第2课时和差化积与积化和差公式课件2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

2.3第2课时

和差化积与积化和差公式在求解三角函数的有关问题时，有时需要把三角函数的积化为和或差的形式，有时又需要把和或差化为积的形式，例如以下形式，应如何转化?

和差化积:(1)cosα+cosβ=？×

？；(2)sinα+sinβ=？×

？；积化和差:(1)cosαcosβ=？+？

；(2)sinαsinβ=？+？；

→→

→→→→→方法一：（向量法）

→→→

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→

要点归纳“积化和差”公式会是怎样的呢？你能总结四个公式的特点吗？如何快速记忆呢？注意：必须是同名的三角函数和与差的形式才能化为乘积形式.例1求证：(1)cosαcosβ=［cos(α+β)+cos(α－β)］；

(2)sinαsinβ

=－［cos(α+β)－cos(α－β)］．证明：(1)将公式cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ，

cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ左右两边分别相加，得cos(α+β)+cos(α－β)=2cosαcosβ.将上式两边同除以2，得cosαcosβ

=［cos(α+β)+cos(α－β)］.

先将两个等式右边中括号内的两部分分别展开，再与等左边相比，你发现了什么？

(2)将公式cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ，

cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ左右两边分别相减，得cos(α+β)－cos(α－β)=－2sinαsinβ

．将这两组公式分别相加减，你还能得出哪些积化和差公式？将上式两边同除以－2，得sinαsinβ

=－［cos(α+β)－cos(α－β)］.两角和与差的正弦公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，S(α+β)；

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，S(α-β).

(2)sinαsinβ

=－［cos(α+β)－cos(α－β)］．要点归纳

你能总结四个公式的特点吗？如何快速记忆呢？提示：左端是同名函数乘积形式时，右端是余弦函数的和、差形式.左端是异名函数乘积形式时，右端是正弦函数的和、差形式.1.把下列各式化成积的形式：(1)sin44°+sin76°；

(2)cos50°+cos42°；

(3)cos3x-cos5x；

(4)sin50°-sin70°.

B(2)把下列各式化成和或差的形式：①sin64°cos134°；

②cos2·cos1.2.要点归纳应用和差化积与积化和差公式应注意两点：(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可实行，若是异名，必须用诱导公式化为同名；(2)在应用积化和差公式时，无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差．

例2在△ABC中，求证:cos2A+cos2B+cos2C=－4cosAcosBcosC－1.你还能用其他方法来证明这个结论吗？证明：原式左边=2cos(A+B)cos(A－B)+2cos2C－1

=2cos(A+B)cos(A－B)+2cos2[π－(A+B)]－1

=2cos(A+B)cos(A－B)+2cos2(A+B)－1

=2cos(A+B)[cos(A－B)+cos(A+B)]－1

=4cos(A+B)cosAcosB－1

=4cos(π－C)cosAcosB－1

=－4cosAcosBcosC－1