)(x＋1)，当f'(x)＞0，即－1＜x＜1时，函数f(x)＝3x－x3单调递增；当f'(x)＜0，即x＞1或x＜－1时，函数f(x)＝3x－x3单调递减；所以函数f(x)＝3x－x3的单调增区间为[－1,1]，单调减区间为(－∞,－1)，

(1,＋∞)

注意：1.多个单调区间之间不能用∪，只能用“和”或者逗号分开.2.单调区间能不能取到端点值，观察定义域。如果包含，写在单调区间一边就可以.如果用定义法，图象法去确定单调性、单调区间是否方便呢？（1）确定函数

y＝f(x)的定义域.（2）求导数

y′＝f′(x).（3）解不等式

f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数.（4）解不等式

f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数.方法归纳求函数

y＝f(x)的单调区间的步骤：例3、已知函数

，试讨论出此函数的单调区间并作出图像.试一试：观察图象,试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系.

(二)导数与函数图象的关系函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系:导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)注意:分析图象的变化要比较的是导数的绝对值的大小关系,而不是导数本身.一般地,设函数y=f(x)在区间(a,b)上有意义,则例4如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是()解:由y=f'(x),y=g'(x)的图象知,y=f(x),y=g(x)的图象都是上升的,但是y=f(x)增长得越来越慢,y=g(x)增长得越来越快,排除答案A,C;又因为f'(x0)=g'(x0),所以两个函数在x0处的切线斜率相同,故答案选D.D1.已知f(x)在R上是可导函数,f(x)的图象如图所示,则不等式f'(x)>0的解集为（

）A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-2,-1)∪(1,2)B2.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象可能是（

）解：由y=f'(x)的图象知,y=f(x)为增函数,且在区间(-1,0)上增长速度越来越快,在区间(0,1)上增长速度越来越慢,故选B.B3.若在区间(a,b)内有f'(x)>0，且f(a)≥0，则在(a,b)内有()A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)=0D.不能确定4.函数f(x