《初中数学中考复习几何最值问题专题》课件

专题四几何最值问题类型清单类型一

垂线段最短问题类型二两点之间线段最短问题类型三点圆求最值问题类型四线圆求最值问题几何最值问题是中考的热点问题（每年必考）,题型丰富,变化灵活,综合性强,考查的知识点众多,涉及数形结合、转化等多种数学思想,考查了学生的添加辅助线,依题画图,建构知识体系等能力,一般都是各题型的压轴题,发展了学生的几何直观和推理能力的核心素养.题型讲解此类问题的解答,关键是要掌握每种模型的特征、辅助线的作法及解题原理,能在实际问题中发现模型、建构模型,并依据模型解答问题,解决实际问题.方法点拨主要是利用重要的基本事实或者定理,如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等,以及可以转化为一次函数和二次函数利用其性质来求最值.解题技巧例题11类型一垂线段最短问题模型一一动一定模型解读如图,已知直线l外一定点A和直线l上一动点B,求A,B之间距离的最小值,通常过点A作直线l的垂线AB,利用垂线段最短解决问题,即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短.核心素养·模型观念（教材改编题）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AB=5,点D是AB上的动点（点D可与点A,B重合）,若CD=x,则x的取值范围是（）A.2.4≤x≤3

B.2.4≤x<4C.2.4≤x≤4 D.2.4≤x≤5例题1

利用垂线段最短,确定点C到AB的最短距离为2.4,最长为AC长度4,所以选C.思路指导C例题111.如图,AD是△ABC的高,BD=3,AD=DC=4,点P是边AB上一动点,点P

从点B出发,沿BA匀速运动,点P运动到点A时,停止运动.求运动过程

中,点P与点C之间的最短距离.当堂检测

例题11

解：

例题11模型二两动一定模型解读点P是∠AOB的内部一定点,在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得PN+MN最小.要PN+MN最小,设法将PN,MN转化在同一条直线上,想到作点P关于OB的对称点P',即求P'N+MN的最小值,因此只要P'M⊥OA,利用垂线段最短即可求解.例题22例题2

思路指导

4例题22当堂检测

2.如图,菱形ABCD的边长为3,∠ABC=60°,I是DA的三等分点,点E,F分别是AB,BD上的动点.在求EF+FI的最小值时,小明作辅助线的方法是:过点I作BC的垂线.例题22

(1)他这样做的依据是

.(2)求EF+FI的最小值.直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短解：

例题22模型三两定一动（“胡不归”问题）模型解读例题33“胡不归”问题即点P在直线BM上运动的“PA+k•PB(0<k<1)”型最值问题.如图①,已知sin∠MBN=k,点P为∠MBN其中一边BM上的一个动点,点A在射线BM,BN的同侧,连接AP,则当“PA+k•PB”的值最小时,P点的位置如何确定?模型解读分析:本模型的关键在于如何确定“k•PB”的大小,如图②,过点P作PQ⊥BN于点Q,则k•PB=PB•sin∠MBN=PQ,∴求“PA+k•PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值问题,即当A,P,Q三点共线时“PA+k•PB”的值最小(如图③),此时AQ⊥BN,利用垂线段最短求解即可.例题33模型解读

例题33例题3

思路指导

例题33当堂检测

例题33类型二两点之间线段最短问题题型讲解利用两点之间线段最短求最值问题的解法主要是通过轴对称,将与定点相关的线段进行变化,将问题转化为定点到定点的距离问题或定点到定直线的距离问题,然后通过两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、点到直线之间垂线段最短,解决此类最值问题.模型一两定一动，点到点最值问题模型解读例题4456两定点一动点,转化成点与点距离最值问题如图,在直线上找一点P使得PA+PB最小.模型解读(1)作点A关于直线的对称点A',连接PA',则PA'=PA,所以PA+PB=PA'+PB.(2)当A',P,B三点共线的时候,PA'+PB=A'B,此时为最小值(两点之间线段最短).例题4456例题4思路指导(教材改编题)如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上一个动点,则下列线段的长度等于PB+PE最小值的是(

)A.BD

B.CE

C.BC

D.AD连接PC,只要证明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+PC≥CE,推出P,C,E共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE的长度.

例题44564.(贵州遵义)在等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,E为AC的中点,P为AD上一动点,若AD=12,则PC+PE的最小值为(

)A.12

B.10

C.8

D.6当堂检测

例题4456当堂检测

例题4456当堂检测

例题4456模型二一定两动，点到点最值问题模型解读例题5789一定点两动点,转化成点与点距离最值问题在OA,OB上分别取点M,N,使得△PMN周长最小.模型解读此处M,N均为折点,分别作点P关于OA(折点M所在直线),OB(折点N所在直线)的对称点,化折线段PM+MN+NP为P'M+MN+P″N,当P',M,N,P″共线时,△PMN周长最小.例题5789例题5思路指导(教材改编题)如图,点P是∠AOB内任意一点,∠AOB=30°,OP=8,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值为

.设点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D,当点M,N在CD上时,△PMN的周长最小,据此求解即可.

例题5789当堂检测

例题5789当堂检测8.如图,点P是∠AOB内任意一点,且∠AOB=35°,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为(

)A.145° B.110° C.100° D.70°

例题5789当堂检测9.如图,OB是一条河流,OC是一片菜田,张大伯每天从家(A点处)去河处流边挑水,然后把水挑到菜田处,最后回到家中.请你帮他设计一条路线,使张大伯每天行走的路线最短.下列四个方案中你认为符合要求的是(

)

例题5789例题610模型三两定两动，点到点最值问题模型解读两定点两动点,转化成点与点距离最值问题在OA,OB上分别取点M,N使得四边形PMNQ的周长最小.模型解读考虑PQ是条定线段,故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可,类似地,分别作点P,Q关于OA,OB对称,化折线段PM+MN+NQ为P'M+MN+NQ',当P',M,N,Q'共线时,四边形PMNQ的周长最小.例题610例题6在某一地方,有条小河和草地,一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马,再到小河饮马,你能为他设计一条最短的路线吗?(在N上任意一点即可牧马,M上任意一点即可饮马)例题610例题5思路指导A,B是两个定点,把点A关于ON对称得到对称点E,点B关于OM对称得到对称点F,连接EF交ON于C,交OM于点D,则AC-CD-DB即为最短路线.例题610解：沿AC-CD-DB路线走是最短的路线,如图1:证明:如图2,在ON上任意取一点T,在OM上任意取一点R,连接FR,BR,RT,ET,AT,∵A,E关于ON对称,∴AC=EC,同理BD=FD,FR=BR,AT=ET,∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF,AT+TR+BR=ET+TR+FR.∵ET+TR+FR>EF,∴AC+CD+DB<AT+TR+BR,即沿AC-CD-DB路线走是最短的路线例题610当堂检测10.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),点C(0,3),且OB=OC.例题610(1)求抛物线的解析式及其对称轴;

∵OB=OC,∴点B(3,0),则抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a,故-3a=3,解得a=-1,故抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,对称轴为直线x=1.解：例题610(2)点D,E在直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值.

解：例题610类型三点圆求最值问题1.圆外一点P到圆上的最短距离为PA,最长距离为PB(P,A,O,B四点在同一条直线上,即P,A,B三点连线过圆心O).2.圆内一点P到圆上的最短距离为PA,最长距离为PB(P,A,O,B四点在同一条直线上,即P,A,B三点连线过圆心O).模型一

定点定长求最值例题71112例题7

思路指导在点O左侧作点D使得DO=OA.连接CD,所以OM为△ACD的中位线,CD=2OM.由BC=1可知,点C在半径为1的☉B上,通过画图可知,C在BD与圆B的交点时,OM最小,在DB的延长线上时,OM最大,根据三角形的中位线定理可得结论.例题71112当堂检测11.如图,已知☉C的半径为3,圆外一点O满足OC=5,点P为☉C上一动点,经过点O的直线l上有两点A,B,且OA=OB,∠APB=90°,l不经过点C,则AB的最小值是(

)A.2

B.4

C.5

D.6

例题71112当堂检测

例题71112模型一

定角定长求最值例题81314例题8

思路指导由AB=6,P是平面内一动点,且∠APB=90°,可知点P在以AB为直径的圆上.可知当点P和圆心O,点E三点共线时PE的长度最大.例题81314当堂检测

例题81314当堂检测

例题81314(2)当AF⊥DG时,求旋转角α,并证明射线DM是☉O的切线;

解：例题81314

解：

例题81314

例题81314

例题81314(4)直接写出线段OH的最大值.解：

例题81314类型四线圆求最值问题模型解读如图,AB为☉O的一条定弦,点C为AB一侧弧上一动点.当点C在优弧上,CH⊥AB且CH过圆心O时,线段CH即为点C到弦AB的最大距离;当点C在劣弧上,CH⊥AB且圆心O在CH的延长线上时,线段CH即为点C到弦AB的最大距离.模型解读如图,☉O与直线l相离,点P是☉O上的一个动点,设圆心O到直线l的距离为d,☉O的半径为r,则点P到直线l的最小距离是d-r,最大距离是d+r.例题9(教材改编题)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是

.例题915点P在以点F为圆心,以2长为半径的圆弧上.过点F作FG⊥AB,垂足为G,过点P作PD⊥AB,垂足为D,根据垂线段最短,得当PD与FG重合时PD最小,利用相似求解即可.思路指导

当堂检测15.如图,☉O中弦AB的长为8,点P在AB上运动,若OP的最大值为5,则OP的最小值为

.

例题915类型清单类型一

垂线段最短问题类型二两点之间线段最短问题类型三点圆求最值问题类型四线圆求最值问题类型一垂线段最短问题1.(邯郸二模)用“垂线段最短”来解释的现象是(

)A6543212.如图,AC⊥BC于C,连接AB,点D是AB上的动点,AC=4,BC=3,AB=5,则点C到点D的最短距离是(

)D

3.如图,在锐角三角形ABC中,AB=4,△ABC的面积为10,BD平分∠ABC,若M,N分别是BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值为(

)BA.4

B.5

C.4.5

D.64.如图,正方形ABCD的边长为3,E是BC上一点且CE=1,F是线段DE上的动点.连接CF,将线段CF绕点C逆时针旋转90°得到CG,连接EG,则EG的最小值是

.

5.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AB=AC=8,P为AB边上的一动点,以PA,PC为边作平行四边形PAQC,则线段AQ的最小值为

.

6.如图,正方形ABCD中,AB=4,点E为边BC上一动点,将点A绕点E顺时针旋转90°得到点F,则DF的最小值为

.

类型二两点之间线段最短问题题型讲解1.(河北模拟)如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=α(∠BAE为钝角),∠B=∠E=90°,在BC,DE上分别找一点M,N,当△AMN周长最小时,∠MAN的度数为(

)54321C

题型讲解2.(河北模拟)如图,MN是☉O的直径,MN=4,∠AMN=30°,点B为弧AN的中点,点P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为(

)C

(1)连接PC,AC,求∠PCA的度数;

(2)连接AP,PB,求证:△DAO≌△APB;证明:连接AP,PB,OP,AE,如图2,由题意得∠AOP=120°,∠AOE=60°,∠POB=60°,∵OA=OE=OP=OB,∴△OAE和△OPB为等边三角形,∴∠B=60°,PB=OB,∴∠AOE=∠B,PB=OA.

(3)已知半圆O的半径是3,若直径AB上存在一点M,使得EM+PM的值最小,请直接写出EM+PM的最小值.解:EM+PM的最小值为6.作点E关于AB的对称点E',连接OE’,则OA垂直平分线段EE',∴OE=OE',∴∠E'OA=∠EOA=60°,∴∠EOE'=120°,∵∠EOP=180°-∠AOE-∠POB=60°,

∴∠EOE'+∠EOP=180°,∴E',O,P三点在一条直线上,∴当点M与点O重合时,EM+PM的值最小,∵半圆O的半径为3,∴EM+PM=PE'=6.

4.(唐山滦南模拟)问题情境:在数学课上,老师给出了这样一道题:如图1,在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=30°,求BC的长.探究发现:(1)如图2,勤奋小组经过思考后发现:把△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,连接BD,BE,利用直角三角形的性质可求BC的长,其解法如下:过点B作BH⊥DE交DE的延长线于点H,则BC=DE=DH-HE.∵△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,AB=AC=6,∠BAC=30°,∴……请你根据勤奋小组的思路,完成求解过程.解:如图1,过点B作BH⊥DE交DE的延长线于点H,则BC=DE=DH-HE.∵△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,AB=AC=6,∠BAC=30°,∴∠CAE=∠BAD=90°,∠DAE=∠BAC=30°,AD=AB,AE=AC,DE=BC,∴∠BAE=∠CAE-∠BAC=60°,AD=AB=AE=6,∴△AEB是等边三角形.

拓展延伸:(2)如图3,缜密小组的同学在勤奋小组的启发下,把△ABC绕点A顺时针旋转120°后得到△ADE,连接BD,CE交于点F,CE与AB交于点G,请你判断四边形ADFC的形状并证明;四边形ADFC是菱形.证明:∵△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE,AB=AC=6,∠BAC=30°,∴∠CAE=∠BAD=120°,∠DAE=∠BAC=30°,AD=AB,AE=AC,DE=BC,

(3)奇异小组的同学把图3中的△BGF绕点B顺时针旋转,在旋转过程中,连接AF,发现AF的长度不断变化,直接写出AF的最大值和最小值.如图2,作FK⊥AB于点K,连接AF,∵四边形ADFC是菱形,∴CF=DF,∵∠BCF=∠EDF=75°-30°=45°,BC=DE,∴△BCF≌△EDF(SAS),∴BF=EF,

5.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A,B两点(B在A的右侧),与y轴交于点C,已知OA=1,OB=4OA,连接BC.(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,点P为BC下方抛物线上一动点,连接BP,CP,当S△BCP=S△BOC时,求点P的坐标;

如图2,过点N作NM⊥BC,垂足为点M,过A作AH⊥BC,垂足为点H,∵OB=OC,∠BOC=90°,∴△BOC为等腰直角三角形,∠BCO=∠OBC=45°.∵NM⊥BC,∴∠NMC=90°,∴∠CNM=90°-∠NCM=90°-∠OCB=45°,∴△NCM为等腰直角三角形,

类型三点圆求最值问题1.(唐山模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点O是AB的三等分点,半圆O与AC相切,M,N分别是BC与半圆弧上的动点