三次函数的性质：单调区间和极值课件高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第1章

导数及其应用1.3.3三次函数的性质：单调区间和极值

若在区间(a，b)内，

，则函数

f

(x)在此区间内单调递增，(a，b)为

f

(x)的单调递增区间；

若在区间(a，b)内，

，则函数

f

(x)在此区间内单调递减，(a，b)为

f

(x)的单调递减区间．1.函数的导数与函数的单调性的关系：

f′(x)>

0

f′(x)<

0正增,负减.（1）确定函数

f(x)的定义域．（2）求出函数的导数

f′(x)．（3）在定义域内

解不等式

f′(x)>0，得函数单增区间；

解不等式

f′(x)<0，得函数单减区间．2.利用导数确定函数的单调性步骤：oa

x0bxy

xx0左侧

x0x0右侧

f

(x)

f(x)

oax0bxy

xx0左侧

x0x0右侧

f

(x)

f(x)增f

(x)

>0f

(x)

=0f

(x)

<0极大值减f

(x)

<0f

(x)

=0增减极小值f

(x)

>0在x0两侧“左正右负”为极大，“右正左负”为极小3.函数极值与导数的关系4.求可导函数极值的一般步骤：

对于三次函数，如何确定它的单调性和极值呢？（1）求导数

f′(x)．（2）求f(x)的驻点，即求方程f′(x)=0的解．

（3）对于方程f′(x)=0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左右两侧的符号

（即讨论f(x)的单调性），确定极值点：

①若f(x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点；②若f(x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点．（4）求出各极值点的函数值，就得到函数y=f(x)的全部极值．

转化为二次函数,研究二次函数在相应区间上的正、负,可以得到三次函数的单调性,进而确定函数的极值.问题1：如何确定三次函数的单调性和极值呢?求导想一想1：对于一般的三次函数，如F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d

(a≠0)，如何求它的极值呢？F′(x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数．可能有以下三种情形：情形1

函数F′(x)没有零点，F′(x)在(－∞，＋∞)上不变号，如图．（1）若a

>

0，则F′(x)恒为正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增．（2）若a

<

0，则F′(x)恒为负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．情形2

函数F′(x)有一个零点x=w，如图．（1）若a

>

0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)恒为正，

F(x)在(－∞，＋∞)上递增．（2）若a

<

0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)恒为负，

F(x)在(－∞，＋∞)上递减．情形3

函数F′(x)有两个零点x=u和x=v，如图．（1）若a

>

0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)为正，在(u，v)为负，对应地，

F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增．由此可见F(x)在x=u处取得极大值，在x=v处取得极小值．情形3

函数F′(x)有两个零点x=u和x=v，如图．（2）若a

<

0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)为负，在(u，v)为正，对应地，

F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减．由此可见F(x)在x=u处取得极小值，在x=v处取得极大值．单调函数没有极值从图象上能得到直观的验证.例1

求下列函数的单调区间和极值．

（1）f

(x)=x3－x2＋2x＋1；

（2）h(x)=－2x3＋9x2－12x＋5．

与同学交流完成，并画出图象验证结果是否正确.（2）h(x)=－2x3＋9x2－12x＋5．x(－∞，1)1(1，2)2(2，＋∞)

h′(x)

h

(x)－0＋0－递减↘极小值0递增↗极大值1递减↘以上结论，从图象上能得到直观的验证.问题2：利用导数可以求出函数在某区间上的极值，如果要求函数在某区间上哪个值最大，哪个值最小．应该如何操作呢？说一说：如图是y=f(x)在闭区间[a,b]上的函数图象.显然f(x1),f(x3),f(x5)为极大值,f(x2),f(x4),f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗?最大值y=M=f(x3)=f(b)分别在x=x3及x=b处取得,最小值y=m=f(x4)在x=x4处取得.显然，函数的最值是函数的整体性质,且要求函数是连续不断的,而最值不同于极值,如果有最大(小)值,则唯一存在.想一想：结合下图，你认为开区间上的连续函数有最值吗?容易发现,开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值,若有最值,则一定是在极值点处取到.在实际计算中，只要把函数y

=

f

(x)的所有极值连同端点的函数值求出并进行比较，即可以求出函数在该闭区间上的最大值与最小值．函数y

=

f

(x)在[a，b]上的最值（最大值和最小值的统称）必在极值点或区间端点处取得．xf′(x)f(x)例2

求函数

在区间[－2，1]的最大值和最小值．递增↗递减↘递增↗＋0－0＋方法一：你准备如何求解？与同学的思路是否相同.

把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较：方法二：求函数y

=

f

(x)在闭区间[a，b]上最值的一般步骤：方法归纳(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)求函数y=f(x)在端点处的函数值f(a),f(b).（不在定义域内的要舍去）;(3)将函数y=f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大者是最大值,最小者是最小值.1.如图所示,函数f(x)的导函数的图象是一条直线,则（

）A.函数f(x)没有最大值,也没有最小值B.函数f(x)有最大值,没有最小值C.函数f(x)没有最大值,有最小值D.函数f(x)有最大值,也有最小值C解：由导函数图象可知,函数f(x)只有一个极小值点1,即f(x)在x=1处取得最小值,没有最大值.

A3.求函数

只有一个零点，求实数a的取值范围．1.知识清单：(1)三次函数的性质：单调区间、最值、极值.(2