《初中数学中考复习三角形、四边形图形变换专题》课件

专题三

三角形、四边形图形变换类型清单类型一

旋转问题类型二

动点问题类型三

折叠问题几何图形的旋转是近几年中考的热点,由于旋转变换得到的图形与原图形之间存在的内在规律和联系特别丰富,相应地提升了思维深度与思维含量,考查了学生依题作图、空间想象、逻辑推理等能力.题型讲解类型一旋转问题例题112熟练掌握旋转的性质以及特殊三角形、四边形的性质是解决旋转问题的关键,利用旋转前后图形的全等或相似得到有关线段、角的位置和数量关系,然后经过推理论证或者利用方程解决问题.方法点拨例题112解题技巧通过图形的旋转,抓住不变量,利用全等三角形、特殊四边形或者通过添加常用辅助线,构造全等三角形或者特殊四边形等方法解决问题.由已知提供的信息能够正确添加辅助线,建构几何图形是突破此类题难点的关键.例题112(邢台一模)如图①,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,把AB绕点B顺时针旋转α(0＜α＜180°)得到A'B,连接AA',过B点作BE⊥AA'于点E,交矩形ABCD边于点F.例题1例题112(1)求DA'的最小值;解:(1)如图1,连接BD,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°.∵AB=6,AD=8,∴BD=10.当点A'落在BD上时,DA'最小,最小值为4.(1)当点B,A',D三点共线时,DA'最小,利用勾股定理可求.思路指导例题112(2)若A点所经过的路径长为2π,求点A'到直线AD的距离;

(2)由弧长求出圆心角,得到△ABA'是等边三角形,作出点A'到直线AD的距离,用三角函数相关知识即可解决问题.思路指导例题112(3)如图②,若CF=4,求tan∠ECB的值;

(3)作出点E到BC的距离,构建直角三角形,利用三角形相似和平行线分线段成比例的知识求解,求出线段长,再求出tan∠ECB的值.思路指导例题112

例题112(4)当∠A'CB的度数取最大值时,直接写出CF的长.思路指导(4)分两种情况讨论:当点A'在矩形内时,∠BA'C=90°时,∠A'CB的度数最大,利用全等和平行的知识,得到等腰三角形,即可求出CF的长;当点A'在矩形外时,∠BA'C=90°时,∠A'CB的度数最大,利用勾股定理构建等式求解.例题112(4)当A'C与以B为圆心,AB为半径的圆相切时,∠A'CB最大.此时∠BA'C=90°.当A'在BC的上方时,如图4,又∵AB=A'B,AE⊥AA'于E,∴∠ABF=∠A'BF.又∵BF=BF,∴△ABF≌△A'BF(SAS),∴∠BA'F=∠BAF=90°.例题112

例题112

例题112

当堂检测例题112(1)如图①,当顶点D在边AB上时,线段BE与线段CF的数量关系是

,线段BE与线段CF的位置关系是

.

(2)将△ADE绕点A旋转,转到图②的位置时,(1)中结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.

CF⊥BE解:(1)中结论仍然成立.证明:如图2,过点A作AG⊥AB,交BC的延长线于点G,连接GD并延长交BE的延长线于点H,设GD交AB于点O,由(1)同理可证△ADG∽△AEB,例题112

例题112(3)在△ADE绕点A旋转的过程中,线段AF的最大值为

;当DE∥CF时,线段CF的长为

.

2

例题1122.(武安一模)如图①,在Rt△AB中,∠BAC=90°,∠ACB=60°,AC=2,点A1,B1分别为边AC,BC的中点,连接A1B1,将△A1B1C绕点C逆时针旋α(0°≤α≤360°).例题112

260°(2)将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图②所示位置时,(1)中结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

(2)解:(1)中结论仍然成立.证明:如图1,延长AA1,BB1相交于点D.由旋转知,∠ACA1=∠BCB1,A1C=1,B1C=2,∵AC=2,BC=4,例题112

例题112

例题112②当A1,B1,B三点共线时,请直接写出线段BB1的长.

例题112类型二动点问题题型讲解动点问题是近年来中考的热点问题,以运动的观点来探究几何图形的变化规律,主要是通过动点的临界值,建构三角形或者四边形,再利用三角形或者四边形的知识来解决问题.例题234方法点拨通过变量的临界值,分情况把动态的问题转化成静态的问题,利用图形或者添加辅助线,建构三角形和四边形,再利用其相关知识解决问题,渗透分类讨论和数形结合等数学思想.例题234解题技巧(1)动中求静,观察图形(添加辅助线),发现运动变化中的不变量、不变图形;(2)把握运动中的特殊位置,临界位置,分段、分情况进行讨论;(3)把相关的量用含变量的代数式表示,依据题意建构方程或函数的关系,利用方程或函数解决问题.例题234在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20cm,BC=15cm,现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动,动点Q从点C出发,沿线段CB也向点B方向运动,如果点P的速度是4cm/s,点Q的速度是2cm/s,它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动.设运动时间为t秒.例题2例题234(1)当t=3时,这时,P,Q两点之间的距离是多少?

(1)在Rt△CPQ中,当t=3时,可知CP,CQ的长,运用勾股定理可求出PQ的长.例题234思路指导(2)若△CPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式.

例题234思路指导(3)当t为多少时,以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?

例题234思路指导

例题234当堂检测3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D为边AB的中点.点P从点A出发,沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动,同时点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度先沿CB方向运动到点B,再沿BA方向向终点A运动,以DP,DQ为邻边构造▱PEQD,设点P运动的时间为t秒.例题234(1)设点Q到边AC的距离为h,直接用含t的代数式表示h;

例题234(2)当点E落在边AC上时,求t的值;

例题234(3)当点Q在边AB上时,设▱PEQD的面积为S(S>0),求S与t之间的函数关系式;

例题234(4)连接CD,直接写出CD将▱PEQD分成的两部分图形面积相等时t的值.(4)当点E落在直线CD上时,CD将▱PEQD分成的两部分图形面积相等.有两种情形:①当点E在CD上,且点Q在CB上时(如图3),过点E作EG⊥CA于点G,过点D作DH⊥CB于点H,易证Rt△PGE≌Rt△DHQ,∴PG=DH=2,例题234

例题234

例题2344.如图,在矩形ABCD和等腰Rt△ADE中,AB=8cm,AD=AE=6cm,∠DAE=90°.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DB方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM∥BE,交AD于点H,交DE于点M,过点Q作QN∥BC,交CD于点N.分别连接PQ,PM,设运动时间为t(s)(0<t<8).解答下列问题:例题234(1)当PQ⊥BD时,求t的值.

例题234(2)设五边形PMDNQ的面积为S(cm2),求S与t之间的函数关系式.

例题234

例题234

例题234(3)当PQ=PM时,求t的值.

例题234(4)若PM与AD相交于点W,分别连接QW和EW.在运动过程中,是否存在某一时刻t,使∠AWE=∠QWD?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

例题234

例题234类型三折叠问题通过图形的折叠变换来考查三角形和四边形的相关知识,这类题目灵活多变,趣味性强,引导学生在学习中与生活相联系,激发兴趣,体会折叠前后图形之间存在的内在规律和联系,发展学生的数学思维,培养学生建构知识、解决问题的能力.题型讲解例题356方法点拨根据轴对称的性质,找准折叠前后的两个全等图形,利用其对应角、对应线段相等,折痕平分对应点的连线、角等性质,综合三角形和四边形的知识解决问题.例题356从折叠产生的轴对称图形和背景图形入手,找出全等图形、相等的线段、相等的角以及特殊图形等,结合已有的知识经验,挖掘常见的基本图形,从而找到全等三角形、等腰三角形等特殊图形,在图形中借助勾股定理、全等、相似或者特殊四边形等知识,最终解决问题.解题技巧例题356问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图①,在平行四边形ABCD中,BE⊥AD,垂足为E,点F为边CD的中点,连接EF,BF,试猜想EF与BF的数量关系,并加以证明.例题3例题356(1)独立思考:请解答老师提出的问题.

例题356思路指导

例题356(2)实践探究:希望小组受此问题的启发,将平行四边形ABCD沿着BF(点F为CD的中点)所在直线折叠,如图②,点C的对应点为C',连接DC'并延长交AB于点G,请判断AG与BG的数量关系,并加以证明.

例题356思路指导

例题356

例题356

(3)过点M作ME⊥AB于E,由▱ABCD的面积可得BH=4,则A‘H=1,解Rt△BCH可得tan∠C=2,解Rt△A’HN可得HN,设AE=x，则ME=BE=2x,由AB=5求得x,可得△ABM的面积,再计算三角形的面积差即可解答.例题356思路指导

例题356

例题3565.在矩形ABCD中,AB=12,P是边AB上一点,把△PBC沿直线PC折叠,顶点B的对应点是点G,过点B作BE⊥CG,垂足为E且在AD上,BE交PC于点F.(1)如图①,若点E是AD的中点,求证:△AEB≌△DEC;

当堂检测

例题356

例题356

(2)∵BE⊥CG,∴∠BEC=90°,∴∠AEB+∠CED=90°.∵∠AEB+∠ABE=90°,∴∠CED=∠ABE,例题356

例题356

例题356(3)如图③,当BE·EF=108时,求BP的值.

(3)如图,连接FG,∵BE∥PG,∴∠GPF=∠PFB,∴∠BPF=∠BFP,∴BP=BF.∵BP=PG,∴▱BPGF是菱形,例题356

例题3566.已知,矩形ABCD中,AB=5,AD=3,点E是射线BC上一动点,将矩形ABCD先沿直线AE翻折,点B落在点F处,展开后再将矩形ABCD沿直线BF翻折,点E落在点G处,再将图形展开,连接EF,FG,GB,得到四边形BEFG.(1)如图①,若点F恰好落在边CD上,求线段BE的长;

例题356

例题356(2)如图②,若BE=1,直接写出点F到边BC的距离;

(2)连接AF,过点F作MN⊥BC于N,交AD于M,如图2:则MN⊥AD,AM=BN,∴∠AMF=∠FNE=90°,∴∠AFM+∠FAM=90°,例题356

例题356(3)若△ADG的面积为3,直接写出四边形BEFG的面积.

例题356

例题356

例题356

例题356类型清单类型一

旋转问题类型二

动点问题类型三

折叠问题类型一旋转问题1.(唐山迁安模拟)如图,将线段AB绕点A旋转,下列各点能够落到线段AB上的是(

)A.点C

B.点D

C.点E

D.点FA65432172.(唐山丰润区模拟)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE,若∠E=70°且AD⊥BC于点F,则∠BAC的度数为(

)A.65° B.70° C.75° D.80°C65432173.如图,△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上,其中A点的坐标是(-1,0),现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°,则旋转后点C的坐标是(

)A.(2,-3) B.(-2,3) C.(-2,2) D.(-3,2)B6543217

C65432175.(邯郸大名县模拟)已知△CAB和△CDE均为等腰直角三形,∠DCE=∠ACB=90°.发现:如图1,点D落在AC上,点E落在CB上,则直线AD和直线BE的位置关系是

;线段AD和线段BE的数量关系是

.

AD⊥BEAD=BE6543217探究:在图1的基础上,将△CDE绕点C逆时针旋转,得到图2.求证:(1)AD=BE;证明:(1)如图1,延长BE交AC于点G,交AD于点F,∵CD=CE,CB=CA,∠DCE=∠ACB=90°,∴∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°,

∴∠DCA=∠ECB,∴△CAD≌△CBE(SAS),∴AD=BE;6543217(2)BE⊥AD.(2)∵∠BGC

=∠AGF,∴∠AFG=∠GCB=90°.∴BE⊥AD.6543217

6543217∴∠ADE+∠EDF=∠ADE+∠CDA,即∠ADF=∠CDE.∴△ADF≌△CDE(SAS).∴AF=CE.∵AE-EF＜AF＜AE+EF,∴3-2＜AF＜3+2.∴1＜AF＜5.考虑到A,E,F三点共线的情况,∴1≤AF≤5,∴1≤CE≤5.65432176.(廊坊安次区模拟)已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形,∠AOB=∠MON=90°.(1)如图1,连接AM,BN,求证:△AOM和△BON全等;证明:(1)∵∠AOB=∠MON=90°,∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON,即∠AOM=∠BON,∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形,∴OA=OB,OM=ON,∴△AOM≌△BON(SAS).6543217(2)如图2,将△MON绕点O顺时针旋转,当点N恰好在AB边上时,求证:BN2+AN2=2ON2.(2)连接AM,如图所示.∵∠AOB=∠MON=90°,∴∠AOB-∠AON=∠MON-∠AON,即∠AOM=∠BON,∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形,6543217∴OA=OB,OM=ON,∴△AOM≌△BON(SAS),∴∠MAO=∠NBO=45°,AM=BN,∴∠MAN=90°,∴AM2+AN2=MN2,∵△MON是等腰直角三角形,∴MN2=2ON2,∴BN2+AN2=2ON2.65432177.(石家庄41中模拟)如图1是一种手机平板支架,由托板、支撑板和底座构成,手机放置在托板上,图2是其侧面结构示意图,量得托板长AB=120mm,支撑板长CD=80mm,底座长DE=90mm,托板AB固定在支撑板顶端点C处,且CB=40mm,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动.(结果保留小数点后一位)6543217(1)若∠DCB=80°,∠CDE=60°,求点A到直线DE的距离;解:(1)如图1所示,过点A作AM⊥DE,CN⊥DE,CP⊥AM,则∠CPM=∠PMD=∠CND=90°,∵AB=120mm,CB=40mm,∴AC=80mm,又∵∠DCB=80°,∠CDE=60°,∴∠ACD=100°,∠CDM=120°,∴∠PCD=360°-90°-90°-120°=60°,6543217

6543217

6543217类型二动点问题1.(唐山路北区模拟)如图,在△ABC中,AB=8cm,AC=16cm,点P从A出发,以2cm/s的速度向B运动,同时点Q从C出发,以3cm/s的速度向A运动,当其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设运动的时间为t.(1)用含t的代数式表示:AQ=

;

(2)当以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间t=

.

65432116-3t

2.(石家庄41中模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点D在BC边上,以每秒2个单位的速度从点B向点C运动,∠ADE=∠B,DE交AC于点E.设运动时间为t.653214(1)当DE∥AB时,求证:DE=EC;(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵DE∥AB,∴∠B=∠EDC,∴∠C=∠EDC,∴DE=EC.653214(2)判断线段AD和AE的数量关系,并证明;

653214(3)求AE的最小值;

653214(4)若△DCE为直角三角形,直接写出t的值.

653214

653214(2)当以点M,C,N为顶点的三角形与△ABC相似时,求t的值;

653214(3)若四边形BMNA的面积为S,试写出S与t的函数关系式,并求出t取何值时,四边形BMNA的面积最小?

653214(4)如图2,将本题改为点M从点B出发以每秒3个单位长度的速度在BA上向点A运动,点N同时从点A出发向点C运动,其速度是每秒2个单位长度,其他条件不变,求当t为何值时,△MNA为等腰三角形.

653214

653214

6532144.(邯郸第三次模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E从点B出发,沿折线段BC-CD以每秒1个单位的速度向点D(不与D点重合)运动,与此同时,以AE为直径且在AE的右侧作半圆O.设点E的运动时间为t(t≥0).(1)发现:当点D开始落在半圆O上时,t=

;此时半圆O的半径为

;

4

653214

653214

653214②求半圆O与矩形ABCD重叠部分的面积;

653214

653214(3)拓展:当半圆O与矩形ABCD的边相切时,求点E到AC的距离.

653214

653214

653214

653214

653214(1)求证:△ABD∽△DCE;

653214(2)当DE∥AB时(如图2),求AE的长;

653214

653214(3)点D在BC边上运动的过程中,是否存在某个位置,使得DF=CF?若存在,求出此时BD的长;若不存在,请说明理由.(3)解:点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF.如图2,过点F作FH⊥BC于点H,过点A作AM⊥BC于点M,AN⊥FH于点N,则∠NHM=∠AMH=∠ANH=90°.

∴四边形AMHN为矩形.∴∠MAN=90°,MH=AN.∵AB=AC,AM⊥BC,653214

653214

6532146.(石家庄外国语模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,3),B(6,0),C(8,4),D(0,9),射线DE平行于x轴,且与射线BC相交于点E.点P从D点出发,沿DE向右匀速运动,速度为5v.点Q从A点出发,沿A-B-E的方向,以速度α匀速运动.P,Q两点运动到点E后停止运动.(1)直接写出直线AB的函数解析式

;

653214(2)求直线BC的函数解析式,并求出点E的坐标;

653214(3)若P,Q同时到达点E处,点Q的速度α为多少?

653214

653214类型三折叠问题1.矩形ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,若∠1=58°,则∠2=(

)

A.44°

B.58°

C.64°

D.84°C1987654321

C19876543213.(保定一模)如图,将长方形纸条ABCD折