函数的极值与导数课件高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第1章

导数及其应用1.3.2函数的极值与导数

若在区间(a，b)内，

，则函数

f

(x)在此区间内单调递增，(a，b)为

f

(x)的单调递增区间；

若在区间(a，b)内，

，则函数

f

(x)在此区间内单调递减，(a，b)为

f

(x)的单调递减区间．1.函数的导数与函数的单调性的关系：

f′(x)>

0

f′(x)<

0正增,负减.2.利用导数确定函数的单调性步骤：（1）确定函数

f(x)的

；（2）求出函数的导数

f′(x)；（3）在定义域内

解不等式

f′(x)>0，得函数单增区间；

解不等式

f′(x)<0，得函数单减区间．注意：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．定义域

导数是否还可以研究函数的其他性质？如图，设函数y=

f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于或等于

f(x0)（即

f(x)≤

f(x0)），就说

f(x0)是函数

y=f(x)的一个极大值，此时x0称为

f(x)的一个极大值点．极大值点函数极值点和极值的概念如图，设函数y=

f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于或等于

f(x0)（即

f(x)≥f(x0)），就说

f(x0)是函数

y=f(x)的一个极小值，此时x0称为

f(x)的一个极小值点．极小值点极大值点极小值点

极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点．是局部开区间上的最值,是函数在某些区间内的局部性质试一试：观察下列函数的图象，求出该函数的极值点，并思考函数的极大值一定大于极小值吗？极大值点：x1，x3，x5极小值点：x2，x4．

y=f(x)由图可知，函数的某些极大值有时比其他极大值小，如

f(x1)<f(x3)，甚至可能比一些极小值还小，如

f(x1)<f(x4)

．对比最值的概念，你能说说极值与最值有何区别吗？函数的最值与函数的极值的区别：（1）最值是函数在定义域内函数值取得的最大值或最小值；一个函数之多只有一个最大值和一个最小值，且最大值大于最小值．（2）极值是函数的局部性概念，是函数在定义域内某个开区间的最值；一个函数可以有多个极值，且极大值与极小值大小不定．说一说：结合下图，你认为函数的单调性与函数的极值有什么联系？

若

y=f(x)在(a，x0]上单调递增，在[x0，b)上单调递减，则x0是极大值点，

f(x0)是极大值；

若

y=f(x)在(a，x0]上单调递减，在[x0，b)上单调递增，则x0是极小值点，

f(x0)是极小值．议一议：观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?

xx0左侧

x0x0右侧

f

(x)

f(x)

xx0左侧

x0x0右侧

f

(x)

f(x)增f

(x)

>0f

(x)

=0f

(x)

<0极大值减f

(x)

<0f

(x)

=0增减极小值f

(x)

>0现在你能说说如何判断f

(x0)是极大值或是极小值吗？左正右负为极大，右正左负为极小函数极值与导数的关系oa

x0bxyoax0bxy1.已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点的个数为（

）A.1 B.2 C.3 D.4解：如图,在(a,c),(d,b)上,f'(x)≥0,所以函数f(x)在(a,c),(d,b)上单调递增,在(c,d)上,f'(x)<0,所以f(x)在(c,d)上单调递减,所以当x=c时,函数f(x)取得极大值,当x=d时,函数f(x)取得极小值.则函数y=f(x)的极小值点的个数为1.A探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?x

yOf(x)

x3f

(x)=3x2当f

(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.f

(x0)=0x0

是可导函数f(x)的极值点x0左右侧导数异号x0

是函数f(x)的极值点

f

(x0)=0注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件想一想：函数在极值点的导数为0，反过来，导数值为0的点一定是函数的极值点吗？若f′(c)=0，则x

=

c叫作函数f(x)的驻点．

若f′(c)=0，则x

=

c叫作函数f(x)的驻点．

驻点，就是驻扎下来稍事休息支点，至于休息之后继续前进还是后退，是另一回事．

也就是说，对可导函数而言，极值点一定是为驻点，而驻点不一定是极值点．

在什么条件下，驻点才是函数的极值点呢？

如果一个函数在驻点的两侧单调性互异，即函数的导数在驻点的两侧变号，则该驻点就是此函数的一个极值点．

若f′(c)=0，则x

=

c叫作函数f(x)的驻点．

如果函数

y=f(x)在某个区间内可导，就可按下列步骤求它的极值：（1）求导数

f′(x)．（2）求f(x)的驻点，即求方程f′(x)=0的解．

（3）对于方程f′(x)=0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左右两侧的符号

（即讨论f(x)的单调性），确定极值点：

①若f(x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点；②若f(x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点．（4）求出各极值点的函数值，就得到函数y=f(x)的全部极值．

例1试求下列函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点．

（1）f

(x)=x4；

（2）f

(x)=x5例1试求下列函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点．

（1）f

(x)=x4；

（2）f

(x)=x5单调函数没有极值例2求函数

g(x)=

x2

(3－x)的极大值和极小值．x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)

g′(x)

g(x)－0＋0－递减↘0递增↗4递减↘

当有多个区间时，列表能更直观方便的解决问题2.求函数f(x)=x3-12x+12的极值.解：

=3x2-12=3(x-2)(x+2)令=0得x=2,或x=-2下面分两种情况讨论：(1)当>0即x>2,或x<-2时;(2)当<0即-2<x<2时;当x变化时，,f(x)的变化情况如下表；x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+0-0+f(x)单调递增↗28单调递减↘-4单调递增↗当x变化时，,f(x)的变化情况如下表；因此，当x=-2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(-2)=28当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)=-4图象如右，结合图形来看，极值分布的位置将更直观.当x=-2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(-2)=28当x=2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)=-4例3

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,则a等于（

）A.4或-3 B.4或-11 C.4 D.-3C

这里是已知极值，求参数，请先与同学交流解题思路，再求解.3.函数f(x)=ax3＋bx在x=1处有极值－2，求a，b的值．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点：（1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组求解；（2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须验证充分性．知识点思想方法函数极值的定义函数的极值与导数的关系求函数极值的步骤数形结合转化与化归注意：导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.1.函数f(x)的定义域为R,它的导函数y=f'(x)的部分图象如图所示,则下面结论错误的是（

）A.在(1,2)上函数f(x)单调递增B.在(3,4)上函数f(x)单调递减C.在(1,3)上函数f(x)有极大值D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点D2.(多选)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的单调递增区间是（

）A.(-∞,2) B.(3,+∞)