专题一第1讲三角函数的运算

第1讲三角函数的运算微点一齐次化切齐次分式：分子分母的正余弦次数相同.(1)asin(2)asin2α+bcos2α+csinαcosα⇒asin这种类型题，分子分母同除以cosα(一次显型)或者cos2α(二次隐型)，构造成tanα的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.例1(1)(2021·新高考全国Ⅰ卷)若tanθ=-2，则sinθA.-65 B.-25 C.25答案C解析方法一因为tanθ=-2，所以角θ的终边在第二或第四象限，所以sinθ=所以sinθ(1+sin2=sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθcosθ=45-25=方法二(弦化切法)因为tanθ=-2，所以sinθ(1+sin2=sinθ(sinθ+cosθ)=si=tan2θ+tanθ方法三(正弦化余弦法)因为tanθ=-2，所以sinθ=-2cosθ.则sinθ(1+sin2=sinθ(sinθ+cosθ)=si=4cos2θ−2cos(2)已知tanα=3，则cosA.-34 B.34 C.-310答案D解析因为tanα=3，则co=cos3=sinαcosαcos[规律方法]对于形如Asin2α+Bcos2α+Csinαcosα，Asin2α+Bcos2α+Csin2α的式子可以借助“sin2α+cos2α=1”，将其转化为正弦、余弦的齐次式，进而用含tanα的式子来表示.跟踪演练1(1)已知曲线y=4x在点(1，4)处的切线的倾斜角为α2，则A.22 B.22 C.12答案C解析因为y=4x，则y'=则曲线y=4x在点(1，4)处的切线的斜率k=y'|x=1=2，又倾斜角为α所以tanα2=2则1+sin=1+sin=1+sin=2cos2α2+2sin(2)已知tanα，tanβ是方程3x2+5x-7=0的两根，则sin(α+β)答案5解析由已知得tanα+tanβ=-5tanαtanβ=-7sin(α+=tanα+tanβ1+tanα微点二辅助角公式与降幂思想1.降幂思想三角函数中的降幂思想主要来源于二倍角公式的一些重要变形，如：降幂公式si2.辅助角公式asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ)，其中sinφ=ba23.辅助角公式的应用(1)求f(x)=asinx+bcosx的最值；(2)方程asinx+bcosx=c有解求参.例2(1)已知函数f(x)=45sinx+15cosx，当x=β时，f(x)取得最大值，则cosA.1717 B.41717 C.4答案A解析f(x)=45sinx+15cos=17=175sin(x+φ其中cosφ=417，sinφ当x=β时，f(x)取得最大值，此时β+φ=π2+2kπ(k∈Z得到β=π2-φ+2kπ(k∈Zcosβ=cosπ2−φ+2kπ(2)若x∈π4，2π3，则函数f(x)=3sinxcosx+A.0，332C.[0，3] D.[0，3+3答案A解析由题意得f(x)=3sinxcosx+3sin2x=32sin2x+32(1-cos2=3×32sin2=3×cosπ6=3sin2x−当x∈π4，2π3时，2x当2x-π6=即x=π3时，f(x)取最大值，最大值为3当2x-π6=即x=2π3时，f(x)取最小值，最小值为0即函数f(x)的值域为0，3[规律方法]辅助角公式主要作用是把含sinx，cosx的一次三角函数式化为Asin(ωx±φ)或Acos(ωx±φ)的形式，从而便于进一步探索三角函数的性质.很多情况下，在使用辅助角公式之前，需要用二倍角公式对三角函数式进行降幂.对于涉及辅助角公式与降幂思想的综合题目，总体思路可以简记为“一拆二降三辅助四性质”.跟踪演练2(1)函数f(x)=3sin2x+2sin2x，若f(x1)f(x2)=-3，则|2x1-x2|的最小值是()A.2π3 B.π4 C.π3答案D解析函数f(x)=3sin2x+2sin2x=3sin2x-cos2x+1=2sin2x−因为2x-π6∈R则sin2x−π6∈[所以f(x)∈−1，3因为f(x1)f(x2)=-3，所以f(x1)，f(x2)一个为f(x)的最大值，一个为最小值，则2x1−π6=2k12x1−π6=2k1解得x1=k1π−π6,x1=k1π+π3,所以|2x1-x2|=(2k1或|2x1-x2|=(2k1对于①，当2k1-k2=1时，|2x1-x2|的最小值是π对于②，当2k1-k2=-1时，|2x1-x2|的最小值是π综上，|2x1-x2|的最小值是π6(2)已知关于x的方程asinx+bcosx=2有实数解，则(a-1)2+(b-1)2的最小值是.

答案6-42解析asinx+bcosx=a2+其中cosφ=aa2+b2因为关于x的方程asinx+bcosx=2有实数解，所以a2+b2≥2，即a2+b则点(a，b)的轨迹为以原点为圆心，半径大于等于2的同心圆，设点(a，b)的轨迹方程为x2+y2=r2(r≥2)，(a-1)2+(b-1)2表示点(a，b)到点(1，1)距离的平方，因为12+12=2<4，所以点(1，1)在圆x2+y2=4内，点(1，1)到同心圆x2+y2=r2(r≥2)上的点的距离的最小值为r-1+1=r-2≥2-2所以(a-1)2+(b-1)2的最小值是(2-2)2=6-42.微点三整体代换思想整体代换是指将问题或者问题的一部分看成一个整体，用一个新的变量代之，进而简化研究过程.整体代换思想是研究数学问题的一种重要思想，这一思想在解决三角函数相关问题时有着广泛的应用.1.整体代换求值(1)用已知角表示未知角①2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)；②α=(α+β)-β=(α-β)+β，β=α+β2③α−β2=α(2)互余与互补关系①互余关系：π3+α+π6−α=π2②互补关系：π4+α+3π4−α=π；2.三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，一般分为三类：(1)sinx，cosx与cos2x之间的二次函数关系；(2)sinx+cosx与sinxcosx之间的关系；(3)asinx+bcosx与sin2x之间的关系.3.整体代换求性质在研究形如函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)的性质时，可以根据函数y=sinx的相关性质，把y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中的ωx+φ看成一个整体，结合函数y=sinx的图象，得到函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)的性质，这一过程把“数形结合”与“整体代换”紧密地结合起来了.例3(1)已知cosα+π3=3A.-725 B.2425 C.-1825答案D解析方法一由cosα+π则sin2α+=-cos2α+2π3=1-2cos2α+π3=1-2×3方法二令t=α+π则α=t-π3，cost所以sin2α+π6=sin2t−π2=-cos2t=1-2cos(2)已知f(x)=2sinx+2cosx，x∈0，π2，则函数y答案42解析由题意知f(x)=2sinx+2令t=sinx+cosx=2sinx由0<x<π2，得π4<x+所以22<sinx+π则1<t≤2.由t=sinx+cosx，得t2=(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx，所以sinxcosx=t则原函数可化为g(t)=2tt2−12=4tt2显然函数y=t-1t在(1，故当t=2时，y=t-1t取得最大值22，此时g(t)取得最小值42，即函数y=f(x[规律方法]换元令t=sinx+cosx，将原函数变形为关于t的二次函数，再根据t的取值范围及二次函数的性质计算即可，但是一定不能忽视该题中x的限制范围，即在换元之后需要求出新元t的范围，否则容易出错.跟踪演练3(1)函数y=2sinxcosx+2sinx-2cosx+2的最大值为()A.52 B.3 C.72答案C解析由y=2sinxcosx+2sinx-2cosx+2，可设t=2sinx-2cosx=2sinx−π4，t∈[则2sinxcosx=1-(sinx-cosx)2=1-t22则原函数可化为y=1-t22+t+2=-t22+t+3=-12(t-1)2+72，所以当t=1时，函数取最大值72(2)函数y=cos2x+2sinx的最大值为.

答案3解析y=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2sinx−因为sinx∈[-1，1]，所以当sinx=12时，y=cos2x+2sinx取得最大值3专题强化练[分值：73分]一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.已知sinπ3−x=63，且0<x<πA.433 B.233 答案B解析因为sinπ3−所以cosπ6+x=sinπ3−x=所以sinπ6+x=则sinπ6+=sinπ6+x+sinπ6+x2.(2025·全国Ⅱ卷)已知0<α<π，cosα2=55，A.210 B.25 C.32答案D解析由题意得cosα=2cos2α2=2×552因为0<α<π，则sinα=1−cos2α=所以sinα−π4=sinαcosπ4-cos=45×22-−35×3.当x=θ时，函数f(x)=5sinx-12cosx取得最小值，则cosθ等于()A.513 B.-513 C.1213答案C解析f(x)=5sinx-12cosx=13sinx×513+cosx其中cosφ=513，sinφ依题意得f(θ)=13sin(θ+φ)=-13，∴sin(θ+φ)=-1，∴θ+φ=2kπ-π2，k∈∴θ=2kπ-π2-φ，k∈Z∴cosθ=cos2kπ−=-sinφ=12134.已知函数f(x)=sin2x+3sinxcosx-12，则当x∈π6，2πA.12，3C.0，1 D.−答案D解析f(x)=sin2x+3sinxcosx-1=1−cos2x2+32sin2x-当x∈π6，2π3时，2x-π6∈π6，5.已知角θ的终边在第三象限，tan2θ=-22，则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-2cos2θA.-26 B.26 C.-23答案D解析由题意可得tan2θ=2tanθ1−ta即2tan2θ-tanθ-2=0，解得tanθ=2或tanθ=-22又角θ的终边在第三象限，故tanθ=2故sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-2cos2θ=sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=si=tan2θ+tanθ6.已知函数f(x)=1+cos4x+2sin2x，x∈[0，a]的值域为2，52，A.π6，πC.π12，π答案B解析由题设可得a>0，f(x)=2-2sin22x+2sin2x=-2sin2x−令t=sin2x，则g(t)=-2t−1易知g(0)=2，g12=52，g(1当0<a<π12时，t∈[0，m]，其中m<此时g(t)的值域不是2，5当π12≤a≤π2时，t其中12≤m≤1，此时g(t)的值域是2，当a>π2时，t∈[m，1]，其中m<0此时g(t)的值域不是2，综上，π12≤a≤7.已知复数z1=2+isin2θ在复平面内对应的向量为OZ1(O为坐标原点)，z2=sinθ-cosθ+i在复平面内对应的向量为OZA.22-1 B.2+1C.32-2 D.2答案D解析依题意，OZ1=(2，sin2θ)，OZ2=(sinθ-cosθ，1)，则OZ1·OZ2=2(令sinθ-cosθ=t，则t=2sinθ−π4∈[-2，2]，sin2θ=2sinθcos因此OZ1·OZ2=2t+1-t2=-(则当t=1时，OZ1故OZ18.(2025·东莞模拟)若存在实数a，使得对于任意实数x和任意θ∈0，π2恒有(x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥18A.−∞，B.(-∞，26]∪[7，+∞)C.(-∞，2]∪7D.(-∞，2]∪5答案A解析(x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥[=[当且仅当x=-3+2sinθ因为(x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥18对任意x∈R则(3+2sinθcos即3+2sinθcosθ−a(sinθ令t=sinθ+cosθ=2sinθ因为θ∈0，π2，则θ+则sinθ+π4∈22又t2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，则2sinθcosθ=t2-1，则(t2-at+2)2≥14对任意t∈1，则t2-at+2≥12或t2-at+2≤-即a≤t+32t或a≥t+52t对任意因为t+32t≥2t·32t即t=62时，等号成立，则a≤t+又对勾函数y=t+52t在则ymax=1+52=则a≥t+5则a≤6或a≥7综上所述，a的取值范围是(-∞，6]∪7二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.(2025·安顺模拟)对于任意角α，β，下列结论正确的是()A.(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=2-2cos(α-β)B.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2βC.sinα-sinβ=2cosα+βD.cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β答案BCD解析对于A，(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=cos2α+2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+sin2β=2+2cos(α-β)，故A错误；对于B，sin(α+β)sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ-cosαsinβ)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)sin2β=sin2α-sin2β，故B正确；对于C，sinα-sinβ=sinα+β=sinα+β2cosα−β2=2cosα+β2sinα对于D，12[cos(α+β)+cos(α-=12(cosαcosβ-sinαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ)=cosαcosβ，故D正确10.下列说法正确的是()A.函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值为2+1B.若tanθ=12，则3sin2θ+2sinθcosθ-cos2θC.若sinx+cosx=150<x<3πD.已知函数g(x)=3sinx+acosx满足g(x)≤gπ3恒成立，则a=答案ACD解析选项A，令t=sinx+cosx=2sinx+π4∈−2，2，则sin所以y=12t2+t-12，t∈−2，2，当t=2时，ymax选项B，因为tanθ=1所以3sin2θ+2sinθcosθ-cos2θ=3sin2θ+2sinθcosθ选项C，因为sinx+cosx=15，所以(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx即2sinxcosx=-2425<0，由0<x<3π2，所以π2由(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=4925，所以sinx-cosx=75，即sinx=45所以3sinx+4cosx=3×45-4×35=0，故选项D，函数g(x)=3sinx+acosx满足g(x)≤gπ3即9+a2=3sinπ3+acosπ3，化简得a=11.(2025·全国Ⅰ卷)已知△ABC的面积为14，cos2A+cos2B+2sinC=2，cosAcosBsinC=A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=2C.sinA+sinB=6D.AC2+BC2=3答案ABC解析cos2A+cos2B+2sinC=2，由二倍角公式，得1-2sin2A+1-2sin2B+2sinC=2，整理可得sinC=sin2A+sin2B，A选项正确；方法一由诱导公式得，sin(A+B)=sin(π-C)=sinC，展开可得sinAcosB+sinBcosA=sin2A+sin2B，即sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)=0，若A+B=π2，则sinA=cosB，sinB=cos若A+B<π2，即0<A<π2-B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sinA<sinπ2−B=cosB，同理sin又sinA>0，sinB>0，于是sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)<0，与条件不符，故A+B<π2若A+B>π2，同理可得sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)>0，与条件不符，故A+B>π综上可知，A+B=π2，即C=则cosAcosBsinC=14=cosAcosB，由A+B=π2，得cosB=sinA，即sinAcos则sin2A=12，同理sin2B=12，因为A，B∈0，π2，则2A，2不妨设A<B，则2A=π6，2B=5π6，即A=由两角和与差的正弦公式可知sinA+sinB=sinπ12+sin5π12=6−24+由两角和的正切公式可得，tan5π12=2+设BC=t(t>0)，AC=(2+3)t，则AB=(2+6)t，由S△ABC=12(2+3)t2=14，则t2=4−234=于是AB=(2+6)t=2，B选项正确；由勾股定理可知，AC2+BC2=AB2=2，D选项错误方法二sinC=sin2A+sin2B，由C∈(0，π)，则sinC∈(0，1]，于是1×sinC=sin2A+sin2B≥sin2C，设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理得a2+b2≥c2，由余弦定理可知cosC≥0，则C∈0，若C∈0，π2，则A+B>π2，注意到cosAcosBsinC=14，则cos于是cosA>0，cosB>0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是A，B∈0，结合A+B>π2⇔A>π2-B，而A，π2-B都是锐角，则sinA>sinπ2于是sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，这和0<sinC≤1矛盾，故C∈0，π2不成立，则C=π2方法三cos2A+cos2B+2sinC=2⇒2sinC=1-cos2A+1-cos2B⇒2sinC=2sin2A+2sin2B，所以sinC=sin2A+sin2B，故A正确；设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，可得a2+b2=c·2R≥c2，若a2+b2>c2，则cosC则A+B>π2⇒A>π2-B，则sinA>sinπ2−B，即sinA>cosB，代入sinC=sin有sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，与C∈0，π2矛盾，故a2+b2=c2，则C即cosC=cos(A+B)